ОДУ - 2 (1086550), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Уравнения в частных производных первого порядка83Определение 4.2.3. Решения (x1 (t), . . . , xn (t), u(t)) системы (4.13)определяют фазовые кривые в пространстве Rn+1 , которые называются характеристиками уравнения в частных производных (4.12).Связь первых интегралов системы (4.13) и квазилинейного уравнения (4.12) проясняется в следующей теореме.Теорема 4.2.2. Пусть v(x, u) – не содержащий t первый интегралсистемы (4.13) в области D, и в некоторой точке N0 (x01 , . .
. , x0n , u0 ) ∈D выполнены условияv(N0 ) = C0 ,∂v(N0 )6= 0.∂u(4.14)Тогда в некоторой окрестности точки N0 уравнениеv(x1 , . . . , xn , u) = C0(4.15)определяет неявную функцию u = u(x1 , . . . , xn ), являющуюся решениемквазилинейного уравнения (4.12).Доказательство. Пусть v(x, u) является не содержащим t первым интегралом системы (4.13). Тогда по лемме 4.1.1 о свойствах первого интеграла его производная в силу системы (4.13) равна нулю в областиD:nXdv ∂v(x, u)∂v(x, u)aj (x, u) +b(x, u) = 0,=dt (4.13) j=1 ∂xj∂u∀(x, u) ∈ D. (4.16)Для функционального уравнения (4.15) в силу (4.14) по теореме о неявной функции существует окрестность точки M0 (x01 , . . .
, x0n ), в которойопределена непрерывно дифференцируемая функция u = u(x1 , . . . , xn ),обращающая уравнение (4.15) в тождество в этой окрестности:v(x1 , . . . , xn , u(x1 , . . . , xn )) ≡ C0 .По формуле дифференцирования неявной функции имеем∂v∂v ∂u=−·,∂xj∂u ∂xjj = 1, . . . , n.84Глава 4. Уравнения в частных производных первого порядкаПосле подстановки этих равенств в (4.16) и деления на ∂v/∂u 6= 0 приходим к равенствуnXaj (x, u(x))j=1∂u= b(x, u(x))∂xjв рассматриваемой окрестности точки M0 . То есть u(x) – решение квазилинейного уравнения в частных производных (4.12).Система характеристик квазилинейного уравнения в частных производных (4.13) имеет порядок (n + 1). Поэтому, согласно теореме 4.1.2о первых интегралах автономной системы, в окрестности каждой точкиобласти D существует ровно n не содержащих t функционально независимых первых интеграловv1 (x, u),...,vn (x, u).Тогда для любой непрерывно дифференцируемой функции F (y1 , .
. . , yn )суперпозицияw(x, u) = F (v1 (x, u), . . . , vn (x, u))также является первым интегралом системы характеристик (4.13). Всилу теоремы 4.2.2 при выполнении условия ∂w/∂u 6= 0 неявная функция u(x), полученная из функционального уравненияF (v1 (x, u), . . . , vn (x, u)) = 0,(4.17)также является решением квазилинейного уравнения в частных производных (4.12). Можно показать, что формула (4.17) задает общее решение квазилинейного уравнения в частных производных (4.12) в окрестности каждой точки N0 .4.2.4. Геометрический смысл квазилинейного уравненияв частных производныхГрафик решения u = f (x1 , . . . , xn ) ∈ C 1 (D0 ) квазилинейного уравнения в частных производных (4.12) является n-мерной поверхностьюв пространстве (x1 , .
. . , xn , u). Уточним структуру этой поверхности.4.2. Уравнения в частных производных первого порядка85Рис. 4.1. К доказательству теоремы 4.2.3.Теорема 4.2.3. Функция u = f (x1 , . . . , xn ) ∈ C 1 (D0 ) является решением квазилинейного уравнения в частных производных (4.12) тогда и только тогда, когда задаваемая этой функцией поверхность целиком состоит из характеристик, определяемых системой (4.13) (тоесть через любую точку поверхности проходит характеристика, целиком лежащая на этой поверхности).Доказательство. Пусть через любую точку поверхностиP = {u = f (x1 , .
. . , xn ), (x1 , . . . , xn ) ∈ D0 },(4.18)задаваемой с помощью некоторой функции f (x1 , . . . , xn ) ∈ C 1 (D0 ), проходит характеристикаΓ = {(x1 (t), . . . , xn (t), u(t))} ⊂ P,целиком лежащая на этой поверхности. В каждой точке характеристикиее касательный вектор в силу (4.13) имеет видτ= dx (t)dxn (t) du(t) 1,...,,=dtdtdt= (a1 (x(t), u(t)), . . . , an (x(t), u(t)), b(x(t), u(t))),где u(t) = f (x(t)). Поскольку характеристика лежит на поверхностиP, то построенный вектор τ является касательным одновременно и к86Глава 4.
