Ю.С. Сикорский - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1086556), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Если же —— г,а 1.С 41а 1 — — (О, то г н га — числа комплексные. Но вещественныеих частя 1С все-таки отрицательны. В силу этого, по мере увеличения времени Е, двучлен С е~а~+ С е~а стремится к нулю н с некоторого момента можно принять г =уз. Общий же интеграл уравнения (56) будет г'= С,е" '+ Свела + ф 20. Способ вариации произвольных постоянных.
Способ интегрированна линейных днференциальных уравнений Со свободным членом, рассмотренный в предыдущих параграфах, замечателен тем, что, пользуясь- им, мы находим общий интеграл без помощи квадратур. Но круг применения этого способа весьма ограничен. Если свободный член Я имеет вид, отличный от тех, которые нами были рассмотрены, то в большинстве случаев подобрать подходящую форму для частного решения уе весьма трудно и от отыскання его по способу неопределенных коэфнциентов приходится отказаться. Укажем здесь другой способ интегрчрования линейных неоднородных днференцнальных уравнений, данный Лагранжем н известный под названием способа вариации произвольных постоянных.
Практически он более утомителен, но зато, пользуясь нм, мы всегда решаем вопрос об интегрировании уравнения, сводя его к квадратурам. Полученные интегралы могут выражаться в конечном виде нлн нет, ко во всяком случае, с точки зрения задачи интегрирования днференциального уравнения, мы, пользуясь методом Лагранжа, решение 'вопроса доводим до конца (см. й 6). Переходим к изложению способа вариации произвольных постоянных.
Заметим, что если предложено интегрировать уравнение увб+Р,у<"-О+Рву<"-а>+... +Р„у=Я, (30) коэфициенты Р„Ра, ..., Р„которого суть функции от аргумента х или постоянные числа, то, откидывая свободный член Я и меняя обозначение у на е, получим уравнение лоб+Раз("-О+Раз<"-а>+ ... +Р„а =0 без свободного члена, соответствующее уравнению (30). Его общий интеграл » = С,», + Сз»з+...
+ С»„„ Здесь»„ »,..., »„— частные решения (31), а С„С, ..., ф— пронзвольнйе йостоянные. Идеи способа вариации постоянных заключается в том, что общий интеграл уравнен и я (30) ищут в. той же форме, которую имеет общий интеграл уравнения (31), т. е. полагают, что у=С»,+С»,+... +С„»„, (33) считая, однако, что здесь С„Са, ..., ф— уже не постоянные, а некоторые функции от», которые требуется определить. Функции зтн связаны поза только одним условием (30), в остальном они совершенно произвольны.
Чтобы их определить, мы должны подчинить их еще (л — 1) условиям, причем эти условия можем выбрать произвольно. Составим у'=С»,+С»,+...+С» +С» +С» +...+С» . Ъ Выберем функции Сг С„..., С„так, чтобы (57) С», + С,'», + ., ° + С»„= О; в таком случае У'=С,»', +Сз»з+... +С„»'„. Далее, у" = С»,"+ С»,"+... + С„»'„' + С,'»', + С,'»,'+... + С»'„. Выберем функции С„С, ..., С„так, чтобы ° С'»', + С,'»' +...
+ С»'„= 0; тогда ' у" = С,»",+С,»" +... + С„»'„'. (58) Поступая таким же образом и далее, получим, наконеп, (~-) ) С'»(-й ) „~ С' ( — и 0 ,», 2 3 ' я я »(" - 0 ! С »(' 0 ! г С «(" 0 (59) причем Теперь и функций С„ Ся, ..., С„ подчинены л условиям. Составив еще раа производную, будем иметь )((Ю= С,«(Ю+ С,»(а"1+... + С„»(„"1+ С'„»(" О+ +С~ (% О+ +С~ (Ф 0 Подставам значения у, у', у", ...,у!о> в уравнение (30), принимая прн этом во внимание, что 1нбо лп х„ ..., х„ суть частные решении уравнения (31)1, мы находим Сх +Сх + ° ° +С х =ьь> Соединяя это равенство в одну систему с (57), (58), (59) и т. д., мы получаем и уравнений: С„х, + Сзл,, +...
+ С„х„= О, С,'л<я 3>+С,'л!" з>+... +С„'л'"-з>=0 и (~хт" >+ С,,з!" '>+... >ь С„г~„" l ' т Р с и неизвестными С„С,, ..., С„. Определяя иа этой системы неиз-' вестные '), находим . С,=т (х) С =т (х) ... С =т х) .( откуда, интегрируя, имеем С, = ~ р, (х) Ых+ Г„ Св= ~ ссз(х)бх+Гя> ..., С„=~ ф„(х)Их+Г„, где Г„Гэ, ..., Ä— произвольные постоянные. Внося значения С„Сз, ..., С„в выражение (33), получим общий интеграл в виде у = х, ~ р,(х) с>х + хз ~ р (х) о>х + ... + +ха ~ р„(х) сгх+Г,л, +Гзх +... +Г„в„, Мы видим, что нахождение полного интеграла привелось к отысканию и квадратур. П р и м е р.
у" + у = ! я х. Корни характеристического уравнения та+1 = О: гт = ! н гз = — 1. Общий интеграл уравнения л" + л =О есть х = Ст соз х + Сз з>п.х. Будем искать общий интеграл заданного уравнения в той же форме, полагая у = Ст соз х + Сз з! и х н считая С, н Сз функциями от х. 1) Можно доказзтть что написанная система всегда имеет решениЕ, если частные реп ения ло хь ..., ла линейно-независимы.
