Мещерский И.В. - Сборник задач по теоретической механике (1975) (1079972), страница 51
Текст из файла (страница 51)
У к а з ан и е. При определении горизонтальной составляющей натяжения каждой из нитей, считая колебания бифиляра малыми, заменить синус угла между направлением инги н вертикалью самим углом. 2па Г! Отве/и: Т= — аг Ь у' Зй' 37.20 (1019). Диск, подвешенный к упругой проволоке, совершает крутильные колебания в жидкости. Момент инерции диска относи-, тельно оси проволоки равен Х Момент, необходимый для закручива- ния проволоки на один радиан, равен с. Момент сопротивления дви- жению равен а8ю, где а — коэффициент вязкости жидкости, 8 — сумма плошадей верхнего и нижнего оснований диска, ю — угловая скорость диска. Определить период колебаний диска в жидкости.
Отвея: Т= 4пУ ]' АУ вЂ” иаЗз 37.21 (1020). Определить закон убывания амплитуд колебаний лиска, рассмотренного в предыдущей задаче. Ответ: Лмплитуды колебаний диска убывают по геометрической~ апэ '.! прогрессии со знаменателем е 37.22. Твердое тело, подвешенное на упрутой проволоке, совер-' шает крутильные колебания под действием внешнего момента яв, причем тв =ягайло!+язв!пЗьз!, где тм тз и ю — постоянные, а г — ось, направлепнзя вдоль проволоки. Момент упругости прово- локи равен т„„р, причем я „р,— — — с~р, где с — коэффициент упру- гости, а гр — угол закручяванйя.
Определить закон вынужденных кру- тильных колебаний твердого тела, если его момент инерции относи- тельно оси г равен'./,. Силами сопротивления движению пренебречь. Гс г' с Считать, что уа. — „-ью и у — чь.аю. У у, ~г Ответ: ~р = /,, з!и ю! +... з!п Зю/, где с я, я, /г~ = — —; /гт — йз = ~с ус 37.23. Решить предыдущую задачу с учетом момента сопротивле- ния я„ пропорционзльного угловой скорости твердого тела, причем т„= — ргр, где р — постоянный коэффициент.
Ответ: гр=Агз!п(ю/ — ет)+Азз!п(Зы! — ва), где Ь, Ьр Аа= Аз= )Г(Л' — юз)т+4п'юз )С(аз — 9ю')Я+26лзю" 2пы 6 па из=асс!ялз ~, вз=агс!ял~ 9 ь, л=2/.. г 37.24 (1021). Для определения коэффициента вязкости жидкости наблюдают колебания диска, подвешенного к упругой проволоке в жидкости. Н диску приложен внешний момент, равный А4, з!п ру (Ма=сопя!), при котором наблюдается яяление резонанса. Момент сопротивления движению диска в жидкости равен а3ю, где сс — коэф- фициент вязкости жидкости, 3 — сумма площадей ве!хчего и ниягнего оснований диска, ю — угловая скорость диска. Определить коэффи- 288 циент а вязкости жидкости, если амплитуда вынужденных колебаний диска при резонансе равна ср . Мо Ответ: а= —.
%ооР 37.25 (1022). Призматический магнит мзссой тм граммов, длиной 2а и шириной 26 сантиметров, полюсы которого находятся на его концах, может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр тяжести, в земном магнитном поле. Отклонив мзгпит из положения равновесия ЯМ на весьма малый угол, предоставляют его самому себе. Определить движения магнита, если известно, что горизонтальная составляюшая К задаче 37.75. магнитного поля Земли действует па единицу магнетизма с силою гт дан, а магнитный момент магнита, т. е. произведение количествз магнетизма, сосредоточенного в полюсах, на расстояние 2а между полюсзми, равен А единицам в системе СС8.
Ответ: Гармонические колебания с периодом / т (о'+ЬЧ Т=йп гдт 37.26 (1026), При полете снаряда вращение его вокруг оси симметрии замедляется действием момента силы сопротивления воздуха, равного Йдо, где ьд-угловая скорость вращения снзряда, Й вЂ” постоянный коэффициент пропорциональности. Определить закон убывания угловой скорости, если начальная угловая скорость равна ьто, а момент инерции снаряда относительно ' А оси симметрии равен т'. ! ! Ответ: ю=соее 37.27 (1003).
Для определения ускорения силы тяжести пользуются оборотным маятником, который предстзвляст собой стержень, снабженный двумя трехгранными ножами А и В. Один из ножей неподвижен, а второй может перемещаться вдоль стержня. Подвешивая стержень то на один, то на другой нож и меняя расстояние АВ между к даче ними, можно добиться равенства периодов качаний маяг- зт, гт. ника вокруг каждого из ножей. Чему равно ускорение силы тяжести, если рзсстояние между ножами, при котором периоды качаний маятника равны, АВ=?, а период качаний равен Т? 4М Ответ: у= —. =Та' 37.28 (1004). Дза твердых тела могут качаться вокруг одной и той же горизонтальной оси как отдельно друг от друга, так н скрепленные вместе.
