ОДУ - 2 (1086550), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Рассмотрим системуϕ(t, τ ) = ϕ(0, 0) − ε = Φ[ȳ(x)] − ε,ψ(t, τ ) = ψ(0, 0) = Ψ[ȳ(x)] = `,где ε – достаточно малое положительное число. Так как(ϕ(0, 0) − ε, ψ(0, 0))находится в достаточно малой окрестности точки (u0 , v0 ), то по теореме о неявной функции система имеет единственное решение tε , τε . Этоозначает, чтоϕ(tε , τε ) = Φ[ȳ(x) + tε δ ỹ(x) + τε δy0 (x)] = Φ[ȳ(x)] − ε,ψ(tε , τε ) = Ψ[ȳ(x) + tε δ ỹ(x) + τε δy0 (x)] = `.Следовательно, на функции ȳ(x) + tε δ ỹ(x) + τε δy0 (x), принадлежащеймножеству MΨ , функционал (5.14) принимает значение меньшее, чем наȳ(x). Это противоречит тому, что на функции ȳ(x) достигается локальный минимум. Из полученного противоречия следует справедливостьравенства (5.20).Раскрывая определитель, входящий в равенство (5.20), получаемδΦ[ȳ(x), δy(x)]δΨ[ȳ(x), δy0 (x)] − δΦ[ȳ(x), δy0 (x)]δΨ[ȳ(x), δy(x)] = 05.5.

Вариационное свойство задачи Штурма-Лиувилля107для всех δy(x) ∈ C01 [x0 , x1 ]. По условию теоремы δΨ[ȳ(x), δy0 (x)] 6= 0.Поделив на δΨ[ȳ(x), δy0 (x)] и обозначив черезλ=−δΦ[ȳ(x), δy0 (x)],δΨ[ȳ(x), δy0 (x)]получимδΦ[ȳ(x), δy(x)] + λδΨ[ȳ(x), δy(x)] = 0.Учитывая формулы для δΦ[ȳ(x), δy(x)] и δΨ[ȳ(x), δy(x)], это равенствоможно переписать так:Zx1noFy (x, ȳ(x), ȳ 0 (x)) + λGy (x, ȳ(x), ȳ 0 (x)) δy(x)dx +x0Zx1no+Fp (x, ȳ(x), ȳ 0 (x)) + λGp (x, ȳ(x), ȳ 0 (x)) δy 0 (x)dx = 0.x0Интегрируя по частям второй интеграл и учитывая определение (5.19)функции L(x, y, p), имеемZx1nodLy (x, ȳ(x), ȳ 0 (x)) −Lp (x, ȳ(x), ȳ 0 (x))] δy(x)dx = 0,dxx0∀δy(x) ∈ C01 [x0 , x1 ].Применяя основную лемму вариационного исчисления, получим, чтофункция ȳ(x) удовлетворяет уравнению (5.18).

Теорема 5.4.1 доказана.Из теоремы 5.4.1 следует, что для определения функции, которая может являться решением задачи на условный экстремум, нужно решитьуравнение (5.18). Это дифференциальное уравнение второго порядка,и его решение зависит, вообще говоря, от двух произвольных постоянных и вспомогательного параметра λ. Эти постоянные и параметрмогут быть найдены из краевых условий y(x0 ) = y0 , y(x1 ) = y1 , а такжеусловия Ψ[y(x)] = `.108Глава 5. Основы вариационного исчисления5.5. Вариационное свойство собственных функций и собственных значений задачи ШтурмаЛиувилляРассмотрим задачу Штурма-Лиувилля. Требуется найти значенияλ, при которых краевая задачаddyk(x)− q(x)y = −λy, 0 6 x 6 l,(5.21)dxdxy(0) = 0,y(l) = 0(5.22)имеет ненулевое решение. Эти значения λn называются собственными значениями, а соответствующие им решения yn (x) – собственнымифункциями задачи Штурма-Лиувилля.

Собственные функции определены с точностью до произвольного постоянного сомножителя. Чтобыустранить эту неоднозначность, введем следующее условие:Zl(yn (x))2 dx = 1.(5.23)0Рассмотрим функционалZlΦ[y(x)] =k(x)(y 0 (x))2 + q(x)(y(x))2 dx.(5.24)0Покажем, что, если yn (x) – собственная функция задачи Штурма-Лиувилля (5.21), (5.22), соответствующая собственному значению λn , тоΦ[yn (x)] = λn .(5.25)Действительно, так какZl0k(x)(yn0 (x))2 dxZl=k(x)yn0 (x)yn0 (x)dx =0Zl=x=lk(x)yn0 (x)yn (x)x=0 −0(k(x)yn0 (x))0 yn (x)dxZl=−0(k(x)yn0 (x))0 yn (x)dx,5.5.

Вариационное свойство задачи Штурма-Лиувилля109тоZlΦ[yn (x)] =k(x)(yn0 (x))2 + q(x)(yn (x))2 dx =0Zl=−((k(x)yn0 (x))0Zl− q(x)yn (x)) yn (x)dx = λn0(yn (x))2 dx = λn .0Рассмотрим задачу минимизации функционала (5.24) на множествефункций, удовлетворяющих условиям (5.22) и (5.23). Запишем условие(5.23) в видеZlΨ[y(x)] = 1,Ψ[y(x)] =(y(x))2 dx.0Пусть минимум достигается на функции ȳ(x) ∈ C 2 [0, l]. Из необходимого условия для решения задачи на условный экстремум получим, чтоȳ(x) является решением уравненияLy −dLp = 0,dx0 6 x 6 l,(5.26)где L(x, y, p) = k(x)p2 + q(x)y 2 − λy 2 .

