ОДУ - 2 (1086550), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Так как через любую точку (t0 , x0 ) ∈ D1 по теоремесуществования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы (4.1) с начальным условием x(t0 ) = x0 проходит единственная интегральная кривая, то (4.3) выполнено для любой точки D1 .Обратно, пусть для некоторой функции v(t, x1 , . . . , xn ) ∈ C 1 (D1 )справедливо (4.3). В частности, (4.3) будет выполнено и на любой ин-76Глава 4. Уравнения в частных производных первого порядкатегральной кривой (t, x(t)) ∈ D1 .

Тогдаn0≡∂v(t, x(t)) X ∂v(t, x(t))+fj (t, x(t)) =∂t∂xjj=1=n∂v(t, x(t)) X ∂v(t, x(t)) dxj (t)d+=v(t, x(t)) .∂t∂xdtdtjj=1Производная непрерывно дифференцируемой функции v(t, x(t)) скалярного аргумента t равна нулю только когда функция является константой, то есть v(t, x(t)) ≡ C. Поэтому v(t, x) – первый интеграл системы (4.1).4.1.3. Геометрический смысл первого интегралаПусть функция v(t, x1 , . . .

, xn ) ∈ C 1 (D1 ) является первым интегралом системы (4.1) в области D1 , C0 – любое значение, которое этафункция принимает в D1 , и для некоторого j ∈ {1, . . . , n} производная ∂v(t, x)/∂xj 6= 0 в D1 . Покажем, что уравнение v(t, x1 , . . . , vn ) = C0определяет в Rn+1 n-мерную поверхность, целиком состоящую из интегральных кривых системы (4.1).

Пусть точка (t0 , x0 ) ∈ D1 лежит наповерхностиv(t, x) = C0 ,то есть v(t0 , x0 ) = C0 . В силу теоремы существования и единственности решения задачи Коши для системы (4.1) с начальным условиемx(t0 ) = x0 существует единственная интегральная кривая (t, x(t)), проходящая через точку (t0 , x0 ). Так как v(t, x) – первый интеграл, то нарассматриваемой интегральной кривой справедливы равенстваv(t, x(t)) = v(t0 , x(t0 )) = v(t0 , x0 ) = C0 ,показывающие, что при всех допустимых t 6= t0 интегральная криваяостается на поверхности v(t, x) = C0 .4.1.4.

Независимые первые интегралыПусть v1 (t, x), . . . , vk (t, x) – первые интегралы системы (4.1). Тогдадля любой непрерывно дифференцируемой в Rk функции ϕ(y1 , . . . , yk )4.1. Первые интегралы нормальной системы77суперпозицияΦ(t, x) = ϕ(v1 (t, x), .

. . , vk (t, x))также является первым интегралом системы (4.1).Определение 4.1.3. Первые интегралы v1 (t, x), . . . , vk (t, x) системы (4.1) называются функционально независимыми в областиD1 , если ранг матрицы производных равен количеству функций k:∂vi (t, x)rang= k, ∀(t, x) ∈ D1 .∂xjВажность функционально независимых интегралов для решениянормальной системы проясняет следующая теорема.Теорема 4.1.1.

Пусть в области D1 существует n функционально независимых первых интегралов v1 (t, x), . . . , vn (t, x) системы (4.1).Тогда для любой точки (t0 , x0 ) ∈ D1 решение x(t) = (x1 (t), . . . , xn (t))задачи Кошиdxk (t)= fk (t, x1 (t), . . . , xn (t)),dtk = 1, . . . , n,x(t0 ) = x0(4.4)однозначно определяется как неявная функция из системы уравнений0 v1 (t, x) = c1 ,..(4.5).0vn (t, x) = cn ,где c0j = vj (t0 , x0 ), j = 1, . . . , n.Доказательство.

Рассмотрим систему уравнений (4.5) в окрестноститочки (t0 , x0 ). В самой точке уравнения очевидно удовлетворяются,причем в силу функциональной независимости первых интегралов (см.определение 4.1.3 при k = n) якобиан по переменным (x1 , . . . , xn ) отличен от нуля:∂vi (t0 , x0 )6= 0.det∂xjТогда по теореме о неявных функциях (см. теорему A.1.1 в дополнении)в некоторой окрестности точки t0 существуют непрерывно дифференцируемые функцииxj (t) = gj (t, c01 , . .

