ОДУ - 2 (1086550), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Исследование на устойчивость по первому приближению33соответствующего интегрального уравнения (2.15). В силу леммы 2.3.1при t > 0 справедливо неравенство ky(t; y 0 )k 6 ρ0 и согласно (2.18)имеет место оценкаkR(y(τ ; y 0 ))k < σky(τ ; y 0 )k,∀τ > 0.Тогда в силу (2.17) для всех t > 0 справедливо неравенствоZtky(t; y 0 )k 6 M exp{αt}ky 0 k + M σ exp{αt}exp{−ατ )}ky(τ ; y 0 )kdτ.0Умножив на exp{−αt} и введя обозначение для скалярной функцииu(t) = exp{−αt}ky(t; y 0 )k,приходим к неравенствуZt0 6 u(t) 6 M ky 0 k + M σu(τ )dτ,t > 0.0Применяя лемму Гронуолла-Беллмана, получаемu(t) 6 M ky 0 k exp{M σt}.Возвращаясь к старым обозначениям, с учетом соотношенияMσ 6|α|,4имеемky(t; y 0 )k 6 M ky 0 k exp{(M σ + α)t} 6 M ky 0 k exp{3αt/4}.В силу отрицательности α отсюда вытекает асимптотическая устойчивость нулевого решения.Пример 2.3.1. Исследуем устойчивость решения (0, 0) системыdy1 /dt = −y1 − ay2 + y24 ,dy2 /dt = y1 − y15 + y23 .34Глава 2.
Теория устойчивостиИмеем f1 (y1 , y2 ) = −y1 − ay2 + y24 , f2 (y1 , y2 ) = y1 − y15 + y23 , ∂fi (0, 0)−1 −aA==.10∂yjДля нахождения собственных значений матрицы A составим характеристический многочлен−1 − λ −aM (λ) = det(A − λE) == λ2 + λ + a.1−λ√Тогда собственные значения λ1,2 = 0.5(−1 ± 1 − 4a).При a > 0 имеем Reλ1,2 < 0. При a = 0 имеем λ1 = −1, λ2 = 0.При a < 0 имеем λ1 < 0, λ2 > 0. Таким образом, согласно первомуметоду Ляпунова, нулевое решение асимптотически устойчиво приa > 0, неустойчиво при a < 0. При a = 0 первый метод Ляпунованеприменим.2.4. Исследование на устойчивость с помощьюфункций Ляпунова (второй метод Ляпунова)2.4.1.
Положительно определенные функцииОпределение 2.4.1. Функция V (y) : Rn → R называется положительно определенной на множестве Ω ( θ ∈ Ω), если выполнены следующие два условия:1. V (y) > 0, ∀ y ∈ Ω;2. V (y) = 0 ⇔ y = θ.Далее для определенности будем считать, что множество Ω являетсяшаром радиуса R > 0 с центром в начале координат:Ω = {y ∈ Rn : kyk 6 R}.Лемма 2.4.1. Пусть V (y) – непрерывная и положительно определенная на Ω функция. Тогда:1. для любого ε1 > 0 существует ε2 > 0 такое, что из условийy ∈ Ω, kyk > ε1 вытекает неравенство V (y) > ε2 ;2.4.
Исследование на устойчивость с помощью функций Ляпунова352. для любого ε2 > 0 существует ε3 > 0 такое, что из условийy ∈ Ω, V (y) > ε2 вытекает неравенство kyk > ε3 .Доказательство. Проведем доказательство методом от противного.1. Предположим, что первое из доказываемых утверждений неверно.Тогда существует ε1 > 0 такое, что для любого ε2 > 0 существует точкаy такая, что ε1 6 kyk 6 R и V (y) < ε2 . В силу произвольности ε2 можновзять последовательность 0 < ε2k → 0, и тогда найдется последовательность точек y k , для которой ε1 6 ky k k 6 R, V (y k ) → 0.
Посколькупоследовательность y k принадлежит замкнутому ограниченному множеству, то некоторая ее подпоследовательность является сходящейся,y k 6 R. В силу непрерывности V (y km ) → V (ey ) = 0,y km → ye, ε1 6 keоткуда благодаря положительной определенности имеем ye = θ. Противоречие.2. Предположим, что второе из доказываемых утверждений неверно. Аналогично проведенным выше рассуждениям существует ε2 > 0такое, что для некоторой последовательности 0 < ε3k → 0 найдется последовательность точек y k , для которой ky k k 6 ε3k , V (y k ) > ε2 .
