ОДУ - 2 (1086550), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Записывая далее из уравнения Lz = 0, x 6= ξ, выражениеz 00 (x) =q(x)z(x) − p0 (x)z 0 (x),p(x)убеждаемся в непрерывности второй производной при x = ξ благодаряравенству ее предельных значений при x → ξ ± 0. Тогда функция z(x)является решением уравнения также и при x = ξ,Lz = 0,0 6 x 6 l,и удовлетворяет условиям (3.19), (3.20).
По условию теоремы однородная краевая задача на отрезке [0, l] имеет только тривиальное решение.b ξ), и теорема 3.2.1 доказаПоэтому z(x) = 0, а значит G(x, ξ) = G(x,на.3.2. Функция Грина63Пример 3.2.1. Построить функцию Грина для краевой задачиy 00 (x) + a2 y(x) = f (x),y(0) = 0, y(l) = 0,0 6 x 6 l,где a 6= πnl−1 , n = 1, 2, . . . .Возьмем y1 (x) = sin ax, а y2 (x) = sin a(x − l). Очевидно, чтоyi00 (x) + a2 yi (x) = 0,i = 1, 2,y1 (0) = y2 (l) = 0.Постояннаяg0 = p(x)W (x) = y1 (x)y20 (x) − y2 (x)y10 (x) = a sin al.Из формулы (3.23) следует, что для данной краевой задачи функцияГрина равнаsin ax sin a(ξ − l), 0 6 x 6 ξ,a sin al(3.24)Ga (x, ξ) =sinaξsina(x−l), ξ 6 x 6 l.a sin al3.2.3. Нахождение решения неоднородной краевой задачи спомощью функции ГринаДокажем теорему существования и единственности решения краевойзадачи (3.18)-(3.20).Теорема 3.2.2.
Если однородная краевая задача (3.21) имеет только нулевое решение, то решение краевой задачи (3.18)-(3.20) существует, единственно и задается формулойZly(x) =G(x, ξ)f (ξ)dξ,0 6 x 6 l.(3.25)0Доказательство. Покажем, что функция y(x), определяемая формулой (3.25), является решением краевой задачи (3.18)-(3.20).Из формулы (3.23) для функции Грина следует, чтоy2 (x)y(x) =g0Zx0y1 (x)y1 (ξ)f (ξ)dξ +g0Zly2 (ξ)f (ξ)dξ.x(3.26)64Глава 3. Краевые задачиПосле дифференцирования и приведения подобных слагаемых получаемZxZly 0 (x)y 0 (x)y1 (ξ)f (ξ)dξ + 1y2 (ξ)f (ξ)dξ.(3.27)y 0 (x) = 2g0g0x0Вычислимy1 (x)y20 (x) − y2 (x)y10 (x) p(x)ddyf (x)+p(x)=dxdxg0 Zx Zldy21 ddy11 dp(x)y1 (ξ)f (ξ)dξ +p(x)y2 (ξ)f (ξ)dξ.+g0 dxdxg0 dxdxx0Так как Ly1 = Ly2 = 0, аLy == f (x) +Ly2g0y1 (x)y20 (x)ddxp(x)dydx−Zxy1 (ξ)f (ξ)dξ +0y2 (x)y10 (x)p(x) = g0 , то− q(x)y(x) =Ly1g0Zly2 (ξ)f (ξ)dξ = f (x).xСледовательно, y(x) является решением уравнения (3.18).Убедимся в выполнении краевых условий (3.19), (3.20).
Из формул(3.26), (3.27) и (3.22) следует, чтоα1 y10 (0) + β1 y1 (0)α1 y (0) + β1 y(0) =g00Zly2 (ξ)f (ξ)dξ = 0.0Аналогично проверяется (3.20).Докажем единственность полученного решения. Пусть имеется ещеодно решение ye(x) краевой задачи (3.18)-(3.20). Тогда их разностьv(x) = y(x) − ye(x) будет решением однородной краевой задачи (3.21) наотрезке [0, l] и по условию теоремы равна нулю, то есть y(x) − ye(x) ≡ 0,и теорема 3.2.2 доказана.3.2.4. О применении функции Грина в нелинейныхдифференциальных уравненияхПриведем пример применения функции Грина для доказательствасуществования и единственности решения краевой задачи для нелиней-3.2.
Функция Грина65ного дифференциального уравнения.Рассмотрим краевую задачуy 00 (x) + a2 y(x) = F (x, y(x)),0 6 x 6 l,y(0) = y(l) = 0.(3.28)(3.29)Теорема 3.2.3. Пусть функция F (x, y) определена и непрерывнапри x ∈ [0, l] и y ∈ R и удовлетворяет условию Липшица по y:|F (x, y1 ) − F (x, y2 )| 6 L|y1 − y2 |,∀x ∈ [0, l],y1 , y2 ∈ R.Если lL(a| sin al|)−1 < 1, то решение краевой задачи (3.28), (3.29) существует и единственно.Доказательство. Пусть y(x) - решение краевой задачи (3.28), (3.29).Введем функцию f (x) = F (x, y(x)). Тогда функция y(x) является решением краевой задачиy 00 (x) + a2 y(x) = f (x),y(0) = 0, y(l) = 0,0 6 x 6 l,Функция Грина для решения этой задачи имеет вид (3.24).