Уравнения в частных производных первого порядкаповерхности P. Тогда этот вектор ортогонален к вектору нормали ∂f∂fn=(x(t)), . . . ,(x(t)), −1 .∂x1∂xnТак как (τ , n)Rn+1 = 0, тоa1 (x, u)∂f∂f(x) + · · · + an (x, u)(x) − b(x, u) = 0,∂x1∂xn∀(x, u) ∈ Γ. (4.19)Полученное равенство показывает, что u = f (x) удовлетворяет квазилинейному уравнению в частных производных (4.12) в каждой точкехарактеристики Γ.
Поскольку по условию через каждую точку поверхности проходит некоторая характеристика, то (4.12) выполнено во всехточках D0 .Обратно, пусть u = f (x) – решение квазилинейного уравнения вчастных производных (4.12) в D0 . Покажем, что через любую точкуM0 (x01 , . . . , x0n , u0 ) ∈ P проходит лежащая в P характеристика с касательным вектором τ (x01 , . . .
, x0n , u0 ). Рассмотрим задачу Коши с начальными данными (x01 , . . . , x0n ),dx1= a1 (x, f (x)), x1 (t0 ) = x01 , dt..(4.20).dxn= an (x, f (x)), xn (t0 ) = x0n ,dtкоторая имеет единственное решение x(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)). По этомурешению построим кривуюΓ = {(x1 = x1 (t), . . . , xn = xn (t), u(t) = f (x1 (t), . . . , xn (t)))}.(4.21)По построению Γ ⊂ P. Убедимся, что Γ – характеристика, то есть удовлетворяет системе (4.13). Первые n уравнений этой системы выполнены в силу (4.20).
Осталось проверить последнее равенство в (4.13). Учитывая то, что xi (t), i = 1, . . . , n, являются решениями системы (4.20), аu = f (x) является решением квазилинейного уравнения (4.12), имеемnnX ∂f (x(t))du X ∂fdxj=(x(t)) ·(t) =aj (x(t), u(t)) = b(x(t), u(t)).dt∂xjdt∂xjj=1j=1Следовательно, кривая Γ – характеристика. Итак, показано, что черезлюбую точку поверхности P проходит принадлежащая этой поверхности характеристика Γ.4.2.
Уравнения в частных производных первого порядка874.2.5. Задача Коши для квазилинейного уравнения в частныхпроизводныхРассмотрим в случае n = 2, который имеет наиболее нагляднуюгеометрическую интерпретацию, квазилинейное уравнение в частныхпроизводныхa1 (x, y, u)∂u∂u+ a2 (x, y, u)= b(x, y, u),∂x∂y(4.22)где b(x, y, u), aj (x, y, u) ∈ C 1 (D), j = 1, 2, D – область из R3 ,a21 (x, y, u) + a22 (x, y, u) 6= 0,∀(x, y, u) ∈ D.Задача Коши для квазилинейного уравнения в частных производных (4.22) состоит в нахождении поверхности u = f (x, y), задаваемойрешением квазилинейного уравнения в частных производных (4.22) ипроходящей через заданную линию` = {(x, y, u) = (ψ1 (s), ψ2 (s), ψ3 (s)), s ∈ [s1 , s2 ]} ⊂ D,то естьψ3 (s) = f (ψ1 (s), ψ2 (s)),∀s ∈ [s1 , s2 ].Теорема 4.2.4.
Пусть выполнено условиеa1 (s) ψ10 (s)6= 0, ∀s ∈ [s1 , s2 ],deta2 (s) ψ20 (s)(4.23)(4.24)где aj (s) = aj (ψ1 (s), ψ2 (s), ψ3 (s)), j = 1, 2.Тогда в некоторой окрестности каждой точки линии ` существует единственное решение задачи Коши (4.22), (4.23).Доказательство. Рассмотрим систему характеристик для квазилинейного уравнения в частных производных (4.22):dx dt = a1 (x, y, u),dy(4.25)= a2 (x, y, u),dt du = b(x, y, u).dt88Глава 4. Уравнения в частных производных первого порядкаРис. 4.2.