В силунепрерывности имеем V (y k ) → V (0) = 0, что противоречит предыдущему неравенству.Геометрический смысл леммы состоит в том, что поверхность уровняфункции V (y) = ε2 находится в шаровом слое, ограниченном изнутрисферой kyk = ε3 и снаружи – сферой kyk = ε1 (см. рис. 2.3).Следствие 2.4.1. Если последовательность точек y k ∈ Ω, то приk → +∞y k → θ тогда и только тогда, когда V (y k ) → 0.Если при t > 0 вектор-функция y(t) ∈ Ω, то при t → +∞y(t) → θ тогда и только тогда, когда V (y(t)) → 0.Доказанные утверждения показывают, что непрерывная положительно определенная функция может использоваться в качестве мерыблизости точки y ∈ Rn к началу координат.
Ясно, что норма V (y) = kykявляется непрерывной положительно определенной функцией вектораy. Приведем примеры положительно определенных функций, не являющихся нормами.36Глава 2. Теория устойчивостиРис. 2.3. Иллюстрация свойств положительно определенной функции V (y),y = (y1 , y2 ).Пример 2.4.1. Функция V (y1 , y2 ) = y12 +y22 является положительноопределенной, но не удовлетворяет условию однородности для нормы.Вместе с тем, ее линиями уровня являются окружности.ry22y12+(a > 0, b > 0, a 6= b)Пример 2.4.2.
Функция V (y1 , y2 ) =a2b2является положительно определенной, но не удовлетворяет неравенству треугольника для нормы. Линиями уровня этой функции являются эллипсы с длинами полуосей, пропорциональными a, b.2.4.2. Функция ЛяпуноваРассмотрим задачу Коши для нормальной системы обыкновенныхдифференциальных уравненийdy(t)= f (t, y(t)),dty(0) = y 0 ∈ Ω,(2.19)где f (t, y) = (f1 (t, y1 , . . . , yn ), f2 (t, y1 , . .
. , yn ), . . . , fn (t, y1 , . . . , yn ))> , компоненты fj (t, y1 , . . . , yn ) определены и непрерывны на множестве[0; +∞) × Ω,причемfj (t, 0, . . . , 0) = 0,j = 1, . . . , n,t > 0.Ясно, что система (2.19) имеет нулевое решение y(t; θ) = θ.2.4.
Исследование на устойчивость с помощью функций Ляпунова37Определение 2.4.2. Непрерывно дифференцируемая и положительно определенная на Ω функция V (y) называется функцией Ляпунова системы (2.19), еслиnX∂V (y)j=1∂yjfj (t, y) 6 0,∀y ∈ Ω, t > 0.(2.20)2.4.3. Теорема об устойчивостиТеорема 2.4.1. Пусть на множестве Ω существует функция Ляпунова для системы (2.19). Тогда нулевое решение y(t; θ) = θ системы(2.19) является устойчивым по Ляпунову.Доказательство. Зафиксируем произвольное ε1 ∈ (0, R). В силу леммы2.4.1 найдется ε2 = ε2 (ε1 ) такое, что как только для y ∈ Ω выполненонеравенство kyk > ε1 , тоV (y) > ε2 .(2.21)В силу непрерывности функции V (y) в нуле для ε2 (ε1 ) найдется δ =δ(ε2 (ε1 )) такое, что из неравенства kyk < δ вытекает оценкаV (y) 6ε2.2(2.22)Без ограничения общности можно считать, что δ 6 ε1 .Рассмотрим произвольную начальную точку y 0 из δ-окрестности нулевого решения (ky 0 k < δ) и покажем, что при t > 0 соответствующеерешение y(t) = y(t; y 0 ) системы (2.19) удовлетворяет неравенствуky(t)k < ε1 .При t = 0 это неравенство выполнено, ky(0)k = ky 0 k < δ 6 ε1 , и в силу(2.22) имеемε2V (y(0)) 6 .(2.23)2В силу непрерывности неравенство ky(t)k < ε1 остается справедливымна некотором полуинтервале t ∈ [0; t1 ).
