Ю.С. Сикорский - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1086556), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Он будет колебаться, В каждый момент г рас- Х стояние х его центра тяжести С от положения, которое этот центр занимал в момент равновесия, удовлетворяет уравнению гл — + 2лт — + лелгх = О, (64) лтх л» иге лт Фиг. 26. где ги — масса тела М, 2ллг — коэфициент сопротивления среды, лвльх — сила упругости пружины, массой которой пренебрегаем. Теперь представим себе, что точка привеса А в свою очередь начинает совершать колебания по закону х,=(Е: лв)созрг, где Е и р — постоянные. В таком случае в момент Ф на тело М будет действовать не сила лзшх, а лзш(х — х,), и уравнение (64), после сокращения на т, переходит в такое: ~, +26 — „+ Р(х — х) =О Лзх лх лг или —, + 2л — „+ лвх = Е сов рд лзх лх лг Вынужденные колебания центра тяжести С будут совершаться по закону (см.
выше): х = А соз рт+ В и! п рп Полагая А=К.з!пт; В=гссоз т, будем иметь х=йз1п(т+рг), причем и 1пт= ~ . (55) ч~((ае р%)й+ ада...е 2ар Если ) л †р ) '~~ О и частота р периодической силы увеличивается, то амплитуда Р вынужденных колебаний будет уменьшаться и может быть сделана весьма малой, как это видно из выражения (55). Этим свойством вынужденных колебаний пользуются в тех случаях, когда в колеблющейся системе желательно получить „неподвижную" точку. В этом встречается надобность при устройстве приборов для записывания внбрщий судов, сейсмографов, индикаторов и т.
п. аа са 0 агг ал ед еа ем гл стг дд ела лл4 Фиг. 27. Если, например, принять Ь=О,1л и р=10л, то согласно (55) 1 Е Я вЂ” —,, т. е. амплитуда колебаний точки С будет в 99 раз меньше амплитуды колебаний точки А. Если к телу М прикрепить карандаш й', то он будет почти неподвижен. При колебании в вертикальном направлении цилиндра В, приводимого во вращение часовым механизмом н жестко связанного с точкой подвеса А, карандаш будет чертить на ленте, надетой на цилиндр, кривую, отмечающую колебания всего прибора. З1. Резонанс.
Особенно важным является тот частный случай, когда силой сопротивления можно пренебречь (Ь вЂ ма) и в то же время 68 р а, т. е, период „возмущающей" силы равен периоду „собственных' колебаний точки. В этом случае величина Я выражается так: Вж — и Вш Я= со.
Е 1л р) 'На фиг. 27 изображена зависимость отношения амплитуды Я вынужденных колебаний к амплитуде Е: аа возмущающей силы от отношения р: а для различных величин (2а): а. Из чертежа видно, что по иере приближения отношения р: Е к 1 величина Я увеличивается 2Л 2Л до некоторого максимума, зависящего от —; при — -е О этот максимум неограниченно возрастает. Это явление носит название резонанса. Для случая резонанса диференциальное уравнение колебаний (при отсутствии сопротивления среды) запишется так; Рх —,+рах = Е сов рф, лр его общий интеграл х=С,созр1+С з1прг+хе, где х — частное- решение уравнения. Отыскивая последнее в форме (см.
$19) х =(Асозрг+Вз1прг)г, мы, как и раньше, для определения козфициентов А и В получим два Е уравнения, из которых найдем А=О и В= — . 2р ' Произвольные постоянные С, и С определятся из начальных условий; ах х= а и — =а при г О. аг 1 а они будут С,=а и С,= —. р Поэтому х = а соз рг+ — а)п р1+ е Еге!и рг Р 2р Ег С возрастанием г' член — з!пр1 может достигнуть значительной 2р величины. Это значит, что когда сила Р такова, что ее период близок к периоду „собственных" колебаний точки, то она может сообщить точке колебания со значительной амплитудой лаже в том случае, когда зта сила мала. В этом и заключается явление резонанса. Оно хорошо известно в акустике в виде вызываемых колебаниями камертонов колебаний частей музыкальных инструментов.
Сюда же надо причислить и такие-явления, как вибрации судов от работы машины; колебания цепных мостов при прохождении идущего в ногу отряда; колебания фундаментов, вызываемые периодическими силамй, возникающими от колебаниа машинных частей; раскачивание тяжелых качелей человеком н т. п. В тех случаях, когда резонанс не желателен, его можно устра- нить, увеличивая равность между частотой р периодической силы Р и частотой а собственных колебаний тела.
82. Уравнение вынужденных колебаний опорной балки. Представим себе, что при вращении маховика точка А, находящаяся на расстоянии г от оси вращения, не уравновешена (фиг. 28). Обозначим постоянную угловую скорость вращения маховика буквой р. Если условимся отсчитывать время от момента нахождения точки в положении Ао на осн Оу, то угол поворота за.время 1 будет р=р1. Действующая в радиальном направлении центробежная сила равна трвг, где пав масса'точки А. Проекция этой силы на ось ОУ Р = пврвг сов р1.