76 Составляя производйув, имеем у = — Сд з!и х+ С, соз х Ч- С, соз х+ Са з!п х. Подчиняя функции Сх и Сз условию С созх+С з!их=о, находим у' = — С! з!их+ С,сов х, и, следовательно, С,созх Схз~пх С„'з1пх+С созх (60) Внося значения у и у" в заданное уравнение, имеем, после сокращений, — С, зьп « + С, сов « = !й х.
(6П С' я 5!Пх х Система уравнений (60) и (61) дает для С и Сз ззачеиня: !~= — — ' и С = з!и х, откуда г з!пхх г з!пах аыпх, 1 1 — з!их. С = — йх — — . =зшх+ — !п . +Го соз х 1 — $!и х 2 1 + з1п х 3!и х ах — — сов х+ Гз. Общий интеграл 1 — з!и х у = — соз х. 1и . — + Г! соз х+ Г, з!и х. 2 1+в!их ф 35. Диференяиальное уравнение колебаний индикатора. Индикатор есть прибор, служащий для записи давления (например, при минном взрыве). В основном он состоит из массивного цилиндра, в который заложена пружина, поддерживающая поршень, воспринимающий исследуемое давление.
Обозначим площадь, поршня буквой Р, действующее на единицу площади поршня давление — буквой р, а вес поршня — буквой Р. Весом пружины будем пренебрегать. Очевидно, что с течением времени давление меняется. Положим.р=1'(1). В момент 1=0 перемещение поршня йе в=О и скорость — =О. искомым' является вид функции г(1), инди. ат катар дает вовможность определить зту функцию по перемещениям х погшня, которые могут быть записаны на диаграмме. На поршень действуют: внешнееу,давление, равное Р 1(1), и сопротивление пружины. Примем ось поршня за ось ОЛ и начальную длину пружины обозначим буквой й В момент 1 длина пружины будет ! — х.
В таьом случае сопротивление пружины, действующее на поршень, вырааится е через — й †, где й — коэфициент пропорциональности. Диференциаль- 1' ное уравнение движения поршня будет — — = Р ° У(1) — — или — „+ иве = — й~(1), (62) где ля= —. Общий интеграл соответствующего однородного уравнения аа Р1 ' Фе — + лзе = О лез имеет вид х=С созл1+Сиз!пи1. 71 будем искать общий интеграл неоднородного уравнения (62) в том же виде, но рассматривая- С, и Сз как функции от х. Составляем производную «о отС, «с, . «т — = — С,из!и П$+ С и соз П$+ — соз п$+ — ' згп ит «т «т н выберем функции Ст и Сз так, чтобы — соз п$+ — з1п пт = О.
«с «с «т «т В таком случае — = — Стив!паз+С псозпт. «я Образуем затем вторую производную 3 — „-, = — Сги сов пт — С взз1ппФ вЂ” — из!пят+ — „' псозпт 1 «С з «т и подставим ее вначеняе и значение л в уравнение (62). После сокрап$ений получим: (63) — — з!и по+ — соз М = — ~У(!).
«с, . «с, «т Рп Из (63) и (63а) имеем: «С, Рд ° — = —.— у(т) з$п ~и «т Ри (63а) и — „= — у'(т) соз п~, «С, Р« откуда Ст= — — „1Д(т) з!п пт«т+Г о 78 С, = —" ~$$ у'(з) соз пт «т+ Гз. о Общи» интеграл уравнения (62). имеет вид л = 1 т сов ит + Гз 5!п иг + о о Рл Г + — ~ — созпХ / У(т)а!пят«т+з$пи1 ') у(т)солит«т$ (64) о о или, короче, л — Готовит+Газ!пят+ — ~ Г(т) з!пп(т т)«т. Р, Ри .$ о $$ак уже было указано, при о=О имеем я=О и — „= О; эго дает Г =О, Ге=О,-и ,г Ф з = — ~ у (т) з1п и (т — т) «т, о Отсюда, интегрируя по частям, получим: з = — „1(т) — — / ~' (т) з1п и (г — т) «т. Рл Рл о Если откинем второй член правой части полученного равенства, то Рлх получим г (г) = ††, т.' е.
значения искомой функции пропорциональны Ря ! перемещениям х поршня. Но показания индикатора соответствуют действительному изменению функции у(Г). Отсюда видно, что второй член с е = — — ~ ут (т) з1 п и (г — т) !гт е (65) в которых Ам Ая,..., А, а н Ь вЂ” постоянные, а (~ есть функция от к. Подстановкой ах+ Ь =е' уравнение Эйлера легко приводится к уравнению с постоянными козфициентами. Действительно, заменяя переменную х на г, будем иметь: ау яу аг ау ах ж ах аг' «у! ах ш я -ы бе!"У аУЬ. — =а еах аР ш в -в!У азУ 6 "У Ь ау~. ах Ь атт аж ' ат)' аум ау» у ах ш уря = а~е-"'( — „+ ...) Теперь подставим значения производных в уравнение (66).
Переменный коэфициент первого члена (ах+ Ь)" = е"г сократится со множителем е;ш, входящим в состав у<">. То же самое случится и во всех 79 представляет, погрешность" показаний прибора. Имея в виду, что под знак интеграла входит производная г'(т), мы заключаем, что вта погрешность обусловливается быстротой изменения давления. Р График изменения давления при взрыве, т. е.
вид функции Т'(г), может быть изображен кривой, показанной на фиг. 60. Сначала, быстро возрастая, давление при ! Ь= Т, костист своего максимума, затем убывает и При некотором г= Тя обращается в нуль. Период времени Тв значительно больше Т, Вопрос о величине погрешности индика- Фиг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