К доказательству теоремы 4.2.4.Задача Коши для системы (4.25) с начальными при t = 0 данными накривой `x|t=0 = ψ1 (s), y|t=0 = ψ2 (s), u|t=0 = ψ3 (s)(4.26)имеет единственное решениеx = ϕ1 (t, s),y = ϕ2 (t, s),u = ϕ3 (t, s).(4.27)В силу (4.26), (4.27) имеемϕ1 (0, s) = ψ1 (s), ϕ2 (0, s) = ψ2 (s), ϕ3 (0, s) = ψ3 (s), ∀s ∈ [s1 , s2 ].(4.28)Формула (4.27) задает параметрическое представление некоторой поверхности P. Линия ` лежит на этой поверхности по построению в силу(4.26) (см. рис. 4.2).Покажем, что в окрестности каждой точки линии ` эта состоящаяиз характеристик поверхность может быть записана в виде u = f (x, y),и тогда, по теореме 4.2.3, f (x, y) – решение уравнения в частных производных (4.22).
Для этого достаточно в вытекающей из (4.27) системефункциональных уравненийx = ϕ1 (t, s),y = ϕ2 (t, s),(4.29)выразить параметры (t, s) как непрерывно дифференцируемые функции от (x, y). Имея в виду применение теоремы о неявных функциях,4.2. Уравнения в частных производных первого порядка89вычислим значения частных производных на линии `, то есть при t = 0.В силу (4.25) имеемdx ∂ϕ1(0, s) == a1 (s),∂tdt t=0∂ϕ2dy (0, s) == a2 (s).∂tdt t=0Из равенств (4.26) находим, что∂ϕ1(0, s) = ψ10 (s),∂s∂ϕ2(0, s) = ψ20 (s).∂sТогда для якобиана в силу условия (4.24) справедливо соотношение∂ϕ1 ∂ϕ1a1 (s) ψ10 (s) ∂t∂s (0,s)=det6= 0, ∀s ∈ [s1 , s2 ].det ∂ϕ∂ϕ1a2 (s) ψ20 (s)2∂t∂sСледовательно, по теореме о неявных функциях в окрестности точки(x0 , y0 ) = (ϕ1 (0, s), ϕ2 (0, s)) существуют единственным образом определенные непрерывно дифференцируемые функцииt = t(x, y),s = s(x, y),обращающие уравнения (4.29) в тождества.
После подстановки в третьеуравнение в (4.27) приходим к искомому представлениюu = ϕ3 (t(x, y), s(x, y)) = f (x, y).Единственность вытекает из того, что удовлетворяющая квазилинейному уравнению в частных производных поверхность, согласно теореме 4.2.3, состоит из характеристик (то есть выполнены соотношения(4.27)), а вблизи кривой ` единственность решений обеспечивается теоремой о неявных функциях.Условие (4.24) имеет следующий геометрический смысл.
Так каквектор τ = (a1 , a2 , b) касается характеристики, а вектор (ψ10 , ψ20 , ψ30 ) касается кривой `, на которой задаются начальные данные для задачи Коши, то условие (4.24) есть условие неколлинеарности проекций (a1 , a2 )и (ψ10 , ψ20 ) рассматриваемых векторов на плоскость (x, y). Другими словами, проекции линии ` и пересекающих ее характеристик не должныкасаться друг друга (см. рис. 4.2).90Глава 5. Основы вариационного исчисленияГлава 5Основы вариационного исчисления5.1.
Основные понятия вариационного исчисленияРассмотрим множество M , являющееся некоторым подмножествоммножества непрерывных на отрезке функций C[x0 , x1 ].Определение 5.1.1. Функционалом называется отображение множества M в множество действительных чисел.Приведем некоторые примеры.Пусть множество M совпадает со всем множеством C[x0 , x1 ]. Определим функционал Φ[y(x)] следующим образом: Φ[y(x)] = y(x0 )+2y(x1 ).Другим примером функционала, определенного на этом множестве, являетсяZx1Φ[y(x)] = y(x)dx.x0Приведем еще один пример. Пусть множество M представляет собоймножество непрерывно дифференцируемых на отрезке [x0 , x1 ] функцийтаких, что y(x0 ) = y0 , y(x1 ) = y1 , где y0 , y1 – заданные постоянные.Определим на этом множестве функционалZx1Φ[y(x)] =y(x) + 2(y 0 (x))2 dx.x05.1.1.
Вариация функционалаОпределение 5.1.2. Допустимой вариацией функции y0 (x) ∈ Mназывается любая функция δy(x) такая, что y0 (x) + δy(x) ∈ M .Далее для простоты будем считать, что множество M обладает темсвойством, что если δy(x) – допустимая вариация функции y0 (x), тоtδy(x) также является допустимой вариацией функции y0 (x) для любогоt ∈ R.5.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
