ОДУ - 2 (1086550), страница 14
Текст из файла (страница 14)
. , ȳ (n) (x)+t(δy)(n) (x))dx.t=0x0Дифференцируя интеграл по параметру t, полагая затем t = 0 и приравнивая вариацию к нулю, получимZx1Fy δy(x) + Fp1 (δy)0 (x) + · · · + Fpn (δy)(n) (x) dx = 0.x0Интегрируя по частям и учитывая то, что функция δy(x) и ее производные обращаются в ноль на концах отрезка, имеемZx1Fy −dndFp1 + · · · + (−1)n n Fpn δy(x)dx = 0.dxdxx0Так как это равенство выполнено для любой функции δy(x) ∈ C0n [x0 , x1 ],то, применяя основную лемму вариационного исчисления, получим, чтофункция ȳ(x) является решением дифференциального уравнения (5.9).Теорема 5.3.1 доказана.5.3.
Необходимые условия экстремума некоторых функционалов99Таким образом, мы показали, что, если на функции ȳ(x) ∈C 2n [x0 , x1 ] достигается экстремум функционала (5.8) на множестве M ,то эта функция является решением краевой задачи (5.9), (5.6), (5.7).В качестве примера применения доказанной теоремы рассмотримзадачу приближения функции f (x) более гладкой функцией y(x). В отличие от примера из предыдущего параграфа будем требовать, чтобызначения не только первой производной, но и второй производной функции y(x), были невелики.Рассмотрим задачу нахождения минимума функционалаZx1Zx12y(x) − f (x) dx + α(y 0 (x))2 + (y 00 (x))2 dx,(5.10)x0x0где α – положительный параметр.
Будем предполагать, что функцияf (x) такова, что f (x0 ) = f (x1 ) = 0, f 0 (x0 ) = f 0 (x1 ) = 0 и рассмотримзадачу минимизации функционала (5.10) на множестве функций y(x)таких, что y(x) ∈ C 2 [x0 , x1 ], y(x0 ) = y(x1 ) = 0, y 0 (x0 ) = y 0 (x1 ) = 0. Таккак в этом случае функцияF (x, y, p1 , p2 ) = (y − f (x))2 + αp21 + αp22 ,то уравнение (5.9) имеет видdd2(2αy 0 (x)) + 2 (2αy 00 (x)) = 0.dxdxПреобразуя это уравнение и учитывая краевые условия y(x0 ) = y(x1 ) =0, y 0 (x0 ) = y 0 (x1 ) = 0, получим краевую задачу для определения функции y(x)2(y(x) − f (x)) −y (4) (x) − y 00 (x) + (α)−1 y(x) = (α)−1 f (x), x0 6 x 6 x1 ,y(x0 ) = y 0 (x0 ) = 0, y(x1 ) = y 0 (x1 ) = 0.5.3.2. Функционал, зависящий от функции двух переменныхЗадачи вариационного исчисления можно рассматривать и дляфункционалов, зависящих от функции двух переменных.
Рассмотримфункционал, зависящий от функции u(x, y) и ее частных производныхпервого порядкаZZΦ[u(x, y)] =F (x, y, u(x, y), ux (x, y), uy (x, y))dxdy,(5.11)D100Глава 5. Основы вариационного исчисленияРис. 5.3.где F (x, y, u, p, q) – заданная функция, а D – область, ограниченнаяконтуром L. Будем предполагать, что функция F (x, y, u, p, q) имеетнепрерывные вторые частные производные при (x, y) ∈ D = D ∪ L,(u, p, q) ∈ R3 .Пусть M – множество функций u(x, y), имеющих в D непрерывные частные производные и принимающих на L заданные значенияu(x, y) = ϕ(x, y), (x, y) ∈ L.
Вариация функции u(x, y), не выводящаяее из множества M , – это функция δu(x, y), имеющая в D непрерывныечастные производные и обращающаяся в ноль на L, то есть δu(x, y) = 0,(x, y) ∈ L (см. рис. 5.3).Получим необходимое условие экстремума функционала (5.11). Дляэтого нам потребуется лемма, аналогичная основной лемме вариационного исчисленияЛемма 5.3.1. Пусть функция f (x, y) непрерывна в D. ЕслиZZf (x, y)v(x, y)dxdy = 0Dдля любой функции v(x, y), имеющей непрерывные частные производные в D и обращающейся в ноль на контуре L, то f (x, y) = 0,(x, y) ∈ D.Доказательство. Предположим, что функция f (x, y) отлична от нуляв D. Тогда существует точка (x0 , y0 ) ∈ D такая, что f (x0 , y0 ) 6= 0. Пустьдля определенности f (x0 , y0 ) > 0.
