ОДУ - 2 (1086550), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Зависимость решения от параметра17где функции u0 (t) и u1 (t) находятся из задач (1.21) и (1.22). Поэтомус точностью до слагаемых ō(µ − µ0 ) справедливо приближенное представление y(t, µ) ≈ u0 (t) + u1 (t)(µ − µ0 ).Описанная выше процедура представляет собой простейший вариант метода малого параметра, позволяющего с помощью разложения(1.23) выяснить основные качественные и количественные закономерности поведения решения y(t, µ) при малых µ − µ0 на основе известного решения y(t, µ0 ) в предположении существовании непрерывных производных первого порядка fy (t, y, µ) и fµ (t, y, µ). Если f (t, y, µ) имеетпроизводные по y и µ высших порядков, то и разложение (1.23) можноуточнить и получить приближение с более высоким порядком малостиостаточного члена.Пример 1.2.1.
Получить асимптотическое при µ → 0 разложениерешения задачи Кошиy 0 (t) = y(t) + 3µy 4 (t) + µ2 t,y(0) = exp{2µ}.Имеем t0 = 0, µ0 = 0, y0 (µ) = exp{2µ}, y00 (µ) = 2 exp{2µ},f (t, y, µ) = y + 3µy 4 + µ2 t, fy (t, y, µ) = 1 + 12µy 3 , fµ (t, y, µ) = 3y 4 + 2µt,f (t, y, 0) = y, fy (t, y, 0) = 1, fµ (t, y, 0) = 3y 4 , y0 (0) = 1, y00 (0) = 2.Согласно (1.21) при µ = 0 функция u0 (t) = y(t, 0) является решениемзадачи Кошиu00 (t) = u0 (t), u0 (0) = 1,решение которой легко найти: u0 (t) = exp{t}.
Поэтомуfy (t, u0 (t), 0) = 1, fµ (t, u0 (t), 0) = 3 exp{4t}.Задача Коши (1.22) для u1 (t) принимает видu01 (t) = u1 (t) + 3 exp{4t},u1 (0) = 2и имеет решение u1 (t) = 2 exp{t} + exp{4t}. Тогда в силу (1.23) имеетместо разложение при µ → 0:y(t, µ) = exp{t} + (2 exp{t} + exp{4t})µ + ō(µ).18Глава 2. Теория устойчивостиГлава 2Теория устойчивости2.1. Основные понятияВ теории устойчивости изучается вопрос о зависимости решения задачи Коши для дифференциального уравнения или системы от заданных при t = t0 начальных данных на бесконечном промежутке изменения независимой переменной t ∈ [t0 ; +∞).
Далее без ограничения общности полагаем t0 = 0.Пример 2.1.1. Исследовать зависимость решения задачи Кошиy 0 = ay,y(0) = y0от начального состояния y0 при t ∈ [0; +∞), где a ∈ R – параметр.Решение задачи Коши находится по формуле y(t; y0 ) = y0 exp{at}(см. рис. 2.1).Для a < 0 имеем|y(t; y0 ) − y(t; ye0 )| = |y0 − ye0 | exp{at} 6 |y0 − ye0 | → 0при y0 − ye0 → 0 равномерно по t > 0, причем |y(t; y0 ) − y(t; ye0 )| → 0 приt → +∞.Для a = 0 имеем|y(t; y0 ) − y(t; ye0 )| = |y0 − ye0 | → 0при y0 − ye0 → 0 равномерно по t > 0, но |y(t; y0 ) − y(t; ye0 )| 9 0 приt → +∞.Для a > 0 имеем|y(t; y0 ) − y(t; ye0 )| = |y0 − ye0 | exp{at} → +∞, t → +∞,то есть траектории неограниченно расходятся как бы близки они нибыли в начальный момент времени.2.1.
Основные понятияa<019a=0a>0Рис. 2.1. К примеру 2.1.1: вид интегральных кривых решения задачи Кошиy(t; y0 ) = y0 exp{at} в зависимости от a.В тоже время для любого конечного T > 0 имеет место непрерывнаязависимость от начальных данных на всем отрезке [0, T ]:max |y(t; y0 ) − y(t; ye0 )| 6 |y0 − ye0 | exp{|a|T } → 0t∈[0,T ]при y0 − ye0 → 0. Таким образом, при определении устойчивости набесконечном промежутке времени необходимо более точно учитыватьособенности поведения решений на всей полупрямой t > 0.2.1.1. Основные понятия теории устойчивостиРассмотрим задачу Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений первого порядка относительно искомой вектор функцииy(t) = (y1 (t), y1 (t), .