. , c0n ),j = 1, . . . , n78Глава 4. Уравнения в частных производных первого порядкатакие, что при подстановке g(t) = (g1 (t), . . . , gn (t)) в (4.5) получаетсятождество:0 v1 (t, g(t)) = c1 ,..(4.6).0vn (t, g(t)) = cn .Пусть x(t) – решение задачи Коши (4.4). По определению первыхинтегралов имеемvj (t, x(t)) = vj (t0 , x(t0 )) = vj (t0 , x0 ) = c0j ,j = 1, . . . , n.Таким образом, x(t) удовлетворяет той же самой системе функциональных уравнений (4.6), что и g(t). В силу единственности неявной функции в окрестности t0 найденные функции совпадают: x(t) ≡ g(t).Имеет место следующее утверждение, которое мы приводим без доказательства.Теорема 4.1.2. В случае автономной системы (4.1), то естьfj = fj (x),j = 1, .

. . , n,в окрестности любой точки x0 , для которойnXfj2 (x0 ) 6= 0,j=1существует ровно (n−1) не содержащих переменную t функциональнонезависимых первых интегралов системы (4.1).4.2. Уравнения в частных производных первого порядка4.2.1. Классификация дифференциальных уравненийв частных производных первого порядкаПусть u(x) = u(x1 , . . . , xn ) – функция от x = (x1 , . . . , xn ) ∈ D0 , D0 –область в Rn . Уравнение∂u∂u F x1 , . .

. , xn , u,,...,=0∂x1∂xn4.2. Уравнения в частных производных первого порядка79называется дифференциальным уравнением в частных производныхпервого порядка, если заданная функция F (x1 , . . . , xn , u, p1 , . . . , pn ) существенно зависит от последних n аргументов.Дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка называется квазилинейным, если в это уравнение частные производные входят линейно, то естьnXaj (x1 , . . .

, xn , u(x))j=1∂u(x)= b(x1 , . . . , xn , u(x)),∂xjгде функции aj (x, u) = aj (x1 , . . . , xn , u), b(x, u) = b(x1 , . . . , xn , u) считаются заданными на некотором множестве D1 ⊆ Rn+1 , причем всюду вnPD1 выполнено условиеa2j (x, u) 6= 0.j=1Дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка называется линейным однородным, если коэффициенты этогоуравнения не зависят от u, а правая часть равна нулю:nXj=1aj (x)∂u(x)= 0,∂xjгде функции aj (x) заданы на некотором множестве D0 ⊆ Rn , причемnPвсюду в D0 выполнено условиеa2j (x) 6= 0. Очевидно, что линейноеj=1однородное уравнение в частных производных является частным случаем квазилинейного уравнения.Определение 4.2.1.

Функция u(x) называется решением квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка в областиD0 ⊆ Rn , если1. u(x) непрерывно дифференцируема в D0 (то есть u(x) ∈ C 1 (D0 ));2. для любого x ∈ D0 точка (x, u(x)) ∈ D1 ;3. при подстановке функции u(x) в обе части квазилинейного уравнения получается тождество в области D0 .80Глава 4.

Уравнения в частных производных первого порядка4.2.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения вчастных производных первого порядкаРассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение вчастных производных первого порядка в области D0 ⊂ Rn∂u∂u∂u+ a2 (x)+ · · · + an (x)= 0,∂x1∂x2∂xnnXa2j (x) 6= 0, ∀x ∈ D0 .aj (x) ∈ C 1 (D0 ), j = 1, . . . , n,a1 (x)(4.7)(4.8)j=1По коэффициентам уравнения (4.7) построим систему обыкновенныхдифференциальных уравнений n-го порядкаdx1 (t)= a1 (x1 (t), . . . , xn (t)),dt..(4.9). dxn (t) = an (x1 (t), . .

. , xn (t)).dtОпределение 4.2.2. Решения x(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)) системы (4.9)определяют фазовые кривые в пространстве Rn , которые называютсяхарактеристиками уравнения в частных производных (4.7).Связь системы (4.9) и уравнения (4.7) проясняется в следующей лемме.Лемма 4.2.1. Функция u(x) ∈ C 1 (D0 ) является решением линейного однородного уравнения в частных производных (4.7) тогда и толькотогда, когда u(x) является не содержащим t первым интегралом системы (4.9) в области D0 .Доказательство.

