ОДУ - 2 (1086550), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Для этого вычислим производнуюdy1C1 h11 λ1 eλ1 t + C2 h12 λ2 eλ2 tC1 h11 λ1 + C2 h12 λ2 e(λ2 −λ1 )t. (2.34)==λtλtdy2C1 h21 λ1 e 1 + C2 h22 λ2 e 2C1 h21 λ1 + C2 h22 λ2 e(λ2 −λ1 )tТак как λ2 − λ1 < 0, то при C1 6= 0 имеемdy1h11→при t → +∞, тоdy2h212.5. Классификация точек покоя47есть касательный вектор фазовой траектории в пределе коллинеаренсобственному вектору h1 . Если же C1 = 0, тоh12y(t) = C2eλ2 t .h22Значит, фазовая траектория лежит на прямой, задаваемой собственнымвектором h2 , и приближается к точке покоя при t → +∞.Выясним направление фазовых траекторий при t → −∞.
В этомслучае фазовые траектории, отличные от точки покоя, стремятся к бесконечно удаленной точке. В силу (2.33) при C2 6= 0 имеемdy1h12C1 h11 λ1 e(λ1 −λ2 )t + C2 h12 λ2→=,dy2h22C1 h21 λ1 e(λ1 −λ2 )t + C2 h22 λ2t → −∞,(λ1 − λ2 > 0),то есть траектории в окрестности бесконечно удаленной точки выстраиваются параллельно вектору h2 . Если же C2 = 0, тоh11y(t) = C1eλ1 t ,h21и фазовая траектория лежит на прямой, задаваемой собственным вектором h1 . Проведенные выкладки иллюстрируются на рис.
2.6, изображающем фазовые траектории в случае устойчивого узла, стрелки натраекториях указывают направление движения при увеличении t.Для положительных собственных значений 0 < λ1 < λ2 точка покоя называется неустойчивым узлом, расположение и вид траекторийостаются теми же, что и для отрицательных собственных значений, нонаправление движения по траекториям меняется на противоположное.Полезно помнить следующее правило узла: фазовые траектории входят в узел, касаясь собственного вектора с наименьшим по модулю собственным значением.2.5.3. Дикритический узел(λ1 = λ2 6= 0, dim ker(A − λ1 E) = 2)В случае дикритического узла двукратному собственному значениюλ = λ1 = λ2 отвечают два линейно независимых собственных вектора h1 и h2 матрицы A.
Тогда выражение (2.33) для общего решенияпринимает видy(t) = (C1 h1 + C2 h2 ) exp{λt}48Глава 2. Теория устойчивостиабРис. 2.7. Дикритический узел: a – устойчивый, б – неустойчивый.абРис. 2.8. Вырожденный узел: a – устойчивый, б – неустойчивый.и определяет на плоскости (y1 , y2 ) совокупность всевозможных лучей,входящих в точку покоя для λ < 0 (устойчивый дикритический узел)и выходящих из точки покоя для λ > 0 (неустойчивый дикритическийузел), если t → +∞ (см. рис. 2.7).2.5.4. Вырожденный узел(λ1 = λ2 6= 0, dim ker(A − λ1 E) = 1)Вырожденный узел устойчив, если λ1 = λ2 < 0, и неустойчив, еслиλ1 = λ2 > 0. В случае вырожденного узла двукратному собственномузначению λ = λ1 = λ2 отвечают один собственный вектор h1 матрицы2.5.
Классификация точек покоя49Рис. 2.9. Седло.A и один присоединенный вектор p1 . Общее решение системы (2.31)записывается в видеy(t) = C1 h1 exp{λt} + C2 (p1 + th1 ) exp{λt}.Если C2 = 0, то фазовые траектории решения y(t) = C1 h1 exp{λt} состоят из двух лучей, входящих в точку покоя для λ < 0 (выходящихиз точки покоя для λ > 0) при t → +∞ по направлению собственноговектора.
Если C2 6= 0, тоy(t) = t exp{λt}(C2 h1 + o(1)),t → +∞.Видно, что решение касается собственного вектора в точке покоя приt → +∞ для λ < 0 либо при t → −∞ для λ > 0. На бесконечностипри t → −∞ для λ > 0 либо при t → +∞ для λ < 0 фазовая траектория опять выстраивается по направлению собственного вектора, нов противоположном направлении благодаря смене знака множителя t.Типичная картина фазовых траекторий для вырожденного узла приведена на рисунке 2.8.2.5.5. Седло (λ1 , λ2 ∈ R, λ2 < 0 < λ1 )Ясно, что седло является неустойчивой точкой покоя. Воспользуемсядля анализа поведения траекторий формулой (2.33). Для C1 6= 0 при50Глава 2.