. . , yn (t))>dy(t)= f (t, y(t)),dty(t0 ) = y 0 ,(2.1)(2.2)гдеf (t, y) = (f1 (t, y), f2 (t, y), . . . , fn (t, y))> ,y 0 = (y10 , y20 , . . . , yn0 )> .Предполагается, что fi (t, y) определены и непрерывны вместе с частными производными ∂fi (t, y)/∂yj на множествеΠ = [0, +∞) × Rn20Глава 2. Теория устойчивостидля всех i, j = 1, 2, . . . , n. Тогда по теореме ?? о существовании иединственности решения задачи Коши для любых начальных данныхy 0 ∈ Rn система (2.1), (2.2) имеет на некотором отрезке [0, T ] единственное решение y(t; y 0 ), в обозначении которого отражена зависимость отначального состояния y 0 .
Если же в начальном условии (2.2) берутся начальные данные ye0 , то соответствующее решение обозначается какP1/2ny(t; ye0 ). Всюду ниже kyk =yj2обозначает евклидову норму векj=1тора y = (y1 , . . . , yn )> ∈ Rn .Определение 2.1.1. Решение y(t; y 0 ) задачи Коши (2.1), (2.2) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого ε > 0 существует δ(ε, y 0 ) > 0 такое, что для любых начальных данных ye0 ,удовлетворяющих условию key0 − y 0 k < δ(ε, y 0 ), соответствующие решения y(t; ye0 ) задачи Коши для системы (2.1) существуют для всехt > 0 и удовлетворяют неравенствуky(t; ye0 ) − y(t; y 0 )k < ε,∀ t ∈ [0, +∞).(2.3)В противном случае решение y(t; y 0 ) называется неустойчивым по Ляпунову.Заметим, что неравенство (2.3) должно быть выполнено сразу длявсех t > 0, поэтому вместо (2.3) можно использовать также неравенствоsup ky(t; ye0 ) − y(t; y 0 )k < ε.t>0Определение 2.1.2.
Решение y(t; y 0 ) задачи Коши (2.1), (2.2) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво поЛяпунову и существует δ0 > 0 такое, что для любых начальных данных ye0 , удовлетворяющих условию key0 − y 0 k < δ0 , существует пределlim ky(t; ye0 ) − y(t; y 0 )k = 0.t→+∞(2.4)Введенные понятия устойчивости и асимптотической устойчивостииллюстрируются на рис. 2.2.Пример 2.1.2. В примере 2.1.1 решение y(t; y0 ) = y0 exp{at} асимптотически устойчиво при a < 0, устойчиво (не асимптотически) приa = 0, неустойчиво – при a > 0.2.1. Основные понятия21а.б.Рис.
2.2. К определениям устойчивости и асимптотической устойчивости решения y(t) = y(t; y 0 ):а. в случае устойчивости интегральная кривая решения ye(t) = y(t; ye0 ) находится в ε-трубке интегральной кривой решения y(t) (ky − y(t)k < ε, t > 0);б. в случае асимптотической устойчивости дополнительно key (t) − y(t)k → 0при t → +∞.2.1.2. Редукция к задаче устойчивости нулевого решенияВ случае f (t, 0, . . . , 0) = θ, y 0 = θ задача Коши (2.1), (2.2) имеетнулевое решение θ = (0, . . .
, 0)> :y(t; θ) = θ,t > 0.Переформулируем определения устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости для этого важного для дальнейшего изложенияслучая.Определение 2.1.3. Нулевое решение y(t; θ) = θ задачи Коши (2.1),(2.2) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого ε > 0существует δ(ε) > 0 такое, что для любых начальных данных ye0 ,удовлетворяющих условию key0 k < δ(ε), соответствующие решенияy(t; ye0 ) задачи Коши для системы (2.1) существуют для всех t > 0иky(t; ye0 )k < ε, ∀ t ∈ [0, +∞).(2.5)В противном случае нулевое решение называется неустойчивым поЛяпунову.Определение 2.1.4. Нулевое решение y(t) = θ задачи Коши (2.1),(2.2) называется асимптотически устойчивым, если оно устой-22Глава 2. Теория устойчивостичиво по Ляпунову и существует δ0 > 0 такое, что для любых начальных данных ye0 , удовлетворяющих условию key0 k < δ0 , существуетпредел(2.6)lim ky(t; ye0 )k = 0.t→+∞Проблему устойчивости решения y(t; y 0 ) задачи Коши (2.1), (2.2)можно свести к аналогичной проблеме для нулевого решения.
Перейдемот системы (2.1) к новой системе, введя новые неизвестныеx(t) = y(t) − y(t; y 0 ).Так как y(t) – решение (2.1), то для x(t) имеемx(t)y(t) y(t; y 0 )=−= f (t; y(t)) − f (t; y(t; y 0 )) =dtdtdt= f (t; x(t) + y(t; y 0 )) − f (t; y(t; y 0 )).Таким образом, вектор функция x(t) является решением системыx(t)= f (t; x(t) + y(t; y 0 )) − f (t; y(t; y 0 )).dtРешение x(t; θ) этой системы с нулевым начальным условием x(0) = θравно нулю: x(t; θ) = θ, t > 0. Это тривиальное решение соответствует решению y(t; y 0 ) исходной системы. Принимая во внимание вышеизложенное, при анализе устойчивости, как правило, ограничиваютсяисследованием устойчивости нулевого решения.2.2.
