Главная » Просмотр файлов » XIV Аттетков и др. Методы оптимизации

XIV Аттетков и др. Методы оптимизации (1081420), страница 44

Файл №1081420 XIV Аттетков и др. Методы оптимизации (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска) 44 страницаXIV Аттетков и др. Методы оптимизации (1081420) страница 442018-01-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 44)

Теорема 7.3. Пусть функция 7с(х) определена на выпуклом множестве Й и дифференцируема в точке х* Е Й. Если для некоторого числа о > О выполнено условие (Егас1)в(х*), е) > о, е Е С(х*), (7.3) то х* точка строгого локального минимума этой функции на множестве Й. хи миниасиаация целевой функции на ааданном множестве 305 ~ Условие дифференцируемости функции уо (х) в точке х* означает, что функция 1о(х) определена в некоторой окрестности П(х*, е) точки х* и в этой окрестности имеет место представление ~о(х) — с"о(х*) = (рас1 с"о(х*), Ьх) + о(слх), где Ьх = х — х*, а бесконечно малая при сах — ~ О.

о(слх) (с.'св( Уменьшим, если необходимо, радиус окрестности д настолько, чтобы в этой окрестности выполнялось неравенство ~о(Ьх) ~ ( ( — (Ьх). Пусть х б Й О П(х*,е), х ~ х'. Тогда вектор е = )и — х*) задает допустимое направление. Следовательно, 1о(х) — ~о(х') = (вгас1.с'о(х*); ах) +о(ах) > О О О > !ах!(Охаб Ко(х*), е) — — )сах! > (Ьх)Π— — (Ьх) = — )Ьх! > О.

2 2 2 Но это и означает, что в точке х' функция со(х) имеет локаль- ный минимум на множестве Й. ~ Отметим, что условие (7.3) теоремы 7.3 может выполняться лишь в граничной точке множества Й. Действительно, если бы это условие выполнялось во внутренней точке х' множества Й, то точка х* была бы точкой локального минимума функции уо(х) и, значит, в этой точке выполнялось бы равенство (бгас1Д(х*), е) = О, е Е И". Но это противоречит условию (7.3).

Доказанные необходимое и достаточное условия локального минимума функции на множестве можно использовать при решении задач минимизации функции на заданном множестве Й. Если целевая функция достигает наименьшего значения на Й, то для определения точки минимума можно придерживаться следующего порядка действий. Е Находим все стационарные точки функции, являющиеся внутренними точками множества Й.

3об 7. ЛНАЛИТИНЕСКИЕ МЕТОДЫ При решении задачи выпуклого программирования., в которой выпуклая функция минимизирустся на выпуклом множестве, достаточно найти любую точку ее локального минимума, так как, согласно теореме 3.14, в любой точке локального минимума эта функция достигает наименьшего значения. В этом случае уместно использовать достаточное условие локального минимума на множестве (см. теорему 7.3), которое не требует вычисления частных производных второго порядка и легко проверяется. Узким местом предложенной схемы является применение необходимого условия локального минимума на множестве. Если необходимое условие экстремума функции записывается в виде системы уравнений, то необходимое условие локального минимума на множестве представлено в виде системы неравенств, в которых варьируется нс только неизвестная точка, но и вектор е допустимого направления. Выделить с помощью теоремы 7.2 точки, „подозрительные" на локальный минимум, можно лишь в случае, когда допустимое множество Й имеет границу простой структуры.

7.2. Минимизация при ограничениях типа равенства Задачу нелинейного программирования с ограничениями типа равенства можно записать следующим образом: 1в(ж) -+ гв1п; ~~(в) = О, 1 = 1, 1с. (7.4) 2. С помощью необходимого условия (см. теорему 7.2) находим все точки на границе множества Й, в которых функция может иметь локальный минимум на Й. 3. Сравнивая значения минимизируемой функции в найденных точках, находим ту точку, в которой функция имеет наименьшее значение.

7.2. Миннмиаапин при ограничениях типа рааенстна 307 В данном случае допустимое множество 11 имеет вид Й=(хаий": Яв) =О, 1=1,Й1. А(х) = Ях)+ ~ ЛсЯж) 17.5) 1=ч в точке т* выполняется необходимое условие экстремума бгас1ь1:в ) = О, Сформулированную задачу в случае диффсренцирусмых функций Ях) можно связать с задачей исследования целевой функции на условный экстремум [Лг). Если точка щ' есть решение задачи 17.4), т.е. если целевая функция ~с(ж) достигает в этой точке наименьшего значения на множестве Й., то точка щ* является точкой условного локального минимума функции Д(х) при условиях Д(х) = О, 1 = 1, а 1эти уравнения называ1от уравнениями связи). Поэтому решать задачу 17.4) можно следующим образом.

Найти все точки, в которых функция может иметь условный локальный минимум, а затем путем сравнения значений функции выбрать из этих точек ту, в которой функция имеет наименьшее значение. Если задача имеет решение 1т.е. целевая функция при заданных ограничениях достигает наименьшего значения), то этим решением будет найденная точка. Поиск точек, „подозрительных" на условный экстремум, выполняют с помощью необходимого условия условного локального экстремума., суть которого в следующем.