Пусть u(x) является не содержащим t первым интегралом системы (4.9) в области D0 . Тогда по лемме 4.1.1 о свойствахпервого интеграла его производная в силу системы (4.9) равна нулю вобласти D0 :nX∂u(x)du =aj (x) = 0, ∀x ∈ D0 .dt (4.9) j=1 ∂xjПоэтому u(x) – решение уравнения в частных производных (4.7).4.2. Уравнения в частных производных первого порядка81Обратно, пусть u(x) – решение уравнения в частных производных(4.7). Тогда его левая часть представляет собой выражение для производной u(x) в силу системы (4.9), и это выражение равно нулю в областиD0 . Согласно лемме 4.1.1 отсюда заключаем, что u(x) является первыминтегралом (4.9) в области D0 .Теорема 4.2.1. Пусть в области D0 система (4.9) имеет ровноn−1 не содержащих t функционально независимых первых интеграловv1 (x1 , .

. . , xn ),v2 (x1 , . . . , xn ),...,vn−1 (x1 , . . . , xn ).Тогда в некоторой окрестности произвольной точки M0 (x01 , . . . , x0n ) ∈D0 общее решение линейного однородного уравнения в частных производных (4.7) имеет видu(x) = F (v1 (x), v2 (x), . . . , vn−1 (x)),(4.10)где F (y1 , . . . , yn−1 ) – произвольная непрерывно дифференцируемаяфункция.Доказательство.

Если vj (x) – первые интегралы системы (4.9), j =1, . . . , n − 1, то для любой непрерывно дифференцируемой функцииF (y1 , . . . , yn−1 ) функция u(x), определенная формулой (4.10), также является первым интегралом, не зависящим от t. Тогда по лемме 4.2.1 u(x)– решение линейного однородного уравнения в частных производных(4.7).Убедимся, что формулой (4.10) описываются все решения линейного однородного уравнения (4.7) в окрестности каждой точкиM0 (x01 , .

. . , x0n ) ∈ D0 . Пусть u(x) – произвольное фиксированное решениеуравнения (4.10). Так как функции v1 (x), . . . , vn−1 (x) являются первыми интегралами системы (4.9), то согласно лемме 4.2.1 эти функцииявляются решениями уравнения (4.7). Таким образом,nX∂u(x)= 0,aj (x)∂xjj=1nX∂v1 (x)aj (x)= 0,∂xj∀x ∈ D0 .(4.11)j=1...n∂vn−1 (x) Xaj (x)= 0,∂xjj=182Глава 4. Уравнения в частных производных первого порядкаВ силу условия (4.8) в каждой точке x ∈ D0 система (4.11) представляет собой имеющую нетривиальное решение a1 (x), .

. . , an (x) однороднуюсистему линейных алгебраических уравнений. Тогда определитель этойсистемы, представляющий собой определитель функциональной матрицы, равен нулюD(u, v1 , . . . , vn−1 )= 0,D(x1 , x2 , . . . , xn )∀x ∈ D0 .При этом в силу функциональной независимости v1 (x), . . . , vn−1 (x) соответствующий минор порядка (n−1) отличен от нуля. Тогда по теоремео функциональных матрицах в окрестности каждой точки M0 найдетсянепрерывно дифференцируемая функция F (y1 , .

. . , yn−1 ) такая, что вокрестности M0 справедливо равенство (4.10).4.2.3. Квазилинейные уравнения в частных производныхпервого порядкаРассмотрим квазилинейное уравнение в частных производных первого порядка в области D ⊆ Rn+1a1 (x, u(x))∂u∂u+ a2 (x, u(x))+ ...∂x1∂x2· · · + an (x, u(x))∂u= b(x, u(x)), (4.12)∂xnaj (x, u), b(x, u) ∈ C 1 (D), j = 1, . . . , n,nXa2j (x, u) 6= 0, ∀(x, u) ∈ D.j=1По коэффициентам и правой части уравнения (4.12) построим системуобыкновенных дифференциальных уравнений (n + 1)-го порядка.dx1= a1 (x, u),dt...dxn(4.13)= an (x, u),dtdu= b(x, u).dt4.2.

Характеристики

Список файлов книги