ОДУ - 2 (1086550), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Теорема об асимптотической устойчивости нулевогорешения линейной системы с постояннымикоэффициентамиРассмотрим линейную однородную систему с постоянными вещественными коэффициентами:dy= Ay,dt(2.8)где A = (aij ), aij ∈ R, i, j = 1, . . . , n. Пусть λ1 , . . .
, λn – собственныезначения матрицы A с учетом их кратностей.Теорема 2.2.1. Пусть вещественные части всех собственных значений матрицы A отрицательны:Re λk < 0,∀ k = 1, . . . , n.Тогда нулевое решение y(t; θ) = θ системы (2.8) является асимптотически устойчивым.Доказательство. Пусть y(t) = y(t; y 0 ) – решение задачи Кошиdy= Ay,dty(0) = y 0 .Тогда, используя определение матрицанта, решение этой задачи можнопредставить в видеy(t) = Z(t, 0)y 0 .(2.9)26Обозначим p =Глава 2. Теория устойчивостиmax Re λk < 0. Выберем и зафиксируем настолькоk=1,...,nмалое γ > 0, чтобыα = p + γ < 0.Тогда согласно части 2 леммы 2.2.3 найдется константа Cγ такая, чтосправедлива оценка|Zij (t, 0)| 6 Cγ exp{αt},t > 0.В силу леммы 2.2.1 с B(t) = Z(t, 0), b(t) = Cγ exp{αt} и x(t) = y 0 из(2.9) следует оценкаky(t)k 6 nCγ exp{αt}ky 0 k.ε, то из неравенства ky 0 k < δ(ε) будет2nCγвытекать неравенство ky(t)k < ε для всех t > 0.
Асимптотическаяустойчивость следует из предельного соотношения exp{αt} → 0 приt → +∞.Если положить δ(ε) =2.2.3. Теорема об устойчивости нулевого решения линейнойсистемы с постоянными коэффициентамиТеорема 2.2.2. Пусть вещественные части всех собственных значений матрицы A неположительны,Re λk 6 0,∀ k = 1, . . . , nи существуют собственные значения с нулевой вещественной частью, причем размерность каждого собственного подпространства,отвечающего Re λ = 0, совпадает с его кратностью.Тогда нулевое решение y(t; θ) = θ системы (2.8) является устойчивым по Ляпунову, но не асимптотически.Доказательство.
Уточним зависимость матрицантаZ(t, 0) = Y (t)Y −1 (0)от переменной t > 0 в рассматриваемом случае. Для всех элементовYij (t) фундаментальной матрицы, отвечающих собственным значениям2.2. Устойчивость нулевого решения линейной системы27с отрицательной вещественной частью, аналогично теореме 2.2.1, справедлива оценка|Yij (t)| 6 Cij exp{αt}, ∀t > 0,где Cij – постоянные, α < 0. Следовательно,|Yij (t)| 6 Cij ,∀t > 0.По условию теоремы, элементы Ykl (t) фундаментальной матрицы, отвечающие собственным значениям λ = iq с нулевой вещественной частью,являются компонентами вектор-функций из фундаментальной системырешений видаy(t) = hl exp{λt},где h = (h1l , .
. . , hnl )> – собственный вектор (присоединенные векторыдля таких собственных значений отсутствуют). Очевидно, что и в этомслучае элементы фундаментальной матрицы также ограничены:|Ykl (t)| = |hkl | · | exp{iqt}| 6 Ckl ,∀t > 0.Таким образом, все элементы фундаментальной матрицы Y (t) ограничены. Умножение Y (t) на постоянную матрицу Y −1 (0) оставляет коэффициенты произведения матриц ограниченными.
Следовательно,eij ,|Zij (t, 0)| 6 C∀t > 0.Тогда из представления решения (2.9) в силу леммы 2.2.1 с матрицейe = max Ceij и x(t) = y 0 имеет местоB(t) = Z(t, 0), функцией b(t) = Ci,j=1,...,nоценкаe 0 k.ky(t)k 6 nCkyИз этой оценки следует устойчивость нулевого решения.Докажем отсутствие асимптотической устойчивости. Пусть h ∈ Cn– какой-либо собственный вектор, соответствующий собственному значению λ = iq, q > 0. Без ограничения общности можем считать, чтоkhk = 1.