Если t1 = +∞, то устойчивостьдоказана. Если же для некоторого момента t1 ∈ (0, +∞) окажется выполненным противоположное неравенство,ky(t1 )k > ε1 ,38Глава 2. Теория устойчивостиРис. 2.4. К доказательству теоремы 2.4.1.то в силу (2.21) получаем (см. рис. 2.4)V (y(t1 )) > ε2 .Принимая во внимание неравенство (2.23), имеемV (y(t1 )) − V (y(0)) > ε2 −ε2ε2=> 0.22(2.24)С другой стороны, в силу (2.20)nndV (y(t)) X ∂V (y(t)) dyj (t) X ∂V (y(t))==fj (t, y(t)) 6 0,dt∂yjdt∂yjj=1j=1t ∈ [0, t1 ].Следовательно, функция V (y(t)) не возрастает на отрезке [0, t1 ], чтопротиворечит (2.24).Таким образом, по произвольному ε1 > 0 найдено δ = δ(ε1 ) такое,что из неравенства ky 0 k < δ вытекает оценка ky(t; y 0 )k < ε1 для всехt > 0, означающая устойчивость нулевого решения.Пример 2.4.3.
Исследуем устойчивость решения (0, 0) системыdy1 /dt = −y1 y24 ,dy2 /dt = y14 y2 .2.4. Исследование на устойчивость с помощью функций Ляпунова39Имеем f1 (y1 , y2 ) = −y1 y24 , f2 (y1 , y2 ) = y14 y2 ,A=∂fi (0, 0)∂yj=0000.Первый метод Ляпунова неприменим, так как матрица A имеет собственные значения λ1 = λ2 = 0.Положительно определенная функция V (y1 , y2 ) = y14 + y24 являетсяфункцией Ляпунова рассматриваемой системы, поскольку∂V (y1 , y2 )∂V (y1 , y2 )f1 (y1 , y2 )+f2 (y1 , y2 ) = 4y13 ·(−y1 y24 )+4y23 ·(y14 y2 ) ≡ 0.∂y1∂y2Следовательно, выполнено условие (2.20).
Согласно теореме 2.4.1 нулевое решение устойчиво по Ляпунову.2.4.4. Теорема об асимптотической устойчивостиТеорема 2.4.2. Пусть на множестве Ω существует функция Ляпунова V (y) системы (2.19), удовлетворяющая неравенствуnX∂V (y)j=1∂yjfj (t, y) 6 −W (y),∀y ∈ Ω,t > 0,(2.25)где W (y) – некоторая непрерывная положительно определенная на Ωфункция.Тогда нулевое решение y(t; θ) = θ системы (2.19) является асимптотически устойчивым.Доказательство. Устойчивость по Ляпунову нулевого решения следуетиз теоремы 2.4.1. Остается доказать, что для решения y(t) = y(t; y 0 )задачи Коши (2.19) выполненоy(t) → θприt → +∞,если только y 0 находится в некоторой окрестности нулевого решения.Из доказательства теоремы 2.4.1 вытекает ограниченность траектории y(t), поскольку она принадлежит ε1 -окрестности нулевого решения.40Глава 2. Теория устойчивостиПоэтому и функция V (y(t)), являясь скалярной функцией аргумента t,ограничена снизу и не возрастает благодаря неравенствуndV (y(t)) X ∂V (y(t))=fj (t, y(t)) 6 −W (y(t)) 6 0,dt∂yjj=1которое следует из (2.25).
Тогда существует пределlim V (y(t)) = α > 0.t→+∞Убедимся, что α = 0. Действительно, если α > 0, то в силу невозрастания V (y(t)) из неравенства V (y(t)) > α согласно п. 2 леммы 2.4.1вытекает оценка ky(t)k > ε3 > 0 для всех t > 0, где ε3 = ε3 (α). Применяя лемму 2.4.1 п. 1 для положительно определенной функции W (y),убеждаемся в справедливости неравенства W (y(t)) > β для всех t > 0,где β = β(ε3 ) > 0. Тогда при t → +∞ в силу (2.25) и формулы конечныхприращений Лагранжа имеемV (y(t)) − V (y(0)) =dV (y(ξ))t 6 −W (y(ξ))t 6 −βt → −∞,dtчто противоречит положительной определенности V (y).Таким образом V (y(t)) → α = 0 и, в силу следствия из леммы 2.4.1,окончательно убеждаемся, что y(t) → θ при t → +∞.Пример 2.4.4. Исследуем устойчивость решения (0, 0) системыdy1 /dt = −y2 − y13 ,dy2 /dt = y1 − y23 .Имеем f1 (y1 , y2 ) = −y2 − y13 , f2 (y1 , y2 ) = y1 − y23 , ∂fi (0, 0)0 −1A==.1 0∂yjПервый метод Ляпунова неприменим, так как матрица A имеет собственные значения λ1,2 = ±i.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