Устойчивость нулевого решения линейнойсистемы с постоянными коэффициентамиВ данном параграфе рассматривается линейная однородная система обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными вещественными коэффициентамиdy= Ay,dtгде A = (aij ), aij ∈ R, i, j = 1, . . . , n. В зависимости от свойств матрицыA будут доказаны теоремы об устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения этой системы.2.2. Устойчивость нулевого решения линейной системы232.2.1.
Вспомогательные утвержденияЛемма 2.2.1. Пусть B(t) = (bij (t)) – функциональная матрица,элементы которой мажорируются одной и той же функцией b(t):|bij (t)| 6 b(t),i, j = 1, . . . , n.Если вектор-функции x(t)=(x1 (t), . . . , xn (t))> , y(t)=>(y1 (t), .
. . , yn (t)) связаны соотношением y(t) = B(t)x(t), то справедлива оценкаky(t)k 6 nb(t)kx(t)k.Доказательство. Так как yj (t) =nPbjk (t)xk (t), то, оценивая модулиk=1компонент и применяя неравенство Коши-Буняковского, имеем|yj (t)| =nX|bjk (t)| · |xk (t)| 6 b(t)k=1Xn126 b(t)nX|xk (t)| 6k=11/2·Xnk=11/2√x2k (t)= b(t) nkx(t)k.k=1Возводя в квадрат обе части полученного неравенства и суммируя поj = 1, . . .
, n, приходим к утверждению леммы 2.2.1.Лемма 2.2.2. Для любой непрерывной при t > 0 вектор-функцииy(t) = (y1 (t), . . . , yn (t))> справедливо неравенствоRt √ Zt y(ξ)dξ 6 n ky(ξ)kdξ.00Доказательство. По определению интеграла от вектор-функции имеемZtRtIj (t) = yj (ξ)dξ,y(ξ)dξ = (I1 (t), . . . , In (t))> ,j = 1, .
. . , n.00При t > 0 справедливы покомпонентные неравенстваt ZtZtR|Ij (t)| = yj (ξ)dξ 6 |yj (ξ)|dξ 6 ky(ξ)kdξ.00024Глава 2. Теория устойчивостиВозводя в квадрат обе части полученного неравенства и суммируя поj = 1, . . . , n, приходим к утверждению леммы 2.2.2Лемма 2.2.3. Пусть Y (t) – фундаментальная матрица линейнойоднородной системы dy/dt = Ay с постоянными коэффициентами aij ∈R, i, j = 1, . . .
, n, λ1 , λ2 , . . . λn – собственные значения матрицы A сучетом кратностей, p = max Re λk .k=1,...,nТогда для матрицанта Z(t, τ ) = Y (t)Y −1 (τ ) справедливы соотношения1. Z(t, τ ) = Z(t − τ, 0);2. для любого γ > 0 найдется Cγ > 0 такое, что справедливо неравенство|Zij (t, τ )| 6 Cγ exp{(p + γ)(t − τ )},∀ t > τ.Доказательство. Матрицант является решением матричной задачиКошиdZ(t, τ )= AZ(t, τ ), Z(τ, τ ) = E.dtОбозначим s = t − τ , τ – фиксировано, и введем функциюeZ(s)= Z(τ + s, τ ).Очевидно, чтоedZ(s)ee= AZ(s),Z(0)= E.dsНо тогда в силу единственности решения матричной задачи Коши спраeведливо равенство Z(s)= Z(s, 0). Возвращаясь к переменной t, получаем Z(t, τ ) = Z(t − τ, 0).Оценим компоненты матрицы Z(s, 0) = Y (s)Y −1 (0). Так как столбцы фундаментальной матрицы состоят из вектор-функций фундаментальной системы решений, то компоненты матрицанта Z(s, 0) имеютвид (см.
теорему ??):Zij (s, 0) = qij (s) exp{λk s},(2.7)где λk – одно из собственных значений, а qij (s) – многочлен степениdeg qij (s) 6 n − 1. Для любого γ > 0 найдутся постоянные Cij > 0такие, что выполнены неравенства|qij (s)| 6 Cij exp{γs},∀ s > 0.2.2. Устойчивость нулевого решения линейной системы25Так как p = max Reλk , тоk=1,...,n| exp{λk s}| = exp{ Re λk s} 6 exp{ps}.Учитывая эти неравенства, из (2.7) получаем|Zij (s, 0)| 6 |qij (s)| · | exp{λk s}| 6 Cγ exp{(p + γ)s},Cγ =maxi,j=1,...,nCij .Полагая s = t − τ , убеждается в справедливости второго утверждениялеммы 2.2.3.2.2.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