Вектор-функцияy(t) = 0.5δ0 Re h exp{iqt},δ0 > 0,является решением системы (2.8) как вещественная часть комплексногорешения h exp{iqt}. В начальный момент t = 0 имеемy(0) = 0.5δ0 Re h,ky(0)k 6 0.5δ0 khk = 0.5δ0 .28Глава 2. Теория устойчивостиДля любого δ0 > 0 из δ0 -окрестности нулевого решения стартует построенное выше решение y(t), но y(t) −→6θ при t → +∞, поскольку,например, y(tk ) = 0.5δ0 Re h 6= θ при tk = 2πk/q, k ∈ N. Более простойслучай q = 0 рассматривается аналогично.2.2.4. Теорема о неустойчивости нулевого решения линейнойсистемы с постоянными коэффициентамиТеорема 2.2.3. Пусть выполнено хотя бы одно из условий:1. матрица A имеет собственное значение с положительной вещественной частью;2. матрица A имеет собственное значение λm такое, чтоReλm = 0,причем размерность собственного подпространства, отвечающего λm , меньше кратности этого собственного значения.Тогда нулевое решение y(t; θ) = θ неустойчиво по Ляпунову.Доказательство.
Пусть у матрицы A имеется собственное значениеλ = p + iq, где p > 0, q > 0. Обозначим через h = hR + ihI соответствующий собственный вектор, где hR , hI — линейно независимыевекторы из Rn . Без ограничения общности можем считать, что khk = 1.Вектор-функцияy(t) = 0.5δRe h exp{(p + iq)t} == 0.5δ exp{pt} hR cos qt − hI sin qt ,δ > 0, (2.10)является решение системы (2.8) как вещественная часть комплексногорешения h exp{(p + iq)t}. В начальный момент t = 0 имеемy(0) = 0.5δhR ,ky(0)k 6 0.5δkhk = 0.5δ.Для любого δ > 0 из δ-окрестности нулевого решения стартует построенное в (2.10) решение y(t), для которого при t = tk = 2πk/q, k ∈ N,k → +∞ имеем:y(tk ) = 0.5δhR exp{2πkp/q},ky(tk )k = 0.5δkhR k exp{2πkp/q} → +∞.2.3.
Исследование на устойчивость по первому приближению29Более простой случай q = 0 рассматривается аналогично.Если у матрицы A имеется собственное значение λ = iq, q > 0, кратность которого превосходит размерность собственного подпространства,то для любого δ > 0 существует решение системы (2.8) видаy(t) = 0.5δRe (g + th) exp{iqt} == 0.5δ (g R + thR ) cos qt − (g I + thI ) sin qt ,y(0) = 0.5δRe g, ky(0)k 6 0.5δ,δ > 0,где h = hR + ihI – собственный вектор, g = g R + ig I – присоединенныйвектор, kgk = 1.
Построенное решение y(t) стартует при t = 0 из δокрестности нулевого решения, а при t = tk = 2πk/q, k ∈ N, k → +∞имеем:y(tk ) = 0.5δ(g R + tk hR ),ky(tk )k ∼ kkhR k → +∞.Более простой случай q = 0 рассматривается аналогично.2.3. Исследование на устойчивость по первому приближению (первый метод Ляпунова)Рассмотрим автономную системуdy(t)= f (y(t)),dt(2.11)где f (y) = (f1 (y), f2 (y), . . . , fn (y))> .
Предполагается, чтоf (θ) = θ.Тогда система (2.11) имеет нулевое решение y(t) = θ. Это решение далееисследуется на устойчивость.В данном параграфе и ниже в параграфе 2.4 будем считать, чтовсе решения, вышедшие при t = 0 из некоторой окрестности нулевогорешения, определены при любых t > 0. Этот факт заведомо имеет местов случае, когда компоненты fj (y) правой части (2.11) удовлетворяютусловию Липшица на всем пространстве Rn (см.
теорему ??). Возможнытакже и другие менее ограничительные случаи.30Глава 2. Теория устойчивостиПусть функции fj (y) дважды непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности начала координат. Тогда имеет место представлениеf (y) = Ay + R(y),(2.12)гдеA=∂fi(0, . . . , 0) ,∂yji, j = 1, . . . , n,R(y) = ō(kyk).Напомним, что условие R(y) = ō(kyk) означает, что∀ σ > 0 ∃ ρ > 0 : kyk < ρ ⇒ R(y) < σkyk.(2.13)Лемма 2.3.1.
