Ищенко А.А., Киселев Ю.М. Рентгенофазовый анализ (1083210), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

r'² = r² (1.6)

Например, ортогональная система координат остаётся ортогональной, а условие ортогональности имеет вид:

a_ik² = 1, (1.7)

где a_ik – детерминант, составленный из коэффициентов матрицы (1.5). Из условия ортогональности (1.7) получаем:

a_ik =  1 (1.8)

Знак (+) означает, что преобразование не меняет типа системы координат, а знак () – что преобразование меняет тип системы координат – правая система переходит при этом в левую и наоборот (см. например, рис.3).

Первичным преобразованием симметрии является отражение в плоскости. Это симметричное преобразование, состоящее из двух элементарных операций отражений. При неограниченном числе отражений точки 1 и 2 преобразуются друг в друга. Порядок или кратность операции отражения в плоскости равны двум.

Пусть m является координатной плоскостью (X₂X₃), а ось X₁ направлена по нормали к плоскости m. Тогда координаты группы двух симметрически эквивалентных точек, преобразующихся друг в друга отражением в координатной плоскости (X₂X₃), будут:

(x₁, x₂, x₃) и (-x₁, x₂, x₃). (1.9)

Отражение в центре симметрии – инверсия (i) является более сложным преобразованием по сравнению с отражением в плоскости. Его можно представить как результат отражений в трех взаимно перпендикулярных плоскостях. При отражении точки 1 в каждой из этих плоскостей изменяется знак у соответствующей координаты. Поэтому координаты симметрически эквивалентной точки 2, получаемой путем инверсии в начале координат, равны координатам точки 1 с измененными знаками:

(x₁, x₂, x₃) и (x₁, x₂, x₃), (1.10)

или, в векторной форме,

r₂ = r₁, (1.11)

откуда видно, что отражения в трех ортогональных плоскостях эквивалентны инверсии в точке пересечения этих плоскостей, являющейся центром симметрии. Отражениям в двух плоскостях эквивалентен поворот вокруг оси и трансляция.

Преобразования симметрии, не изменяющие тип системы координат, называют преобразованиями I рода, а изменяющие тип системы координат  преобразованиями II рода. Движения тела – повороты и параллельные переносы – примеры преобразований симметрии I рода. Отражение в зеркальной плоскости и инверсия в центре симметрии – примеры преобразований симметрии II рода. Четное число преобразований симметрии II рода представляет собой преобразования симметрии I рода. Нечетное число преобразований симметрии II рода представляет собой преобразования симметрии II рода.

Плоскость отражения, ось поворота, центр инверсии, вектор переноса (трансляция) – это геометрические образы, с помощью которых можно осуществить соответствующие преобразования симметрии. Эти образы называют элементами симметрии.

Приведем обозначения некоторых из элементов симметрии с конечной кратностью:

P или m – плоскость симметрии;

C_n или n  ось симметрии;

S_n – зеркально-поворотная ось симметрии, сочетающая поворот вокруг оси n с отражением в перпендикулярной к ней плоскости m;

n – инверсионная ось симметрии, сочетающая поворот вокруг оси n с инверсией в центре симметрии i, лежащем на оси поворота.

1.2. Классы симметрии, решетки Браве

Для кристалла, как уже упоминалось, характерна периодическая повторяемость расположения атомов, причем периоды повторяемости различны для разных направлений.

В кристаллической решетке параллельные переносы (трансляции) могут комбинироваться с макроскопическими элементами симметрии. Если, например, кристалл обладает какой-либо осью симметрии или плоскостью симметрии, то путем параллельного переноса их на период решетки возникает бесконечное множество таких параллельных между собой осей и соответственно плоскостей симметрии.

Сочетание трансляции и поворота около оси, совпадающей с направлением этой трансляции, приводит к новому элементу симметрии, который называется винтовой осью.

Аналогично, если точка решетки может быть совмещена с другой путем сочетания трансляции этой точки и отражения ее от плоскости, параллельной направлению трансляции, то возникает соответствующий элемент симметрии, называемый плоскостью зеркального скольжения.

Различные кристаллы могут обладать несколькими элементами симметрии. Элементы симметрии могу комбинироваться в кристаллах. Однако, как было показано А.В. Гадолиным в 1867 г., существует всего 32 возможные комбинации элементов симметрии. Каждая из комбинаций элементов симметрии образует класс симметрии.

Все кристаллы могут относиться только к одному из 32 классов симметрии. Так, например, кристаллы, с одной осью симметрии, образуют пять классов симметрии, соответствующих пяти порядкам этих осей, включая и ось первого порядка, когда симметрия отсутствует. Четыре класса образуют кристаллы, содержащие кроме одной оси симметрии и перпендикулярные к ней оси второго порядка. При этом отдельный класс симметрии образуют кристаллы, обладающие только центром симметрии.

