ОДУ - 2 (1086550), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Основные понятия91Определение 5.1.3. Вариацией δΦ[y0 (x), δy(x)]Φ[y(x)] на функции y0 (x) ∈ M называетсяфункционалаdΦ[y0 (x) + tδy(x)] .dtt=0Приведем примеры, показывающие, что вариация функционала может существовать, а может и не существовать.Пусть M = C[x0 , x1 ].
РассмотримZx1Φ[y(x)] = (y(x))2 dx.x0ТогдаdΦ[y0 (x) + tδy(x)]=dtt=0Zx1Zx1d=[y0 (x) + tδy(x)]2 dx= 2 y0 (x)δy(x)dx,dtt=0δΦ[y0 (x), δy(x)] =x0x0и вариация функционала δΦ[y0 (x), δy(x)] существует для любой y0 (x).Если же мы на том же самом множестве рассмотрим функционалZx1|y(x)|dxΦ[y(x)] =x0и возьмем y0 (x) = 0, а δy(x) = 1, тоδΦ[y0 (x), δy(x)] =ddΦ[y0 (x) + tδy(x)]= (x1 − x0 )|t| ,dtdtt=0t=0и вариация функционала не существует.5.1.2. Экстремум функционалаОпределение 5.1.4. Функционал Φ[y(x)] достигает на функцииy0 (x) ∈ M глобального минимума (максимума) на множестве M , если для любой y(x) ∈ M выполнено неравенство Φ[y0 (x)] 6 Φ[y(x)](Φ[y0 (x)] > Φ[y(x)]).92Глава 5.
Основы вариационного исчисленияПусть на множестве M введена некоторая норма функции y(x), напримерky(x)k = max |y(x)|.x0 6x6x1Определение 5.1.5. Функционал Φ[y(x)] достигает на функцииy0 (x) ∈ M локального минимума (максимума) на множестве M , еслисуществует ε > 0 такое, что для любой y(x) ∈ M и удовлетворяющей неравенству ky(x) − y0 (x)k < ε, справедливо Φ[y0 (x)] 6 Φ[y(x)](Φ[y0 (x)] > Φ[y(x)]).Максимумы и минимумы функционала называются экстремумамифункционала.
Задачи отыскания экстремумов функционалов и функций, на которых они достигаются, называются задачами вариационногоисчисления.Докажем теорему о необходимом условии экстремума функционала.Теорема 5.1.1. Если функционал Φ[y(x)] достигает на функцииy0 (x) ∈ M локального максимума или минимума на множестве M ивариация функционала на y0 (x) существует, то вариация функционала δΦ[y0 (x), δy(x)] равна нулю для любой допустимой вариации δy(x).Доказательство. Пусть функционал Φ[y(x)] достигает на функцииy0 (x) локального экстремума. Рассмотрим Φ[y0 (x) + tδy(x)], где δy(x)произвольная вариация y0 (x).
При фиксированных y0 (x) и δy(x) функционал Φ[y0 (x) + tδy(x)] является функцией переменной t :ϕ(t) = Φ[y0 (x) + tδy(x)].Так как функционал Φ[y(x)] достигает на функции y0 (x) локальногоэкстремума, то у функции ϕ(t) точка t = 0 является точкой локального экстремума. Следовательно, если производная ϕ0 (0) существует, тоϕ0 (0) = 0. Существование производной ϕ0 (0) следует из существованиявариации функционала Φ[y(x)] на y0 (x)ddϕ(t)= Φ[y0 (x) + tδy(x)] .dtdtt=0t=0Следовательно,δΦ[y0 (x), δy(x)] =dΦ[y0 (x) + tδy(x)]=0dtt=0для любой δy(x).
Теорема 5.1.1 доказана.5.1. Основные понятия93Рис. 5.1. К доказательству леммы 5.1.1.5.1.3. Основная лемма вариационного исчисленияДокажем лемму, которую в связи с ее важностью при исследованиизадач вариационного исчисления, называют основной леммой вариационного исчисления.Напомним, что C n [x0 , x1 ], n ∈ N обозначает множество n раз непрерывно дифференцируемых на отрезке [x0 , x1 ] функций.
