XIV Аттетков и др. Методы оптимизации (1081420), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Теорема 7.3. Пусть функция 7с(х) определена на выпуклом множестве Й и дифференцируема в точке х* Е Й. Если для некоторого числа о > О выполнено условие (Егас1)в(х*), е) > о, е Е С(х*), (7.3) то х* точка строгого локального минимума этой функции на множестве Й. хи миниасиаация целевой функции на ааданном множестве 305 ~ Условие дифференцируемости функции уо (х) в точке х* означает, что функция 1о(х) определена в некоторой окрестности П(х*, е) точки х* и в этой окрестности имеет место представление ~о(х) — с"о(х*) = (рас1 с"о(х*), Ьх) + о(слх), где Ьх = х — х*, а бесконечно малая при сах — ~ О.
о(слх) (с.'св( Уменьшим, если необходимо, радиус окрестности д настолько, чтобы в этой окрестности выполнялось неравенство ~о(Ьх) ~ ( ( — (Ьх). Пусть х б Й О П(х*,е), х ~ х'. Тогда вектор е = )и — х*) задает допустимое направление. Следовательно, 1о(х) — ~о(х') = (вгас1.с'о(х*); ах) +о(ах) > О О О > !ах!(Охаб Ко(х*), е) — — )сах! > (Ьх)Π— — (Ьх) = — )Ьх! > О.
2 2 2 Но это и означает, что в точке х' функция со(х) имеет локаль- ный минимум на множестве Й. ~ Отметим, что условие (7.3) теоремы 7.3 может выполняться лишь в граничной точке множества Й. Действительно, если бы это условие выполнялось во внутренней точке х' множества Й, то точка х* была бы точкой локального минимума функции уо(х) и, значит, в этой точке выполнялось бы равенство (бгас1Д(х*), е) = О, е Е И". Но это противоречит условию (7.3).
Доказанные необходимое и достаточное условия локального минимума функции на множестве можно использовать при решении задач минимизации функции на заданном множестве Й. Если целевая функция достигает наименьшего значения на Й, то для определения точки минимума можно придерживаться следующего порядка действий. Е Находим все стационарные точки функции, являющиеся внутренними точками множества Й.
3об 7. ЛНАЛИТИНЕСКИЕ МЕТОДЫ При решении задачи выпуклого программирования., в которой выпуклая функция минимизирустся на выпуклом множестве, достаточно найти любую точку ее локального минимума, так как, согласно теореме 3.14, в любой точке локального минимума эта функция достигает наименьшего значения. В этом случае уместно использовать достаточное условие локального минимума на множестве (см. теорему 7.3), которое не требует вычисления частных производных второго порядка и легко проверяется. Узким местом предложенной схемы является применение необходимого условия локального минимума на множестве. Если необходимое условие экстремума функции записывается в виде системы уравнений, то необходимое условие локального минимума на множестве представлено в виде системы неравенств, в которых варьируется нс только неизвестная точка, но и вектор е допустимого направления. Выделить с помощью теоремы 7.2 точки, „подозрительные" на локальный минимум, можно лишь в случае, когда допустимое множество Й имеет границу простой структуры.
7.2. Минимизация при ограничениях типа равенства Задачу нелинейного программирования с ограничениями типа равенства можно записать следующим образом: 1в(ж) -+ гв1п; ~~(в) = О, 1 = 1, 1с. (7.4) 2. С помощью необходимого условия (см. теорему 7.2) находим все точки на границе множества Й, в которых функция может иметь локальный минимум на Й. 3. Сравнивая значения минимизируемой функции в найденных точках, находим ту точку, в которой функция имеет наименьшее значение.
7.2. Миннмиаапин при ограничениях типа рааенстна 307 В данном случае допустимое множество 11 имеет вид Й=(хаий": Яв) =О, 1=1,Й1. А(х) = Ях)+ ~ ЛсЯж) 17.5) 1=ч в точке т* выполняется необходимое условие экстремума бгас1ь1:в ) = О, Сформулированную задачу в случае диффсренцирусмых функций Ях) можно связать с задачей исследования целевой функции на условный экстремум [Лг). Если точка щ' есть решение задачи 17.4), т.е. если целевая функция ~с(ж) достигает в этой точке наименьшего значения на множестве Й., то точка щ* является точкой условного локального минимума функции Д(х) при условиях Д(х) = О, 1 = 1, а 1эти уравнения называ1от уравнениями связи). Поэтому решать задачу 17.4) можно следующим образом.
Найти все точки, в которых функция может иметь условный локальный минимум, а затем путем сравнения значений функции выбрать из этих точек ту, в которой функция имеет наименьшее значение. Если задача имеет решение 1т.е. целевая функция при заданных ограничениях достигает наименьшего значения), то этим решением будет найденная точка. Поиск точек, „подозрительных" на условный экстремум, выполняют с помощью необходимого условия условного локального экстремума., суть которого в следующем.