Под влиянием этой силы Р балка, лежащая на двух опорах и поддерживающая машину, будет совершать вынужденные колебания. Диференциальное уравнение ее движения будет отличаться от уравнения свободных колебаний балки (стр. 51) только тем, что в правой его части появится выражение периодической силы Фиг. 26, азу лзеlу — — = — — — парве сов р1. ага 1в Здесь 11 обозначает вес машины; Е, 1, в и 1. имеют прежние зна' чения. Полагая ФЕОД' в и — — и =Т О Ф мы сможем уразнерию придать вид — „, +йзу= Тсовр1. азу лев Если р не равно а, то общий интеграл у Св соз йт+ Сз в1п а1+ур где у — частное решение, которое ищем в форме уе=Асовр1+ +Ввтр1.
Далее найдем А=, „н В=О. Т Вследствие этого у=С сов й1+Сзв!пйт+ ., сов р1. Т Лз — пв' Проиавольные постоянные С, и С могут быть определены, если заданы начальные условия. Если р = й, наступает резонанс, и явление происходит согласно найденному ранее (стр. 69) уравнению у = асов р1+ — з1п р1+ — в(пр1. а Т1 Р 2р Все сказанное относительно резонанса может быть применено н к данному случаю. ЧО 83.
Биения. На стр. 67 было замечено, что в случае вынужденных колебаний по мере увеличение времени 1 движение точки приближается к такому, которое выражается равенством х= Асоарс+Ва1пр$, где р есть частота периодической силы. Полагая А В й= )г Аа+Ва, сбпр== и совр. = =, )ГАа-Г Ва - )ГА~+ Ва иы получим х = й а1п (р.
+ Р1), Результирующее колебательное движение будет х= й,11п(р, +Р,с)+йаа1п(ра+рас). Заметив, что й = — + йг+ йа й~ — йа 2 2 будем иметь — + а й йа и йа= 2 2 (~~п (Рг + Р Я+ а1п (ря+ рас)) + 2 ~ (1г+Рг) (1~+~а)) или Полагая ~+ з) ( 2 + 2 ) (й,— й)з1п( — "", "' 4- Р' Р' 1)=7; мы получим х= р оа+ Таа1п~и + + 1). Рч+Ра Р~+Ра Это есть колебательное движение с переменной амплитудой 7"У+7":= У й, '+ й'а+2й„йа соз (р, — ра+(Р, Р,) 1) и фазой т 1й, й, Гр,— „, Р,— ра н = агс1н — = агс1~ ~ — ''ф ~~ — +:- 1)~. 71 Постоянные А и В определяются на основании начальных условий. Представим себе, что вынужденные колебания совершаются вследствие действия двух возмущающих сил, частоты которых пусть будут р и р. Соответствующие им колебательные движения выразятся фор- 1 мулами: х,=й,а1п(р,+РД и ха — — йаа1п(р +ряс).
Предположим, что р, почти равно р . Тогда, с течением времени, амплитуда будет меняться от Я,— Яя (при сов~~в,— ря+(р,— ря)г] = — 1) до Е,+Ев(пРи соя (Р,„— Ря+(Р,— Р,)г] =+1),. а так как Р,— Ря— величица малан по сравнению с р,+р, то за время т= Рг+Рг (период колебаиий) амплитуда колебаний почти ие изменится. Следовательио, вынужденные колебания будут иметь вид, изображенный иа фиг. 29.
если величина Е, — Еа мала сравнительно с Е, + Яя, то колеба. тельное движение будет то почти совсем затухать, то достигать зиачительиого размаха. Это явление косит иазваиие „б и е и и й". Фвг. 29. 84. Общее уравнение силы переменного тока. Пусть в цепь, в которой сила тока У возбуждается электродвижущей силой Е = Ее з1п мт, включены последовательно: емкость С, самоицаукция 7. и сопротивление Д. Буквой Ее обовиачеиа наибольшая электродвижущая сила аа период Т; и = —, 2е Т Подобно тому как это было сделано иа стр.
56, мы придем к равеиству Заменяя в ием электродвижущую силу Е ее значением и дифереицируя 72 затем йо времени Е, мы получим общее диференцнальное уравнение для силы пеРеменного тока: Š— +Л вЂ” + — =Еоа сов ат Ф1 о1 1 его лг представляющее собой линейное неоднородное диференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэфициентами.
Общий .его интеграл Е= С!е"~ + Све"в + Еа где г и го †кор характеристического уравнения Е!а+Ю'+ ! =О, а Ео — частный интеграл, Будем искать частный интеграл в форме Ео=А соват+Вв!наг, где А и  — постоянные ковфициенты. Образуем производные — и— Л1о Ло1а ог ЛГо н подставим их значения в !56)! получим А — + гсВа — Аеав ) сов ае + ( с — 1сАа — Веав) в! и а1 = еоа сов ат, (— 1В С откуда ( — ' — ' ' Еав) А + ИаВ Еоа С вЂ” — Еао)  — ЛаА = О.
( — ' 1 С Отсюда Во" ( С Е"т) 1 (~- Ею) +Л ~ (С вЂ” Е~) +ЯМ ГГ! Еош ~( — — Ев) совет+ Ва в)п а! 1! ' ~~С ( — — Еао) +Доао Полагая, далее, 1 Еао С =!аъ получим !ЕВоао в!в (аг — т) ~( — — Еао) 4-ЩоР~ сов'! Ф Но 1 Ка сов тв + ь ! 'о — — Еао)о+ жоао !' (С . 73 Вследствие этого Еа а! и Оаг — т) о— ~/Г( — — Ае) +я~ Числа га и г„как это нетрудно видеть из формулы Р ГИ 1 , а 21 — У 41,а СС Ра 1 Ла оба отрицательны, в случае когда — — — ) О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