Из непрерывности f (x, y) в точке5.3. Необходимые условия экстремума некоторых функционалов101Рис. 5.4. К доказательству леммы 5.3.1.(x0 , y0 ) следует, что существует кругS = {(x, y) : (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < ε2 }f (x0 , y0 )> 0 при (x, y) ∈ S ⊂ D. Рассмотрим2функцию v0 (x, y) такую, что (см. рис. 5.4)2(x − x0 )2 + (y − y0 )2 − ε2 , (x, y) ∈ S;v0 (x, y) =0,(x, y) ∈ D\S.такой, что f (x, y) >ТогдаZZZZf (x, y)v0 (x, y)dxdy =Df (x, y)v0 (x, y)dxdy >S>f (x0 , y0 )2ZZv0 (x, y)dxdy > 0,Sчто противоречит условию леммы.
Полученное противоречие показывает, что исходное предположение было неверно. Лемма 5.3.1 доказана.Теорема 5.3.2. Предположим, что функция F (x, y, u, p, q) имеетнепрерывные вторые частные производные при (x, y) ∈ D, (u, p, q) ∈ R3 .Если экстремум функционала (5.11) достигается на функции ū(x, y) ∈M , имеющей непрерывные вторые частные производные в D, то этафункция является решением уравнения в частных производныхFu −∂Fp∂Fq−= 0,∂x∂y(x, y) ∈ D.(5.12)102Глава 5. Основы вариационного исчисленияДоказательство. Пусть экстремум функционала (5.11) достигается нафункции ū(x, y) ∈ M , имеющей непрерывные вторые частные производные в D.
Из необходимого условия экстремума следует, что вариацияфункционала (5.11) на этой функции равна нулюdδΦ[ū(x, y), δu(x, y)] = Φ[ū(x, y) + tδu(x, y)]= 0,dtt=0то естьZZdF (x, y, w(x, y, t), wx (x, y, t), wy (x, y, t))dxdy = 0,dtt=0Dгде w(x, y, t) = ū(x, y) + tδu(x, y). Дифференцируя по t под знаком интеграла и полагая t равным нулю, получимZZFu (x, y, ū, ūx , ūy )δu(x, y)dxdy+D+ZZ nFp (x, y, ū, ūx , ūy )(δu)x (x, y)+Do+ Fq (x, y, ū, ūx , ūy )(δu)y (x, y) dxdy = 0. (5.13)Преобразуем это равенство.
Очевидно, что ∂Fp∂Fp δu −· δu,∂x∂x ∂Fq∂Fq δu −· δu.Fq (x, y, ū, ūx , ūy )(δu)y (x, y) =∂y∂yFp (x, y, ū, ūx , ūy )(δu)x (x, y) =Следовательно,ZZ noFp (x, y, ū, ūx , ūy )(δu)x (x, y) + Fq (x, y, ū, ūx , ūy )(δu)y (x, y) dxdy =DZZ ZZ ∂∂∂Fp∂Fq =Fp δu +Fq δu dxdy −+δu dxdy.∂x∂y∂x∂yDDПрименяя формулу Грина к интегралуZZ ∂∂(Fp δu) +(Fq δu) dxdy∂x∂yD5.3. Необходимые условия экстремума некоторых функционалов103и учитывая то, что δu(x, y) = 0, (x, y) ∈ L, получимZZ I∂∂Fp δu +Fq δu dxdy =Fp δudy − Fq δudx = 0.∂x∂yDLСледовательно,ZZFp (x, y, ū, ūx , ūy )(δu)x (x, y) + Fq (x, y, ū, ūx , ūy )(δu)y (x, y) dxdy =D=−ZZ ∂Fp∂Fq +δu dxdy,∂x∂yDи равенство (5.13) принимает видZZ no∂∂Fp −Fq δu(x, y) dxdy = 0,Fu −∂x∂yDгде Fu , Fp , Fq вычисляются в точке (x, y, ū(x, y), ūx (x, y), ūy (x, y)).
Таккак полученное равенство выполнено для любой допустимой вариацииδu(x, y), то, применяя лемму 5.3.1, получаем, что функция ū(x, y) является решением уравнения (5.12). Теорема 5.3.2 доказана.Следовательно, если функция ū(x, y) такова, что ū ∈ M , имеет в Dнепрерывные вторые частные производные и на ней достигается экстремум функционала (5.12), то эта функция является решением следующейзадачи:∂Fq∂Fp−= 0, (x, y) ∈ D,∂x∂yu(x, y) = ϕ(x, y), (x, y) ∈ L.Fu −Приведем еще один пример вариационной задачи, связанной со сглаживанием функции двух переменных. Пусть нам нужно приблизитьфункцию двух переменных f (x, y), заданную в некоторой области Dболее гладкой функцией u(x, y). Предположим, что функция f (x, y) награнице L области D обращается в ноль.