Применяяфункцию Грина, получимZly(x) =Ga (x, ξ)f (ξ)dξ,0 6 x 6 l.0Учитывая определение функции f (x), имеемZly(x) =Ga (x, ξ)F (ξ, y(ξ))dξ,0 6 x 6 l.(3.30)0Таким образом, мы показали, что, если функция y(x) – решение краевойзадачи (3.28), (3.29), то она является решением интегрального уравнения (3.30).Справедливо и обратное. Пусть функция y(x) непрерывна на отрезке[0, l] и является решением интегрального уравнения (3.30). Из формул(3.24), (3.30) следует, что функция y(x) удовлетворяет краевым условиям (3.29). Дифференцируя уравнение (3.30) два раза и подставляя y(x)66Глава 3. Краевые задачии y 00 (x) в уравнение (3.28), легко убедиться в том, что y(x) являетсярешением этого уравнения.
Следовательно, непрерывное решение уравнения (3.30) является решением краевой задачи (3.28), (3.29). Такимобразом, мы показали, что краевая задача (3.28), (3.29) эквивалентнаинтегральному уравнению (3.30).Докажем существование решения уравнения (3.30), непрерывного наотрезке [0, l]. Рассмотрим последовательность функций y0 (x) = 0,Zlyn+1 (x) =Ga (x, ξ)F (ξ, yn (ξ))dξ,0 6 x 6 l,n = 0, 1, 2, . . . . (3.31)0Все функции yn (x) определены и непрерывны на отрезке [0, l].Покажем, что справедлива оценкаnlL|yn+1 (x) − yn (x)| 6 M, 0 6 x 6 l, n = 0, 1, 2, . . . , (3.32)a| sin al|где lZM = max |y1 (x)| = max Ga (x, ξ)F (ξ, 0)dξ .06x6l06x6l 0Действительно, при n = 0 она верна.
Пусть она верна при n = m − 1.Покажем, что она справедлива и при n = m. Оценим |ym+1 (x) − ym (x)|.Так как|Ga (x, ξ)| 6 (a| sin al|)−1 , 0 6 x, ξ 6 l,тоZl|ym+1 (x) − ym (x)| 6|Ga (x, ξ)||F (ξ, ym (ξ)) − F (ξ, ym−1 (ξ))|dξ 606La| sin al|Zl|ym (ξ) − ym−1 (ξ)|dξ 6 MlLa| sin al|0Следовательно, оценка (3.32) доказана по индукции.Так какkXyk (t) =(yn (t) − yn−1 (t)),n=1m,0 6 x 6 l.3.3. Задача Штурма-Лиувилля67то равномерная сходимость последовательности yk (t) на отрезке [0, l]эквивалентна равномерной сходимости ряда∞X(yn (t) − yn−1 (t)).n=1Из оценки (3.32) и признака Вейерштрасса следует, что этот ряд сходится равномерно на отрезке [0, l].
Следовательно, последовательностьфункций yk (x) также сходится равномерно на отрезке [0, l] к некоторой функции y(x). Так как все функции yk (t) непрерывны, то и y(x)непрерывна на отрезке [0, l]. Переходя в формуле (3.31) к пределу приn стремящемся к бесконечности, получим, что функция y(x) является решением уравнения (3.30). Следовательно, она является решениемкраевой задачи (3.28), (3.29).Докажем единственность решения краевой задачи (3.28), (3.29).
Дляэтого достаточно доказать, что уравнение (3.30) имеет единственноенепрерывное решение. Предположим, что это не так и существуют двенепрерывные функции y1 (x), y2 (x), являющиеся решениями уравнения(3.30). ТогдаZly1 (x) − y2 (x) =Ga (x, ξ) F (ξ, y1 (ξ)) − F (ξ, y2 (ξ)) dξ,0 6 x 6 l.0Используя оценку для функции Грина Ga (x, ξ), получимZl|y1 (x) − y2 (x)| 6|Ga (x, ξ)|L|y1 (ξ)) − y2 (ξ)|dξ <0< max |y1 (x) − y2 (x)|,06x6l0 6 x 6 l.Из этого неравенства вытекает что y1 (x) = y2 (x).
Таким образом, решение краевой задачи единственно и теорема 3.2.3 доказана.3.3. Задача Штурма-ЛиувилляРассмотрим краевую задачуddyLy =p(x)− q(x)y = −λy,dxdx0 6 x 6 l,(3.33)68Глава 3. Краевые задачиα1 y 0 (0) + β1 y(0) = 0,0α2 y (l) + β2 y(l) = 0,(3.34)(3.35)где p(x), q(x) – известные действительные функции, α1 , β1 , α2 , β2 –известные действительные постоянные такие, что p(x) ∈ C 1 [0, l], p(x) >0, x ∈ [0, l], q(x) ∈ C[0, l], αi2 + βi2 > 0, i = 1, 2 и λ – комплексныйпараметр.Очевидно, что при любом значении параметра λ краевая задача(3.33)-(3.35) имеет решение y(x) = 0.Определение 3.3.1. Если для некоторого λ1 краевая задача (3.33)(3.35) имеет нетривиальное решение y1 (x), то λ1 называется собственным значением, а y1 (x) собственной функцией.Задача поиска собственных значений и собственных функций называется задачей Штурма-Лиувилля.Очевидно, что собственные функции определены с точностью допроизвольной постоянной, а именно, если y(x) – собственная функция,то и cy(x), где c – произвольная отличная от нуля постоянная, являетсясобственной функцией.Задача решения уравнения (3.33) представляет собой задачу поиска собственных значений и собственных функций дифференциальногооператора L.
Важно отметить, что без краевых условий (3.34), (3.35)эта задача бессмысленна. Действительно, уравнение Ly = −λy(x) прилюбом λ имеет нетривиальное решение, поскольку при любом λ оно является линейным однородным дифференциальным уравнением второгопорядка.Из курса алгебры известно, что собственные значения и собственные векторы действительной матрицы могут быть комплекснозначными. Так и в случае задачи Штурма-Лиувилля, вообще говоря, возможно появление комплекснозначных собственных значений и собственныхфункций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