Если точка х* является точкой условного экстремума функции Д1,в) при условиях Ях) = О, 1 = 1, й, причем функции Яа), 1 = О, 1ч непрерывно дифференцируемы в окрестности точки х" и матрица Якоби,11а) векторной функции ~(ж) = ф1а) ... 7ь(а)) в точке х* имеет ранг /с 1максиманьный ранг, равный количеству строк), то существуют такие множители Лагранжа Лм ..., Лы что для функции Лагранжа 308 7. АНАЛИТИНЕСКИЕ МЕТОДЫ или дТ (,в*) дЦт*) дА(ж*) дл1 доз " ' ди„, Поиск стационарных точек функции Лагранжа сводится к решению системы п+ й уравнений [Ъ'] дЬ(т) дж, Яв)=0, 1=1,Й, соДеРжащей п+ й неизвестных и1, ..., и„, Лы ..., Лы Таким образом, исследование функции на условный экстремум состоит в выделении некоторого набора точек, „подозрительных" на экстремум, и в проверке каждой точки, является ли она в действительности точкой условного экстремума.

Набор точек, „подозрит1льных" на экстремум, можно разделить на три группы: 1) точки, в которых хотя бы одна из функций Й(х), 1 = О, й, не дифференцируема или одна из ее частных производных разрывна; 2) точки, в которых ранг матрицы .Якоби,у(а) системы уравнений связи меньше количества й уравнений связи; 3) стационарные точки функции, Лагранжа. Отличие задачи минимизации при ограничениях типа равенства от задачи исследования на условный экстремум состоит в том, что в задаче минимизации нет необходимости проверять, является ли точка, „подозрительная" на экстремум, точкой условного локаяьного минимума. Можно просто сравнить значения минимизируемой функции в этих точках и выбрать ту, в которой значение функции наименьшее. Эта точка и будет решением задачи минимизации.

Правда, последнее утверждение верно лишь в случае, когда задача минимизации имеет решение. В действительности возможна ситуация, когда целевая функция имеет точки условного локального минимума, но не достигает наименьшего значения. 7.2. Миннмиаания при ограничениях тина рааенетна ЗОО г (х) = ЛоУо(х) +,г, Лггг (х): (7.6) в которую добавлен еще один множитель Лагранжа Ло.

Следу- ющее утверждение назыволот обобигенным правилом мно- жителей Лаеранжа. Теорема 7.4. Если х* е Кн — точка условного экстремума функции го(х) при условиях ~~(х) = О, 1 = 1, и, причем функции 7г(х), 1 = О, и, непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки х*, то существуют такие множители Лагранжа Ль 1 = О, й, не все равные нулю, что для функции ,Лагранжа А(х) точка х* является стационарной, т.е. ягас1г (х*) = О.

(7.7) ~ Если ранг матрицы Якоби 1(х') системы функций ~~(х), 1 = 1, Й, в точке х* равен их количеству Й, то достаточно положить Ло = 1. Тогда утверждение теоремы будет вытекать из необходимого условия условного экстремума ~Ч1. Предположим, что Йб,У(ха) ( Й. Тогда строки матрицы Л1х*) линейно зависимы, например, в силу теоремы о базисном миноре [Ш]. Это означает, что для некоторых значений Лм ..., Лы одновременно не равных нулю, выполняется равенство Лг рас1~г(х') + Лграс1Ь(х*) +...

+ Льягас11а(х*) = О. Необходимое условие условного локального экстремума можно модифицировать так, что определение стационарных точек функции Лагранжа будет включать в себя и поиск точек, в которых нарушается условие на ранг матрицы Якоби системы уравнений связи (необходимое условие условного локального экстремума формулируется в предположении, что ранг системы уравнений связи максимален и совпадает с числом уравнений связи).

Для этого изменим понятие функции Лагранжа, используя вместо (7.5) формулу 81О 7. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ Положив Ло = О, запишем Лодгас1Д(а*)+~~~ Лс8тас1~с(а*) =О, I =-! что в силу (7.6) совпадает с (7.7). ~ Нетрудно увидеть, что множители Лагранжа, существование которых вытекает из теоремы 7.4, определяются неоднозначно: их можно, не нарушая утверждения теоремы, умножить на любой постоянный множитель. Поэтому для определения й + 1 множителя Лагранжа Лш ..., Ль и н координат точки х' достаточно В+и уравнений.

Такое количество дают условие (7.7) (это п уравнений) и совокупность уравнений связи (их количество равно й). 7.3. Общая задача нелинейного программирования Обсадсо задачд нелинейного программирования можно сформулировать следующим образом: с То(ж) — ~ шш; (7.8) 7с(а) =О, 1=1, й; д;(ж) (О, 1=1,т. При этом предполагается, что одна из фигурирующих в задаче функций не является линейной. Считаем, что все функции ,ц(в), 1 = О, сс, и дс(в), 1 = 1, т, определены на некотором открытом множестве Х С Ка. Упрощая изложение, мы далее ограничимся случаем Х = К".

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
2,13 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Зарубин В.С., Крищенко А.П
Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6547
Авторов
на СтудИзбе
300
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее