ОДУ - 2 (1086550), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Для V (y1 , y2 ) = (y12 + y22 )/2 имеем∂V (y1 , y2 )∂V (y1 , y2 )f1 (y1 , y2 ) +f2 (y1 , y2 ) =∂y1∂y2= y1 · (−y2 − y13 ) + y2 · (y1 − y23 ) = −(y14 + y24 ).2.4. Исследование на устойчивость с помощью функций Ляпунова41Следовательно, функция V (y1 , y2 ) является функцией Ляпунова, которая удовлетворяет условию (2.25) с непрерывной положительно определенной функцией W (y1 , y2 ) = y14 + y24 . Поэтому, согласно теореме2.4.2, нулевое решение асимптотически устойчиво по Ляпунову.2.4.5. Теорема Четаева о неустойчивостиТеорема 2.4.3. Пусть в некотором шаре Ωε = {y ∈ Rn : kyk < ε}радиуса ε > 0 найдется область D ⊂ Ωε с границей Γ0 ∪ Γε , θ ∈ Γ0 ,kyk = ε при y ∈ Γε .
Пусть на замыкании D ∪ Γ0 ∪ Γε этой областиопределена непрерывно дифференцируемая функция U (y), обладающаясвойствами:1. U (y) = 0 при y ∈ Γ0 , U (y) > 0 при y ∈ D;2. для любого α > 0 найдется β = β(α) > 0 такое, что из условийy ∈ D и U (y) > α вытекает неравенствоnX∂U (y)j=1∂yjfj (t, y) > β,t > 0.Тогда нулевое решение y(t; θ) = θ задачи (2.19) неустойчиво по Ляпунову.Доказательство.
Предположим противное, то есть нулевое решениеустойчиво по Ляпунову. Согласно определению устойчивости по Ляпунову для взятого из условия теоремы ε > 0 существует δ > 0 такое, чтодля любого решения y(t) = y(t; y 0 ) задачи Коши (2.19), для которогопри t = 0 выполнено неравенство ky 0 k < δ, для всех t > 0 справедливонеравенство ky(t)k < ε, то естьy(t) ∈ Ωε .(2.26)Так как θ ∈ Γ0 , то можем выбрать y 0 ∈ D, и тогда U (y 0 ) = u0 > 0.Рассмотрим скалярную функцию U (y(t)). ИмеемndU (y(t)) X ∂U (y(t))=fj (t, y(t)).dt∂yjj=1Поэтому при t = 0 справедливо неравенствоdU (y 0 )> 0.dt(2.27)42Глава 2.
Теория устойчивостиРис. 2.5. К доказательству теоремы Четаева.Пока стартовавшая при t = 0 из области D траектория y(t) остаетсяв этой области (y(t) ∈ D), справедливо неравенствоdU (y(t))> 0.dtТогда функция U (y(t)) возрастает и, следовательно,U (y(t)) > U (y 0 ) = u0 > 0.(2.28)Рассматриваемая траектория не может выйти из области D ни черезграницу Γ0 (в силу условия U |Γ0 = 0), ни через границу Γε (в силу(2.26)). Поэтомуy(t) ∈ D, t > 0,(2.29)и неравенство (2.28) выполнено для всех t > 0.
Тогда в силу непрерывности функции U (y(t)) траектория не может выйти за пределы замкнутого ограниченного множества D0 (см. рис. 2.5), гдеD0 = {y ∈ D ∪ Γ0 ∪ Γε : U (y) > u0 }.Согласно условию теоремы и в силу (2.27), (2.28) и (2.29) для α = u0найдется β0 > 0 такое, что во всех точках траектории y(t) справедливо2.4. Исследование на устойчивость с помощью функций Ляпунова43неравенствоdU (y(t))> β0 .dtПочленно интегрируя на отрезке [0, t] и переходя к пределу при t → +∞,имеемU (y(t)) > U (y 0 ) + β0 t → +∞, y(t) ∈ D0 ,что противоречит ограниченности непрерывной функции U (y) на замкнутом ограниченном множестве D0 .
Поэтому исходное предположение неверно. Неустойчивость по Ляпунову нулевого решения доказана.Пример 2.4.5. Исследуем устойчивость решения (0, 0) системыdy1 /dt = y1 y24 ,dy2 /dt = y14 y2 .Имеем f1 (y1 , y2 ) = y1 y24 , f2 (y1 , y2 ) = y14 y2 , ∂fi (0, 0)0A==0∂yj00.Первый метод Ляпунова неприменим, так как матрица A имеет собственные значения λ1,2 = 0.Рассмотрим функцию U (y1 , y2 ) = y1 y2 . Пусть D – совокупностьдвух секторов, отсекаемых от единичного круга первой и третьей координатными четвертями, граница Γ0 состоит из лежащих на осяхOY1 и OY2 радиусов.
Имеем∂V (y1 , y2 )∂V (y1 , y2 )f1 (y1 , y2 ) +f2 (y1 , y2 ) = y2 · y1 y24 + y1 · y14 y2 =∂y1∂y2= y1 y2 (y14 + y24 ) = y1 y2 ((y12 − y22 )2 + 2(y1 y2 )2 ) > 2(y1 y2 )3 > 2α3при условии y1 y2 > α > 0. Таким образом, выполнены условия теоремы2.4.3 с β(α) = 2α3 , и нулевое решение неустойчиво по Ляпунову.2.4.6. Устойчивость точек покояТочка y 0 ∈ Rn называется точкой покоя (положением равновесия)автономной системыdy(t)= f (y(t)),(2.30)dt44Глава 2.