Теория устойчивостиабРис. 2.10. Фокус: a – устойчивый, б – неустойчивый.t → +∞ получаем представлениеy(t) = exp{λ1 t} C1h11h21+ C2h12h22exp{(λ2 − λ1 )t} =h11= exp{λ1 t} C1+ o(1) .h21dy1h11→, то есть фазовыеdy2h21траектории при t → +∞ стремятся к бесконечно удаленной точке иимеют асимптоту, задаваемую собственным вектором h1 . Если же C1 =0, то y(t) = C2 h2 exp{λ2 t}, и фазовая траектория лежит на прямой,задаваемой собственным вектором h2 , приближаясь к точке покоя приt → +∞.Для t → −∞ картина противоположная: фазовые траектории стремятся к бесконечно удаленной точке при C2 6= 0 и имеют асимптоту,задаваемую вектором h2 .
Если C2 = 0, то y(t) = C1 h1 exp{λ1 t}, и фазовая траектория лежит на прямой, задаваемой собственным векторомh1 , приближаясь к точке покоя при t → −∞. Проведенные выкладкииллюстрируются рисунком 2.9.Кроме того, из (2.34) нетрудно видеть, что2.5.6. Фокус (λ1,2 = δ ± iω ∈ C, ω 6= 0, δ 6= 0)Точка покоя называется фокусом, если матрица A имеет комплексно сопряженные собственные значения с ненулевыми действительной и2.5. Классификация точек покоя51мнимой частями. Пусть h = h1 + ih2 – собственный вектор с линейно независимыми h1,2 , отвечающий собственному значению λ1 = δ + iω.Тогда действительная и мнимая части комплекснозначной вектор функции z(t) = h exp{λ1 t} составляют вещественную фундаментальную систему решений системы:y 1 (t) = Re z(t) = exp{δt} h1 cos ωt − h2 sin ωt ,y 2 (t) = Im z(t) = exp{δt} h1 sin ωt + h2 cos ωt .Поэтому общее вещественное решение имеет видy(t) = C1 y 1 (t) + C2 y 2 (t) == exp{δt} C1 cos ωt + C2 sin ωt h1 + exp{δt} C2 cos ωt − C1 sin ωt h2 .pC12 + C22 6= 0 и вводя вспомогательный угол ψ изОбозначая C =условийC1C2sin ψ =, cos ψ =,CCприходим к разложению решения по базису, составленному из векторовh1 и h2 :y(t) = ξ1 (t)h1 + ξ2 (t)h2 .Коэффициенты разложения определяются из соотношенийξ1 (t) = C exp{δt} sin(ωt + ψ),ξ2 (t) = C exp{δt} cos(ωt + ψ),задающих логарифмическую спираль, которая при t → +∞ скручивается для δ < 0 (устойчивый фокус, ξ12 (t) + ξ22 (t) → 0) и раскручиваетсядля δ > 0 (неустойчивый фокус, ξ12 (t) + ξ22 (t) → +∞).
Характерное поведение фазовых кривых в случае фокуса приведено на рисунке 2.10.2.5.7. Центр (λ1,2 = ±iω ∈ C, ω 6= 0)Точка покоя называется центром, если матрица A имеет чистомнимые комплексно сопряженные собственные значения. Таким образом, центр – устойчивая точка покоя, не являющаяся асимптотически устойчивой. С помощью комплекснозначного собственного вектораh = h1 + ih2 с линейно независимыми вещественными составляющими h1 и h2 аналогично случаю фокуса запишем общее решение в видеразложения y(t) = ξ1 (t)h1 + ξ2 (t)h2 с коэффициентамиξ1 (t) = C sin(ωt + ψ),ξ2 (t) = C cos(ωt + ψ),52Глава 2.
Теория устойчивостиабРис. 2.11. Центр.удовлетворяющими равенству ξ12 (t) + ξ22 (t) = C 2 . Тогда вектор коэффициентов (ξ1 (t), ξ2 (t)) описывает периодическое движение по окружности, которому в исходных координатах соответствует в общем случаедвижение по эллипсу (см. рис. 2.11).2.5.8. Случай вырожденной матрицы A (det A = 0)У вырожденной матрицы одно или оба собственных значения равнынулю. Рассмотрим возникающие здесь случаи.Пусть λ1 = 0, λ2 6= 0, и h1 , h2 – соответствующие линейно независимые собственные векторы. Тогда общее решение имеет видy(t) = C1 h1 + C2 h2 exp{λ2 t}.Вся прямая, проходящая через начало координат параллельно векторуh1 , состоит из точек покоя.
Из остальных точек плоскости движениепроисходит по прямым, параллельным второму собственному векторуh2 , приближаясь к точке покоя при t → +∞ в случае λ2 < 0 и приt → −∞ в случае λ2 > 0. Характер фазовых траекторий представленна рисунках 2.12а и 2.12b.Пусть λ1 = λ2 = 0 и dim ker A = 2, то есть существуют линейнонезависимые собственные векторы h1 и h2 . Тогда матрица A состоит изодних нулей, а общее решение (2.31) имеет видy(t) = C1 h1 + C2 h2 .2.5. Классификация точек покояа53бвРис. 2.12.
Случай вырожденной матрицы.Все точки плоскости являются точками покоя в рассматриваемом случае.Пусть λ1 = λ2 = 0 и dim ker A = 1, то есть существует один линейнонезависимый собственный вектор h. Тогда найдется соответствующийприсоединенный вектор p.
Общее решение (2.31) имеет видy(t) = C1 h + C2 (p + th) = (C1 + C2 t)h + C2 p.Вся прямая, проходящая через начало координат параллельно собственному вектору h, состоит из неустойчивых точек покоя. Из остальныхточек плоскости движение происходит по прямым, параллельным собственному вектору h, причем направление движения противоположнов полуплоскостях, отвечающих C2 > 0 и C2 < 0.
Характер фазовыхтраекторий представлен на рисунке 2.12в.2.5.9. Классификация точек покоя нелинейной системыТочку покоя y 0 ∈ Rn автономной системыdy(t)= f (y(t))dt(2.35)будем называть грубой, если матрица производныхA = aij ,aij =∂fi(y ),∂yj 0i, j = 1, . . .
, n(2.36)54Глава 2. Теория устойчивостиимеет ровно n попарно различных собственных значений с ненулевойвещественной частью. Устойчивость по Ляпунову грубой особой точкивсегда однозначно определяется с помощью первого метода Ляпунова согласно теореме 2.4.4. Оказывается, что и качественное поведениефазовых траекторий системы (2.35) достаточно полно описывается спомощью линейной системыdby (t)= Aby (t)dt(2.37)в малой окрестности каждой грубой точки покоя.На плоскости (n = 2) грубой точке покоя соответствует линейнаясистема вида (2.37), имеющая нулевую точку покоя только одного изследующих типов: узел, седло или фокус.
Будем называть грубую точкупокоя нелинейной системы узлом, седлом или фокусом, если этот типимеет нулевая точка покоя соответствующий линейной системы (2.37)с матрицей (2.36).Пример 2.5.1. Определить тип точек покоя системыdy1 /dt = y1 − 1,dy2 /dt = y12 − y22 .Точки покоя определяются из алгебраической системыy1 − 1 = 0,y12 − y22 = 0,имеющей два решения: (1, ±1)> . Так как для данной системыf1 (y1 , y2 ) = y12 − y22 ,то∂f1= 1,∂y1∂f1= 0,∂y2f2 (y1 , y2 ) = y12 − y22 ,∂f2∂f2= 2y1 ,= −2y2 .∂y1∂y21 0Для точки покоя (1, 1)> матрица A =имеет собственные2 −2значения λ1 = 1, λ2 = −2. Тогда (1, 1)> – седло.1 0Для точки покоя (1, −1)> матрица A =имеет собственные2 2значения λ1 = 1, λ2 = 2. Тогда (1, −1)> – неустойчивый узел.3.1.
Постановка краевых задач55Глава 3Краевые задачи длядифференциального уравнениявторого порядка3.1. Постановка краевых задачВ предыдущих параграфах много внимания было уделено исследованию задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.В задаче Коши для уравнения n-го порядка, разрешенного относительно старшей производной, в качестве дополнительных условий для выделения единственного решения задаются значения функции и ее производных до (n − 1)-го порядка в некоторой точке. Возможны и другиепостановки задач, в которых дополнительные условия задаются придвух значениях независимой переменной. Приведем два примера.Рассмотрим движение материальной точки единичной массы вдольпрямой y. Движение определяется известной силой F , зависящей отвремени t, положения точки y(t) и ее скорости y 0 (t). В соответствии сзаконом Ньютона, получим дифференциальное уравнение второго порядка для неизвестной функции y(t)y 00 (t) = F (t, y(t), y 0 (t)),t 0 6 t 6 t1 .(3.1)Если мы знаем положение точки в начальный момент времени и конечный момент времени, тоy(t0 ) = y0 ,y(t1 ) = y1 .(3.2)Таким образом, нам нужно решить следующую задачу: найти функцию y(t), удовлетворяющую обыкновенному дифференциальному уравнению (3.1) и краевым условиям (3.2).Другим примером краевой задачи может служить задача, описывающая распределение температуры u(x) в тонком стержнеdduk(x)− q(x)u = −f (x), 0 6 x 6 l,(3.3)dxdx56Глава 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