Пусть C0n [x0 , x1 ]— множество функций y(x) ∈ C n [x0 , x1 ] таких, чтоy (m) (x0 ) = y (m) (x1 ) = 0,m = 0, 1, . . . , n − 1.Лемма 5.1.1. Пусть f (x) – непрерывная на отрезке [x0 , x1 ] функция такая, чтоZx1f (x)y(x)dx = 0x0для любой y(x) ∈C0n [x0 , x1 ].Тогда f (x) ≡ 0 на отрезке [x0 , x1 ].Доказательство. Предположим, что функция f (x) отлична от нуля наотрезке [x0 , x1 ]. Тогда существует точка x2 ∈ (x0 , x1 ) такая, что f (x2 ) 6=0. Пусть для определенности f (x2 ) > 0. В силу непрерывности f (x)существует ε > 0 такое, чтоf (x) >f (x2 )> 0,2∀x ∈ [x2 − ε, x2 + ε] ⊂ (x0 , x1 ).Рассмотрим функцию y2 (x) следующего вида (см.
рис. 5.1):(x − (x2 − ε))n+1 ((x2 + ε) − x)n+1 , x ∈ [x2 − ε, x2 + ε];y2 (x) =0,x 6∈ [x2 − ε, x2 + ε].94Глава 5. Основы вариационного исчисленияФункция y2 (x) ∈ C0n [x0 , x1 ] и y2 (x) > 0 при x ∈ (x2 − ε, x2 + ε). Следовательно,xZ2 +εZx1f (x)y2 (x)dx =f (x)y2 (x)dx > 0,x2 −εx0что противоречит условию леммы. Лемма 5.1.1 доказана.5.2. Уравнение ЭйлераРассмотрим множество M непрерывно дифференцируемых на[x0 , x1 ] функций y(x) таких, что y(x0 ) = y0 , y(x1 ) = y1 .
Определимна этом множестве функционалZx1Φ[y(x)] =F (x, y(x), y 0 (x))dx,(5.1)x0где F (x, y, p) – заданная функция трех переменных.Получим необходимое условие экстремума функционала на множестве M .Теорема 5.2.1. Предположим, что при x ∈ [x0 , x1 ], (y, p) ∈ R2 уфункции F (x, y, p) существуют непрерывные вторые частные производные. Если функционал (5.1) достигает локального экстремума нафункции y0 (x) ∈ M , имеющей непрерывную вторую производную наотрезке [x0 , x1 ], то функция y0 (x) является решением дифференциального уравненияFy (x, y(x), y 0 (x)) −dFp (x, y(x), y 0 (x)) = 0,dxx0 6 x 6 x1 .(5.2)Доказательство. Найдем вариацию функционала (5.1) на y0 (x). Изопределения множества M следует, что допустимой вариацией δy(x)функции y0 (x) является любая непрерывно дифференцируемая на отрезке [x0 , x1 ] функция, обращающаяся в ноль на концах этого отрезка(см.
рис. 5.2). То есть δy(x) ∈ C01 [x0 , x1 ].Используя определение вариации функционала, получимdδΦ[y0 (x), δy(x)] = Φ[y0 (x) + tδy(x)]=dtt=05.2. Уравнение Эйлера95Рис. 5.2. К доказательству теоремы 5.2.1.Zx1d=dtF (x, y0 (x) + tδy(x), y00 (x) + t(δy)0 (x))dx=t=0x0Zx1n=Fy (x, y0 (x) + tδy(x), y00 (x) + t(δy)0 (x))δy(x)+x0o +Fp (x, y0 (x) + tδy(x), y00 (x) + t(δy)0 (x))(δy)0 (x) dx==t=0Zx1noFy (x, y0 (x), y00 (x))δy(x) + Fp (x, y0 (x), y00 (x))(δy)0 (x) dxx0Из теоремы о необходимом условии экстремума следует, что вариацияфункционала на y0 (x) должна равняться нулю, то естьZx1Fy (x, y0 (x), y00 (x))δy(x)dxx0Zx1+Fp (x, y0 (x), y00 (x))(δy)0 (x)dx = 0.x0Интегрируя по частям второй интеграл и учитывая то, чтоδy(x0 ) = δy(x1 ) = 0,получимZx1nodFp (x, y0 (x), y00 (x)) δy(x)dx = 0.Fy (x, y0 (x), y00 (x)) −dxx096Глава 5.
Основы вариационного исчисленияЭто равенство выполнено для любой функции δy(x) ∈ C01 [x0 , x1 ]. Применяя основную лемму вариационного исчисления, имеемFy (x, y0 (x), y00 (x)) −dFp (x, y0 (x), y00 (x)) = 0,dxx0 6 x 6 x1 .Следовательно, функция y0 (x) является решением уравнения (5.2) итеорема 5.2.1 доказана.Уравнение (5.2) называется уравнением Эйлера для функционала(5.1). Так как функция y0 (x), на которой достигается экстремум функционала (5.1), принадлежит множеству M , то она является решениемследующей краевой задачиdFp (x, y(x), y 0 (x)) = 0,dxy(x1 ) = y1 .Fy (x, y(x), y 0 (x)) −y(x0 ) = y0 ,x0 6 x 6 x1 ,Рассмотрим пример применения доказанной теоремы.Во многих приложениях, например, при обработке изображений,требуется приблизить некоторую функцию f (x) более гладкой функцией y(x).
