Ю.С. Сикорский - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1086556), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Если коэфициент Р„ф О, то уе ищут в виде многочлена степени ш с неопределенными коэфициентами. Если же Р„= О, а Р„ , ф О, то уе следует искать в виде миогочлена степени гл+ 1. Общий интеграл У=С>е'*+Сэе ' +Сзсоз ах+ С,з1п ах. Постоянные С„С, С и С определяются на основании граничных условий. На закрепленных концах вала изгибающие моменты и прогибы равны нулю. Ввиду этого граничные условия таковы: при х=О имеем У=О и — =0; при х=1 также У=О и У =0 где 1— ах> > длина вала. Применяя эти условия к выражению (51), получим: С,+С +С =О, Се '+Сев- '+Сзсоза1+Сз1па1=0, С, + Са — Сз — — 0 и С,е>а+ С>е-ег — Сз соз а1 — С з1п а1= О.
Из двух первых уравнений находим Се= — С, и Се=О. Подстановка этих значений в два последние уравнения приводит к заключснию> что С,= О, С =0 и С,з1па1=0; предположение С4 — — 0 дает У=О (тождественно), т. е. получаем прямолинейную форму равновесия. Если же положим з1па1=0, то получим а1=йя, где а — любое целое число. Придавая ему значения 1, 2, 3, 4, ..., будем получать а соответственно 2» 3» 4» равным —, —, —, —, ...
и соответствующие аначения критической угловой скорости: Если Р„= О и Р„ , = О, а Р„ ф О, то надо уо искать в виде много- члена степени т + 2, и т. д. 2. Член Я представляет собой привведение целого многочлена степени ги на еве: 1~ = (Вох + В,х -' +... + В ) евм, где р — есть заданное число, не равное ни одному из корней характе ристического уравнения. В этом случае уо следует искать в той же форме, т. е. уо = (Ах + Вхм-г +...
+ Кх+ ь) еи . уо=(Ахм+Вхм-'+... +У) соз ~х+ +(А,хм+ В,х~-'+... + у.,) в1п ~х. Е случае же, когда характеристическое уравнение имеет корни -+-~б кратности А, то у = ха(Ах + Вх -'+... + 1.) сов ~х+ +ха(А,хм+В,х -'+... +).,)з1п~х. П р и м е р 1. у" — у' — бу = ха+ х+ 1. Корнями характеристического уравнения гт — г — 6=0 служат П = — 2 и та= 3. Следовательно, общий интеграл у = Сте-те+ Стезе+ус, где уе — есть частное решение. Ищем ето решение в форме уо — — Азе+ Вх+ С.
Образуя производные уе= 2Ах+В и уе = 2А и подставляя их значения и значение уе в заданное днференпнальное уравнение, получим равенство, кото- рое должно быть тождеством: . — 6Ахт — (2А + 6В) х + 2А —  — 6С = ха + х+ 1, откуда Значит — 6А=1, — 2А — 6В=1 н 2А —  — 6С=1. 1 1 11 А= — —, В= — — и С= — —. 6' Частное решение будет 1 1 11 уе = — — хт — — х —— 6 9 54' и общий интеграл 1 1 11 у = С1е-те+ Свез* — — хт — — х — — .
6 9 54' П р н м е р 2. у" +у = х соя х. Корни характеристического уравнения: гт = 1 и га = — г, т. е. в данном случае характеристическое уравнение имеет простые корин вида ш рб 3. Если заданное число р есть корень кратности и характеристического уравнения, то частное решение уравнения (30) следует искать в форме уо = хь(Ах' + Вх"-'+... + Кх+ 1.) е '. 4. Если 1с=у(х)созрх или 1~=7(х)в)прх, где у(х) есть ц е л ы й м н о г о ч л е н с т е п е н и ш, а характеристическое уравнение не имеет корней -+.р1, то частное решение можно искать в форме Поэтому частное решение будем иметь в фсрие уе = (Ах+ В) х сое х+ (Сх+ ))) ха(п х. Р Образуем уз и уз и подставляем выражения уз и уз в заданное уравнение. Находим (4Сх+ 2А+ 2В) соз х+ (2С вЂ” 2 — 4Ах) Мп х = х соз х; отсюда 4С=1, 2А+2В=О, 2С вЂ” 2В=О и 4А=О А=О, В= —, С= — и В=О. 1 1 4 Общая интеграл будет х хг у = Сг соз х+ С, з)п х + — з(п х+ — зш х.
4 4 Занимаясь отысканием частного решения уе неоднородного уравнения по способу неопределенных коэфициентов, мы не входили в теоретические соображения о законности отыскания этого решения в той или другой форме и ограничивались лишь указанием вида — — этого решения. Оправданием — возможности нахождения частвЂ" ного решения выбранного вида лужит то обстоятельство, что неопределенные коэфициенты, входящие в состав уе, определяются однозначным образом и, таким образом, самая .
форма частного решения оправдывается а роз1ейоН. 2У. Диференциальное ура- енение деформации стенок циь ' линдрического резервуара. Рас- а смотрим резервуар для хране! ния жидкости, имеющий форму цилиндра,толщинайстеноккоторого мала по сравнению со средним радиусом )с (фиг. 25), г г а мерндиональное сечение стенки — прямоугольник; На 1 элемент стенки с основанием Фнг. 25 адсд и высотой Их, взятые на глубине х, действуют: 1) сила давления жидкости, равная (хЫрЫ и приложенная к грани ад чздесь буквой т обозначен вес единицы массы жидкости); 2) силы упругости Т, и Тз, приложенные к граням Ьс и ад и, вследствие симметрии, равные между собой.