Если точка х* является точкой условного экстремума функции Д1,в) при условиях Ях) = О, 1 = 1, й, причем функции Яа), 1 = О, 1ч непрерывно дифференцируемы в окрестности точки х" и матрица Якоби,11а) векторной функции ~(ж) = ф1а) ... 7ь(а)) в точке х* имеет ранг /с 1максиманьный ранг, равный количеству строк), то существуют такие множители Лагранжа Лм ..., Лы что для функции Лагранжа 308 7. АНАЛИТИНЕСКИЕ МЕТОДЫ или дТ (,в*) дЦт*) дА(ж*) дл1 доз " ' ди„, Поиск стационарных точек функции Лагранжа сводится к решению системы п+ й уравнений [Ъ'] дЬ(т) дж, Яв)=0, 1=1,Й, соДеРжащей п+ й неизвестных и1, ..., и„, Лы ..., Лы Таким образом, исследование функции на условный экстремум состоит в выделении некоторого набора точек, „подозрительных" на экстремум, и в проверке каждой точки, является ли она в действительности точкой условного экстремума.
Набор точек, „подозрит1льных" на экстремум, можно разделить на три группы: 1) точки, в которых хотя бы одна из функций Й(х), 1 = О, й, не дифференцируема или одна из ее частных производных разрывна; 2) точки, в которых ранг матрицы .Якоби,у(а) системы уравнений связи меньше количества й уравнений связи; 3) стационарные точки функции, Лагранжа. Отличие задачи минимизации при ограничениях типа равенства от задачи исследования на условный экстремум состоит в том, что в задаче минимизации нет необходимости проверять, является ли точка, „подозрительная" на экстремум, точкой условного локаяьного минимума. Можно просто сравнить значения минимизируемой функции в этих точках и выбрать ту, в которой значение функции наименьшее. Эта точка и будет решением задачи минимизации.
Правда, последнее утверждение верно лишь в случае, когда задача минимизации имеет решение. В действительности возможна ситуация, когда целевая функция имеет точки условного локального минимума, но не достигает наименьшего значения. 7.2. Миннмиаания при ограничениях тина рааенетна ЗОО г (х) = ЛоУо(х) +,г, Лггг (х): (7.6) в которую добавлен еще один множитель Лагранжа Ло.
Следу- ющее утверждение назыволот обобигенным правилом мно- жителей Лаеранжа. Теорема 7.4. Если х* е Кн — точка условного экстремума функции го(х) при условиях ~~(х) = О, 1 = 1, и, причем функции 7г(х), 1 = О, и, непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки х*, то существуют такие множители Лагранжа Ль 1 = О, й, не все равные нулю, что для функции ,Лагранжа А(х) точка х* является стационарной, т.е. ягас1г (х*) = О.
(7.7) ~ Если ранг матрицы Якоби 1(х') системы функций ~~(х), 1 = 1, Й, в точке х* равен их количеству Й, то достаточно положить Ло = 1. Тогда утверждение теоремы будет вытекать из необходимого условия условного экстремума ~Ч1. Предположим, что Йб,У(ха) ( Й. Тогда строки матрицы Л1х*) линейно зависимы, например, в силу теоремы о базисном миноре [Ш]. Это означает, что для некоторых значений Лм ..., Лы одновременно не равных нулю, выполняется равенство Лг рас1~г(х') + Лграс1Ь(х*) +...
+ Льягас11а(х*) = О. Необходимое условие условного локального экстремума можно модифицировать так, что определение стационарных точек функции Лагранжа будет включать в себя и поиск точек, в которых нарушается условие на ранг матрицы Якоби системы уравнений связи (необходимое условие условного локального экстремума формулируется в предположении, что ранг системы уравнений связи максимален и совпадает с числом уравнений связи).
Для этого изменим понятие функции Лагранжа, используя вместо (7.5) формулу 81О 7. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ Положив Ло = О, запишем Лодгас1Д(а*)+~~~ Лс8тас1~с(а*) =О, I =-! что в силу (7.6) совпадает с (7.7). ~ Нетрудно увидеть, что множители Лагранжа, существование которых вытекает из теоремы 7.4, определяются неоднозначно: их можно, не нарушая утверждения теоремы, умножить на любой постоянный множитель. Поэтому для определения й + 1 множителя Лагранжа Лш ..., Ль и н координат точки х' достаточно В+и уравнений.
Такое количество дают условие (7.7) (это п уравнений) и совокупность уравнений связи (их количество равно й). 7.3. Общая задача нелинейного программирования Обсадсо задачд нелинейного программирования можно сформулировать следующим образом: с То(ж) — ~ шш; (7.8) 7с(а) =О, 1=1, й; д;(ж) (О, 1=1,т. При этом предполагается, что одна из фигурирующих в задаче функций не является линейной. Считаем, что все функции ,ц(в), 1 = О, сс, и дс(в), 1 = 1, т, определены на некотором открытом множестве Х С Ка. Упрощая изложение, мы далее ограничимся случаем Х = К".