Теория устойчивостиесли f (y 0 ) = θ. Таким образом, координаты точек покоя находятся изсистемы уравнений f1 (y1 , . . . , yn ) = 0,...fn (y1 , . . . , yn ) = 0.Если y 0 – точка покоя, то функция y(t) = y 0 является не зависящим от переменной t решением системы (2.30). Траектория такого решения представляет собой прямую линию в пространстве (t, y1 , . . .
, yn ),а в фазовом пространстве переменных (y1 , . . . , yn ) – одну точку. Будемназывать точку покоя y 0 устойчивой, асимптотически устойчивой илинеустойчивой по Ляпунову, если соответствующее решение y(t) = y 0устойчиво, асимптотически устойчиво или неустойчиво по Ляпунову.Для исследования устойчивости точки покоя можно сделать заменупеременных y(t) = yb(t) + y 0 и перейти к исследованию устойчивостинулевого решения системыdby (t)y (t)),= F (bdtF (by ) = f (by + y 0 ).Для применения теоремы 2.3.1 вычислим элементы матрицы производных A = (aij ):∂Fi∂fi(0, .
. . , 0) =(y ).aij =∂yj∂yj 0В результате приходим к утверждению об устойчивости по первому приближению произвольной (не обязательно нулевой) точки покоя.Теорема 2.4.4. Пусть y 0 – точка покоя системы (2.30), функцииfj (y) дважды непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестностиy 0 , j = 1, . . . , n.Если все собственные значения матрицы A = ∂fi (y 0 )/∂yj имеютотрицательные вещественные части:Re λk < 0,∀ k = 1, . . .
, n,то точка покоя y 0 асимптотически устойчива по Ляпунову.Если же найдетсяхотя бы одно собственное значения матрицыA = ∂fi (y 0 )/∂yj с положительной вещественной частью:∃λ ∈ {λ1 , . . . , λn } : Re λ > 0,то точка покоя y 0 неустойчива по Ляпунову.2.5. Классификация точек покоя452.5.
Классификация точек покояДоказанные выше теоремы 2.2.1-2.2.3 позволяют исследовать на устойчивость точки покоя линейной системы с постоянными коэффициентами и ответить на вопрос, что происходит со стартующей из окрестности точки покоя траекторией: остается ли она в этой окрестности приt → +∞, либо покидает ее за конечное время. Вместе с тем часто бываетнеобходимо уточнить характерный вид траекторий в окрестности точки покоя и, по возможности, вне ее.
В данном параграфе мы приведемклассификацию точек покоя линейной системы на плоскости (n = 2).2.5.1. Классификация точек покоя линейной системыРассмотрим линейную систему с постоянными вещественными коэффициентами относительно вектор-функции y(t) = (y1 (t), y2 (t))>dya11 a12= Ay, A =.(2.31)a21 a22dtНас будут интересовать фазовые (то есть в плоскости (y1 , y2 )) траектории системы (2.31). Заметим, что фазовые траектории этой системыявляются интегральными кривыми обыкновенного дифференциальногоуравнения, полученного после исключения переменной t из (2.31)a11 y1 + a12 y2dy1=.dy2a21 y1 + a22 y2(2.32)Точка покоя (0, 0) является особой для уравнения (2.32), поскольку вней нарушены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши.
Поэтому через точку (0, 0) может проходить какнесколько фазовых кривых, так и ни одной. Таким образом, точка покоя (0, 0) исходной системы (2.31) является особой точкой уравнения(2.32) в фазовых переменных.Классификацию точек покоя будем проводить в зависимости от собственных значений и собственных векторов матрицы A. В рассматриваемом случае n = 2 имеется два собственных значения λ1 , λ2 . Еслиλ1 6= λ2 , то соответствующие собственные векторыh11h12h1 =, h2 =h21h2246Глава 2. Теория устойчивостиабРис. 2.6. Узел: a – устойчивый, б – неустойчивый.линейно независимы и составляют базис в C2 . Если λ1 = λ2 , то возможно существование как двух, так и одного линейно независимогособственного вектора; в последнем случае существует один присоединенный вектор, линейно независимый с собственным.
Рассмотрим типыточек покоя в случае невырожденной матрицы A (det A 6= 0).2.5.2. Узел (λ1 , λ2 ∈ R, λ1 6= λ2 , λ1 · λ2 > 0)Общее решение системы (2.31) имеет видy1 (t)h11h12y(t) == C1exp{λ1 t} + C2exp{λ2 t},y2 (t)h21h22∀C1 , C2 ∈ R. (2.33)Рассмотрим сначала случай, когда собственные значения отрицательны: λ2 < λ1 < 0. Тогда нулевая точка покоя асимптотически устойчива по Ляпунову и называется устойчивым узлом. Фазовые кривыепри t → +∞ стремятся к устойчивому узлу: y(t) → θ . Выясним, покакому направлению фазовые траектории входят в узел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