Если мы обозначим перемещения точек взятого элемента по радиальному направлению (прогиб) буквой у, то относительное удлинение их первоначального расстояния от оси цилиндра будет у ." )с. При этом надо заметить, что ввиду малости толщины стенок мы можем считать величины у для всех точек элемента равными и положить, что зти точки равноудалены от оси цилиндра, 64 Относительное увеличение длины окружности цилиндра на уровне взятого элемента будет также равно у: тс. Поэтому напряжения, выу званные в стенках силами упругости, будут равны Š—, где Š— модуль .рига материала стенки. Самые же силы упругости Т ъ Т з ~ ~ х Еу равнодействующая всех сил, приложенных к элементу, будет аье = Тхесауах — Т~ 51п — — Тя з1п— К1 лч лт нли, заменяя з1п — через —, ~М = тхФЬФх — — г1аь1 2х.
уЕ Р Эта сила ИЯ представляет собой приращение поперечной силы, софтветствующее приращению ах глубины элемента. Помня, что изгибающий момент М и поперечная сила 1~ связаны соотношен)ием 0М й'А и что М=Ет' — „,, где У есть момент инерции площади аЬеб относиаау ах' ' тельно ее нейтральной оси, мы получим Е ~ ( ~~~ ~,) = ТхМР— — Еч1р. (52) Но ИВ~э 1=— 12 После подстановки етого выражения в (52) и сокращения На ЯИу получим ЕЕИ ачу уЕ1З вЂ” — = "'х —— 12 Лхе ' Яе или 3 121 1Ии — +4а4у тех, где ае= — и те~— ЕВ' Общий интеграл полученного уравнения ($19) будет тех у= С,е" совах+ Све''з!пах+ Се- асов ах+ С,е-" 'з1п ах + — „, .
Произвольные постоянные С„Сэ, Сз и С„могут быть определены из условий на концах вертикальной полоски М1ч, имеющей фигуру абеФ поперечным сечением. В случае, набример, когда резервуар имеет днище, которое совершенно не деформируется, то условия будут такие: у=О и у'=О при х=О и у=О и у'=О при х=Н, где Н вЂ” высота цилиндра. Если принять во внимание деформацию днища, то задача усложняется. в к. юь Ю. о оееюсела В разобранном примере мы принимали так иазываемую „жесткость' равкой ЕЛ При более точных расчетах следует вводить „цилиндрическую жесткость" (см., например, Тимошенко, Курс сопротивления материалов, издание 2-е, $143 и 154).
ЗО. Уравнение вынужденных колебаний. Предположим, что кроме силы притяжения к иеподвижиоиу центру — гнЬзх, пропорциональной раслх стоянию от мего, и сопротивления среды 2тЬ вЂ” „, пропорциоиальиого скорости, к точке приложена еще периодическая сила, определяемая формулой Р =Ет обэриу, где Е, р, Ь и Ь вЂ” некоторые постояпиые величийы, ш — масса материальиой точки и х †расстоян от точки до притягивающего центра. Сила Р изменяется в пределах от +Елг до — Егн и период ее пол2н ного изменения равен — . Р Дифереициальиое уравнение движения точки в этом случае будет — + 2Ь вЂ” „+ Ьзх = Е соз рй Фх нх йР ле (53) Это линейное уравнение второго порядка с последним членом. Корни характеристического уравнения гз+ 2Ьг+ Ьо = О будут П = — Ь+ ~1Ь вЂ” Ьз и гз = — Ь вЂ” 3/Ьз — Ьз.
Предполагая, что Ь . Ь, мы получим общий интеграл в виде х = е-"' (С, соз а~ + Сз з1п ау) + хо, где ор=йа — Ьз, а хо — есть' частиое решение уравнения (53), Это частное решение будем искать в форме хе = А соз р$+ В з1п'рй Неопределенные коэфициеиты А и В определятся, если зиачеиия — ' 1 Лохе Лох ех — и хо подставим в уравнение (53) вместо — — и х. ФР ЛР ' ЛГ Сравнивая коэфициеиты, при созр1 в правой и,левой частях полу- чеииого тождества и приравняв нулю коэфициеит при з(црв, мы для определеиия А и В получим два уравнения: А(йз — рз)+ 2ЬВр = Е и В(йа — рз) — 2ИАр = О, из которых Е(аз — ро) глрЕ (Ьа — ро)о+ 4Иоро (Ио — рз)о+ 4Иоро ' искомый общий интеграл будет х=е-ь" (С, соза1+ Сзз1па1)+Асов р1+Вз(пр1. Произзольиые постоянные С, и Сз определятся, если примем во вии- мание начальные условии: в момент Х О абсцисса х=а и скорость ох — = а.
На основании этих условий получим ег +( — Л)И-Вр 68 По мере увеличения времени г множитель е-"' стремится к нулю, При достаточно больших 1 можно практически принять, нво движение совершается по закону х = Асов рт+В агирре и имеет своим периодом —. 2тс Р Это колебательное движение, производимое периодическпм силой Ет сов р1, называют в ы ну ж де ни ми, противополагая ему то, которое совершалось бы при отсутствии' периодической силы и которое называют свободным нли собственным колебанием. Таким образом мы видим, что периодическая сила стремится сообщить движущейся точке колебания, период которых равен периоду изменения втой силы.
Иллюстрируем сказанное помощью -„г простого примера. Представим себе грув М, подвешенный к точке А (фиг. 26) посредством пружины. Расстояние центра тяжести С этого грува от точки привеса в момент, когда грув находится в покое, пусть будет Е. Выведем ' груз из положения равновесия и затем предоставим самому себе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