Это означает, что производная y 0 (x) не должна иметь слишкомбольшие значения. Для решения подобных задач может быть применено вариационное исчисление. Пусть f (x) такова, что f (x0 ) = f (x1 ) = 0.Рассмотрим задачу нахождения минимума следующего функционалаZx1Zx12(y(x) − f (x)) dx + α (y 0 (x))2 dx,x0(5.3)x0где α – положительный параметр. Минимизация первого интегралаобеспечивает близость функции y(x) к исходной f (x), а минимизациявторого интеграла приводит к тому, что значения производной y 0 (x) небудут слишком большими.Для решения задачи минимизации функционала (5.3) на множествефункций y(x) таких, что y(x) ∈ C 1 [x0 , x1 ], y(x0 ) = y(x1 ) = 0, запишемуравнение Эйлера для функционала (5.3).
Так как в этом случаеF (x, y, p) = (y − f (x))2 + αp2 , Fy (x, y, p) = 2(y − f (x)), Fp (x, y, p) = 2αp,то уравнение Эйлера имеет вид2(y(x) − f (x)) −d(2αy 0 (x)) = 0.dx5.3. Необходимые условия экстремума некоторых функционалов97Преобразуя это уравнение и учитывая краевые условия, получим краевую задачу для определения функции y(x)y 00 (x) − (α)−1 y(x) = −(α)−1 f (x),x0 6 x 6 x1 ,y(x0 ) = y(x1 ) = 0.(5.4)(5.5)Так как уравнение Эйлера дает необходимое условие экстремума, томожно утверждать, что, если минимум функционала (5.3) достигаетсяна дважды непрерывно дифференцируемой функции, то эта функцияявляется решением краевой задачи (5.4), (5.5). Заметим, что однородная (f (x) = 0) краевая задача (5.4), (5.5) имеет только нулевое решение, следовательно, решение краевой задачи (5.4), (5.5) существует иединственно для любой f (x).
Можно доказать, что это решение будетминимизировать функционал (5.3).5.3. Необходимые условия экстремумадля некоторых функционаловВ этом параграфе мы рассмотрим некоторые функционалы и получим для них необходимые условия экстремума.5.3.1. Функционал, зависящий от производных порядка вышепервогоРассмотрим множество M функций y(x) ∈ C n [x0 , x1 ] таких, чтоy(x0 ) = y00 , y 0 (x0 ) = y01 , y 00 (x0 ) = y02 , . . .
, y (n−1) (x0 ) = y0n−1 ,(5.6)y(x1 ) = y10 , y 0 (x1 ) = y11 , y 00 (x1 ) = y12 , . . . , y (n−1) (x1 ) = y1n−1 .(5.7)Определим на этом множестве функционалZx1Φ[y(x)] =F (x, y(x), y 0 (x), . . . , y (n) (x))dx,(5.8)x0где функция F (x, y, p1 , . .
. , pn ) определена и непрерывна при x ∈ [x0 , x1 ],(y, p1 , . . . , pn ) ∈ Rn+1 .Получим необходимое условие экстремума функционала (5.8) намножестве M .98Глава 5. Основы вариационного исчисленияТеорема 5.3.1. Пусть функция F (x, y, p1 , . . .
, pn ) имеет при x ∈[x0 , x1 ], (y, p1 , . . . , pn ) ∈ Rn+1 непрерывные частные производные порядка 2n. Если функция ȳ(x) ∈ M , ȳ(x) ∈ C 2n [x0 , x1 ], и на ней достигается экстремум функционала (5.8) на множестве M , то ȳ(x) являетсярешением уравненияFy −dndFp1 + · · · + (−1)n n Fpn = 0,dxdxx0 6 x 6 x1 ,(5.9)где F = F (x, y(x), y 0 (x), . . . , y (n) (x)).Доказательство. В силу необходимого условия экстремума вариацияфункционала (5.8) на функции ȳ(x) должна обращаться в ноль длялюбой допустимой вариации δy(x) ∈ C0n [x0 , x1 ].По определению вариации функционала имеемδΦ[ȳ(x), δy(x)] =d=dtZx1dΦ[ȳ(x) + tδy(x)]=dtt=0F (x, ȳ(x)+tδy(x), ȳ 0 (x)+t(δy)0 (x), . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