В кристаллографии принято объединять указанные 32 класса симметрии в 7 систем симметрии (или сингоний), которые носят следующие названия в порядке возрастания симметрии [1,2]:

• триклинная система, объединяющая 2 класса симметрии;

• моноклинная система, куда входят 3 класса;

• ромбическая система; также с 3 классами симметрии;

• тригональная система, объединяет 7 классов;

• гексагональная система — 5;

• тетрагональная система с 7 классами;

• кубическая система, наиболее симметричная, объединяет 5 классов.

Совокупность, эквивалентных узлов решетки, которые могут быть совмещены друг с другом только путем трансляции, образует так называемую трансляционную решетку, или решетку Браве кристалла, принимаемую в качестве элементарной.

Рис.4. Решетки Браве. а  триклинная, б  моноклинная (примитивная и базоцентрированная), в  ромбическая (примитивная, базоцентрированная, объемноцентрированная, гранецентрированная), г  тетрагональная (примитивная, объемноцентрированная, д  ромбоэдрическая, е  гексагональная, жкубическая (примитивная, объемноцентрированная и гранецентрированная).

Параметры элементарной ячейки обозначаются символами a, b, c, а углы  , , . В табл. 1 представлены все такие решетки.

Из рис.4 следует, что решетка Браве представляет собой параллелепипед, построенный путем параллельного переноса какого-нибудь из узлов решетки по трем направлениям. В качестве координатных осей выбирают направления, параллельные осям симметрии кристалла или перпендикулярные к его плоскостям симметрии (такие направления обычно называют кристаллографическими осями). В параллелепипедах повторяемости эквивалентные узлы (атомы) могут располагаться не только в вершинах, но и в центре граней, ив центре диагональной плоскости. В первом случае решетка Браве называется гранецентрированной, во втором - объемноцентрированной.

Таблица 1.

Решетки Браве

Система	Соотношение параметров элементарной ячейки	Тип центрирования
Триклинная	a ≠ b ≠ c,  ≠  ≠ ≠90	Примитивная
Моноклинная	a ≠ b ≠ c,  = =90, ≠90	Примитивная
		Базоцентрированная
Ромбическая	a ≠ b ≠ c,  =  = =90	Примитивная
		Объемноцентрированная
		Базоцентрированная
		Гранецентрированная
Ромбоэдрическая	a = b= c,  ≠90, = 	Примитивная
Гексагональная	a = b ≠ c,  =  =90, =120	Примитивная
Тетрагональная	a = b ≠ c,  =  = =90	Примитивная
		Объемноцентрированная
Кубическая	a = b = c,  =  = =90	Примитивная
		Объемноцентрированная
		Гранеценрированная

Рис.5. Структура типа NaCl

Решетка Браве строится для определенного узла кристаллической решетки путем параллельного переноса его по трем кристаллографическим осям. Если выбрать в качестве исходного другой какой-нибудь узел (атом), получим другую решетку. Отсюда следует, что кристаллические решетки могут быть представлены системой из нескольких вложенных друг в друга решеток. Так, например, кристаллическая решетка поваренной соли NaCl состоит из двух подрешеток (рис. 5) соответственно тому, что ионы Na (черные кружки) и ионы Сl (белые кружки) каждый по отдельности образуют кубическую решетку. Обе эти решетки смещены относительно друг друга на половину ребра куба.

1.3. Пространственные группы

Полная симметрия кристаллической решетки, т. е. симметрия расположения составляющих ее атомов, определяется, как отмечалось, сочетанием трансляционной симметрии и элементов симметрии, связанных с поворотами и отражениями. Совокупность элементов симметрии, присущих данной кристаллической решетке, называется пространственной группой этой решетки.

Для определения пространственной группы кристаллической решетки нужно, очевидно, указать ее решетку Браве и те элементы симметрии, которые связаны с поворотами и отражениями, т.е. расположение плоскостей и осей симметрии. Любая пространственная группа может быть отнесена к одному из 32 кристаллических классов

Знаменитым кристаллографом Е. С. Федоровым было показано, что всего возможно 230 различных пространственных групп, которые и распределяются по указанным кристаллическим классам (Федоровские группы).

1.4. Символические обозначения плоскостей и направлений в кристалле. Индексы Миллера

Рис.6. Координатные оси и плоскости

Анизотропия кристалла делает необходимым выделение и соответствующее обозначение различных плоскостей (граней) и направлений (например, ребер) в кристалле. Для этого пользуются специальной системой координат, связанной с кристаллом так, что координатные оси обычно проводятся параллельно осям симметрии или перпендикулярно к плоскостям симметрии, а начало координат совпадает с одним из узлов решетки.

Характеристики

Список файлов книги