Перепишем уравнение (5.26), учитывая вид функции L(x, y, p):2q(x)y(x) − 2λy(x) − 2(k(x)y 0 (x))0 = 0,0 6 x 6 l.Таким образом, функция ȳ(x) является решением уравнения (5.21) иудовлетворяет условиям (5.22). Кроме того, она не равна тождественнонулю, поскольку удовлетворяет условию (5.23). Следовательно, ȳ(x) является собственной функцией задачи Штурма-Лиувилля (5.21), (5.22).Обозначим ее y1 (x), λ1 – соответствующее ей собственное значение. Из(5.25) следует, что Φ[y1 (x)] = λ1 .Таким образом, мы показали, что решение задачи на условный экстремум (5.24), (5.23) является собственной функцией задачи ШтурмаЛиувилля, а соответствующее собственное значение представляет собойвеличину функционала (5.24) на этой собственной функции.110Приложение AПриложение AНеявные функции ифункциональные матрицыA.1.

Теорема о неявных функцияхРассмотрим систему из m функциональных уравнений относительноm + n аргументов (u1 , . . . , um , x1 , . . . , xn ) ∈ Rm+n : F1 (u1 , . . . , um , x1 , . . . , xn ) = 0,...(A.1)Fm (u1 , . . . , um , x1 , . . . , xn ) = 0.Нас интересует вопрос о разрешимости системы функциональных уравнений (A.1) относительно u1 , . .

. , um . Под решением системы (A.1) понимается совокупность определенных в некоторой области D ⊆ Rn функцийu1 = ϕ1 (x1 , . . . , xn ), . . . , um = ϕm (x1 , . . . , xn )(A.2)таких, что при подстановке этих функций в систему (A.1) все уравненияэтой системы обращаются в тождества:Fi (u1 (x1 , . . . , xn ), . . . , um (x1 , . . . , xn ), x1 , . . .

, xn ) = 0,∀(x1 , . . . , xn ) ∈ D, i = 1, . . . , m.Якобианом функций F1 , . . . , Fm по переменнымется следующий функциональный определитель∂F1∂F1... ∂u1∂u2 ∂F∂F22D(F1 , . . . , Fm )...= det  ∂u1∂u2D(u1 , . . . , um )...... ... ∂Fm ∂Fm...∂u1∂u2u1 , . . . , um называ∂F1∂um∂F2∂um...∂Fm∂um,являющийся скалярной функцией аргументов (u1 , . . . , um , x1 , . .

. , xn ).Неявные функции и функциональные матрицы111Теорема A.1.1. Пусть m функцийF1 (u1 , . . . , um , x1 , . . . , xn ),...,Fm (u1 , . . . , um , x1 , . . . , xn )дифференцируемы в некоторой окрестности точкиN0 = N0 (u01 , . . . , u0m , x01 , . . . , x0n ),частные производные ∂Fi /∂uj непрерывны в точке N0 , i, j = 1, . . . , m.Тогда, если выполнены условияFi (N0 ) = 0,i = 1, . . . , m,D(F1 , .

. . , Fm )(N0 ) 6= 0,D(u1 , . . . , um )то для достаточно малых чисел ε1 , . . . , εm найдется такая окрестность точки M0 (x01 , . . . , x0n ), что в пределах этой окрестности существуют единственные m функций (A.2), которые удовлетворяютусловиям |ui − u0i | < εi , i = 1, . . . , m и являются решением системыуравнений (A.1), причем это решение непрерывно и дифференцируемов указанной окрестности точки M0 .Доказательство теоремы можно найти в [2], гл. 13, §2.A.2. Зависимость функций и функциональные матрицыРассмотрим m функций от n переменных u1 = ϕ1 (x1 , . . . , xn ),...um = ϕm (x1 , .

. . , xn ).(A.3)Предполагается, что функции ϕi (x1 , . . . , xn ), i = 1, . . . , m, определены идифференцируемы в некоторой открытой n-мерной области D. Напомним определение зависимости функций. Пусть k ∈ {1, . . . , m} – фиксированный индекс.Определение A.2.1. Функция uk зависит в области D от остальных функций из (A.3), если сразу для всех точек x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Duk (x) = Φ(u1 (x), . .

. , uk−1 (x), uk+1 (x), . . . , um (x)),(A.4)112Приложение Aгде Φ – некоторая функция, определенная и дифференцируемая в соответствующей области изменения своих аргументов. Функцииu1 , . . . , umназываются зависимыми в области D, если одна из этих функцийзависит в области D от остальных.Если не существует дифференцируемой функции Φ такой, что сразудля всех точек области D справедливо тождество вида (A.4) хотя быдля одного k ∈ {1, .

. . , m}, то функции u1 , . . . , um называются независимыми в области D.Теорема A.2.1. Пусть m функций от n > m переменных вида (A.3)определены и дифференцируемы в окрестности точкиM0 = M0 (x01 , . . . , x0n ).Тогда, если якобиан из этих функций по каким-либо m переменнымотличен от нуля в точке M0 , то эти функции независимы в некоторой окрестности точки M0 .Пусть теперь ϕi (x1 , . . . , xn ), i = 1, . . . , m определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки M0 (x01 , . . . , x0n ), причем все частные производные первого порядка от этих функций непрерывны в самойточке M0 .

Составим из частных производных функций (A.3) функциональную матрицу∂ϕ1∂ϕ1∂ϕ1... ∂x1∂x2∂xn  ∂ϕ∂ϕ2∂ϕ2 2...(A.5) ∂x1∂x2∂xn  , ............  ∂ϕm ∂ϕm∂ϕm ...∂x1∂x2∂xnсодержащую m строк и n столбцов.Теорема A.2.2. Пусть у функциональной матрицы (A.5)1) некоторый минор r-го порядка отличен от нуля в точкеM0 (x01 , .

Характеристики

Список файлов книги