Для решения задачи рассмотрим задачу минимизации функционалаZZ no(u(x, y) − f (x, y))2 + α (ux (x, y))2 + (uy (x, y))2 dxdyD104Глава 5. Основы вариационного исчисленияЗаписывая для этого функционала уравнение (5.12), получим, что, еслиминимум достигается на функции ū(x, y), имеющей непрерывные вторые частные производные в D и обращающейся в ноль на L, то этафункция является решением уравнения в частных производныхuxx (x, y) + uyy (x, y) − α−1 u(x, y) = −α−1 f (x, y),(x, y) ∈ D.5.4. Вариационная задача на условный экстремумРассмотрим два функционалаZx1Φ[y(x)] =F (x, y(x), y 0 (x))dx(5.14)G(x, y(x), y 0 (x))dx,(5.15)x0иZx1Ψ[y(x)] =x0где F (x, y, p), G(x, y, p) – заданные дважды непрерывно дифференцируемые функции своих аргументов.Рассмотрим следующую экстремальную задачу. Пусть требуетсянайти функцию ȳ(x), на которой достигается экстремум функционала(5.14) на множестве функцийMΨ = y(x) ∈ C 1 [x0 , x1 ] : y(x0 ) = y0 , y(x1 ) = y1 , Ψ[y(x)] = ` .
(5.16)Таким образом, нам нужно найти экстремум функционала (5.14) намножестве функций определяемом тем условием, что функционал (5.15)принимает на этом множестве постоянное значение. Вариационные задачи такого типа называются задачами на условный экстремум.Найдем вариацию функционала (5.15) на множестве функцийM = {y(x) ∈ C 1 [x0 , x1 ] :y(x0 ) = y0 ,y(x1 ) = y1 }.Пусть δy(x) – допустимая вариация функции на M , то естьδy(x) ∈ C 1 [x0 , x1 ],δy(x0 ) = δy(x1 ) = 0.5.4. Вариационная задача на условный экстремум105Тогда вариация функционала Ψ[y(x)] на функции ỹ(x) ∈ M равнаδΨ[ỹ(x), δy(x)] =dΨ[ỹ(x) + tδy(x)] .dtt=0Дифференцируя по t и полагая t = 0, получаемδΨ[ỹ(x), δy(x)] =Zx1no=Gy (x, ỹ(x), ỹ 0 (x))δy(x) + Gp (x, ỹ(x), ỹ 0 (x))(δy)0 (x) dx.
(5.17)x0Сформулируем условие, необходимое для того, чтобы на функцииȳ(x) достигался экстремум функционала (5.14) на множестве MΨ .Теорема 5.4.1. Пусть на функции ȳ(x) ∈ MΨ , ȳ(x) ∈ C 2 [x0 , x1 ],достигается экстремум функционала (5.14) на множестве MΨ . Еслисуществует функцияδy0 (x) ∈ C 1 [x0 , x1 ],δy0 (x0 ) = δy0 (x1 ) = 0такая, что вариация δΨ[ȳ(x), δy0 (x)] 6= 0, то найдется число λ такое,что ȳ(x) удовлетворяет уравнениюLy (x, y(x), y 0 (x)) −dLp (x, y(x), y 0 (x)) = 0,dxx0 6 x 6 x1 ,(5.18)гдеL(x, y, p) = F (x, y, p) + λG(x, y, p).(5.19)Доказательство. Возьмем произвольную функцию δy(x) такую, чтоδy(x) ∈ C 1 [x0 , x1 ], δy(x0 ) = δy(x1 ) = 0.
Рассмотрим функцииϕ(t, τ ) = Φ[ȳ(x) + tδy(x) + τ δy0 (x)],ψ(t, τ ) = Ψ[ȳ(x) + tδy(x) + τ δy0 (x)],где t, τ – произвольные действительные числа.Из определения функций ϕ(t, τ ) и ψ(t, τ ) следует, чтоϕ(0, 0) = Φ[ȳ(x)],ϕt (0, 0) = δΦ[ȳ(x), δy(x)],ψ(0, 0) = Ψ[ȳ(x)],ϕτ (0, 0) = δΦ[ȳ(x), δy0 (x)],106Глава 5. Основы вариационного исчисленияψt (0, 0) = δΨ[ȳ(x), δy(x)],ψτ (0, 0) = δΨ[ȳ(x), δy0 (x)].Покажем, что для любых δy(x) ∈ C01 [x0 , x1 ] якобианD(ϕ, ψ) δΦ[ȳ(x), δy(x)], δΦ[ȳ(x), δy0 (x)]= det= 0.
(5.20)δΨ[ȳ(x), δy(x)], δΨ[ȳ(x), δy0 (x)]D(t, τ ) t=τ =0Предположим, что это не так и существует δ ỹ(x) такая, что для нееякобианδΦ[ȳ(x), δ ỹ(x)], δΦ[ȳ(x), δy0 (x)]det6= 0.δΨ[ȳ(x), δ ỹ(x)], δΨ[ȳ(x), δy0 (x)]Тогда из теоремы о неявных функциях следует, что при δy(x) = δ ỹ(x)системаϕ(t, τ ) = u, ψ(t, τ ) = vоднозначно разрешима для (u, v), находящихся в достаточно малойокрестности (u0 , v0 ), где u0 = ϕ(0, 0), v0 = ψ(0, 0).Пусть, для определенности, ȳ(x) – функция, на которой достигаетсялокальный минимум задачи на условный экстремум.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