Пусть выполнено условие (2.12) и все собственныезначения матрицы A имеют отрицательные вещественные части:Re λk < 0,∀ k = 1, . . . , n.Тогда найдутся константы δ0 > 0 и ρ0 > δ0 > 0 такие, что любоерешение y(t; y 0 ) задачи Кошиdy(t)= Ay(t) + R(y(t)),dty(0) = y 0 ,(2.14)где ky 0 k < δ0 , удовлетворяет неравенствуky(t; y 0 )k < ρ0для всех t > 0.Доказательство. Сначала убедимся в том, что решение y(t; y 0 ) задачиКоши (2.14) удовлетворяет векторному интегральному уравнениюZty(t; y 0 ) = Z(t, 0)y 0 +Z(t, τ )R(y(τ ; y 0 ))dτ.(2.15)0Действительно, обозначаяF (t) = R(y(t; y 0 )),(2.16)мы видим, что y(t; y 0 ) является решением задачи Коши для линейнойнеоднородной системы с правой частью F (t)dy(t)= Ay(t) + F (t),dty(0) = y 0 .2.3.
Исследование на устойчивость по первому приближению31По формуле (??), установленной в следствии ?? к теореме ??, решениеэтой задачи Коши имеет видZty(t) = Z(t, 0)y 0 +Z(t, τ )F (τ )dτ.0Учитывая формулу (2.16), приходим к (2.15).Оценим слагаемые в правой части (2.15). В силу лемм 2.2.1, 2.2.3аналогично доказательству теоремы 2.2.1 об асимптотической устойчивости нулевого решения линейной системы заключаем, что найдутся независящие от y 0 константы α < 0 и M1 > 0 такие, что справедливонеравенствоkZ(t, 0)y 0 k 6 M1 exp{αt}ky 0 k.Аналогично оценивается подынтегральное выражение в (2.15):kZ(t, τ )R(y(τ ; y 0 ))k 6 M2 exp{α(t − τ )}kR(y(τ ; y 0 ))k.Применяя лемму 2.2.2 для оценки нормы интеграла от вектор-функции,приходим к неравенствуZtky(t; y 0 )k 6 M exp{αt}ky 0 k + Mexp{α(t − τ )}kR(y(τ ; y 0 ))kdτ, (2.17)0√где M = max{M1 , M2 n}.Зафиксируем величину σ > 0 настолько малой, чтобы выполнялосьнеравенствоMσ16 .|α|4Для данного σ согласно (2.13) найдется ρ0 > 0 такое, что при kyk < ρ0имеет место оценкаkR(y)k < σkyk.(2.18)Наконец, положимn ρ ρ o00.,4M 2Итак, выбор фигурирующих в условии теоремы констант δ0 и ρ0 осуществлен.Пусть решение y(t; y 0 ) задачи Коши (2.14) при t = 0 удовлетворяет неравенству ky 0 k < δ0 , тогда ky 0 k < ρ0 , и в силу непрерывностиδ0 = min32Глава 2.
Теория устойчивостирешения неравенство ky(t; y 0 )k < ρ0 будет иметь место на некоторомполуинтервале [0, t1 ). Остается убедиться, что t1 = +∞. Предполагаяпротивное, мы для некоторого конечного t1 ∈ (0, +∞) имеемky(t; y 0 )k < ρ0 ,∀t ∈ [0, t1 ),ky(t1 ; y 0 )k = ρ0 .Тогда в силу (2.18)kR(y(τ ; y 0 ))k 6 σky(τ ; y 0 )k 6 σρ0 ,Учитывая то, чтоky 0 k 6 δ0 60 6 τ 6 t1 .ρ0,4Mв силу (2.17) имеемρ0ρ0 = ky(t1 ; y 0 )k 6exp{αt1 } + M σρ04Zt1exp{α(t1 − τ )}dτ 60 ρ0ρ0M σρ06+1 − exp{αt1 } 6 .4|α|2Полученное противоречие доказывает лемму 2.3.1.Теорема 2.3.1.
Пусть функции fj (y) дважды непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности начала координат, j = 1, . . . , n.Если все собственные значения матрицы A = ∂fi (0, . . . , 0)/∂yjимеют отрицательные вещественные части:Re λk < 0,∀ k = 1, . . . , n,то нулевое решение системы (2.11) асимптотически устойчиво поЛяпунову.Если же найдется хотя бы одно собственное значения матрицыA = ∂fi (0, . .
. , 0)/∂yj с положительной вещественной частью:∃λ ∈ {λ1 , . . . , λn } : Re λ > 0,то нулевое решение неустойчиво по Ляпунову.Доказательство. Ограничимся доказательством первой части теоремыоб устойчивости. Возьмем найденные в доказательстве леммы 2.3.1 константы δ0 и ρ0 . Возьмем из δ0 -окрестности нулевого решения произвольную начальную точку y 0 . Тогда y(t; y 0 ) – решение задачи Коши (2.14) и2.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