Определить приведенную длину сложного маятника, если веса твердых тел рд и р„ расстояния от их центров тяжести до общей оси вращения а, и а„ а приведенные длины при отдельном качании каждого тд и 1,. Рд т д+Ра за Рт от + Рава 10 И, в. Мещерская йоз 37.29 (1005). Для регулирования хода часов к маятнику весом Р приведенной длины з с расстоянием а от его центра тяжести до оси привеса прикрепляют добавочный груз весом р на расстоянии х от оси привеса.
Принимая добавочный груз за материальную точку, определить изменение Ы приведенной длины маятника при данных значениях р и х и значение х=хн при котором заданное изменение М приведенной длины маятника достигается при помощи добавочного груза наименьшей массы. Отвею: Приведенную длину маятника надо уменьшить на рх (х — 1) 1 Дтар= р 1 . 1 ХЗ='2()+аз). 37ЛО (1006). Для определения момента инерции Г данного тела относительно неко- К задаче Зтац торой оси АВ, проходящей через центр тя- жести О тела, его подвесили жестко скрепленными с ним стержнями АР и ВЕ, свободно наезженными на неподвижную горизонтальную ось РЕ, так, что ось АВ параллельна РЕ; приведя затем тело з колебательное движение, определили продолжительность Т одного размаха.
Как велик момент инерции Л если вес тела р н расстояние между осями АВ и РЕ равно лг Массами стержней пренебречь. ГТз гз'з Ответ:,/а йр ) —, — — ), а). 37Л1. Решить предыдущую задачу с учетом массы тонких однородных прямолинейных стержней АР и ВЕ, если вес каждого из них равен Я. Отаегш ./=Ь~( „— + ") й1. Зй 37Л2 (100?).
Для определения момента инерции шатуна его ааставляют качаться вокруг горизонтальной осн, продев через втулку К задаче ат.аа. цапфы крейцкопфа тонкий цилиндрический стержень. Продолжительность ста размахов 1ООТ=100 гек, где Т вЂ” половина периода. Затем для определения расстояния АС=гз центра тяжести С от центра А 290 отверстия шатун положили горизонтально, подвесив его в точке А к талям н оперев точкой В на платформу десятичных весов; давление на нее оказалось при этом равным Р = 60 кГ.
Определить цент ральный момент инерции » шатуна относительно оси, перпендикулярной к плоскости чертежа, имея следуюгцие данные: вес шатуна О. = 80 кГ, расстояние между вертикалями„ проведенными через точки А и В (см. правый чертеж), 1= 1 лг, радиус цапфы крейцкопфа г = 4 ем, Отвелк »'= ( —,Та —.— 1 — з =1,77 кГмеека. Р1+Яг Гв .
Р а ~ а й 37.33 (1008). Маятник состоит из стержня АВ с прикрепленным к нему шаром с массой т и радиусом г, 'чч I центр которого С находится на продолжении стержня. Определить, пренебрегая массой стержня, в какой точке стержня нужно поместить ось привеса для того, чтобы продолжигельность одного размаха при малых качаниях имела данную величину Тз о: ес -~ —,1гт'<.~ Ет — тз т и' Так как должно быть ОС)г, то решение возможно, если Тз)1А — г; И решение, соответствующее знаку мвнус перед радикалом, невозможно.
37.34 (1009). На каком расстоянии от центра тяжести должен быть подвешен физический маятник, чтобы период его кзчаний был наименьшимр Ответ: На расстоянии, равном рздиусу инерции маятника относительно оси, проходящей через его центр тяжести перпендикулярно к плоскости качаний. 37.33 (1010).
Маятник состоит из стержня с двумя закрепленными на нем грузами, расстояние между которыми равно 1; верхний груз имеет массу т„ нижний †.массу т,. Определить на каком расстоянии к от нижнего груза нужно поместить ось привеса для того, чтобы период малых качаний Я~~) мзятннка был наименьшим; массой стержня пренебречь и грузы считать материальными точками. 111 Ответ. к =1')тт, ',ь» т,+т, 37.30 (1011).
На каком расстоянии от оси Ь привеса должен быть присоединен к физиче- в скому маятнику добзвочный груз, чтобы период качаний маятника не изменилсяр Отвези На расстоянии приведенной длины ~йг физического маятника. К задаче зт.зг . 37.37 (1012). Круглый цилиндр с массой гИ, длиной 21 и радиусом г=г16 качается около оси О, перпендикулярной к плоскости чертежа, 10* Как изменится период качаний цилиндра, если прикрепить к нему 85 на расстоянии ОК= — ! точечную массу ту 72 Ответ: Период качаний не изменится, так как точечная масса добавлена в центре качаний цилиндра. 37,38. Найти уравнение малых колебаний Ю однородного диска весом Р и радиуса г, совершающего колебания вокруг горизонтзльной оси О-, перпендикулярной к его плоскосгн и отстоя"4ь щей от центра тяжести С диска нз расстоянии ОС=с!2.
К диску приложен вращающий момент т,ю причем тьрл тчсйпр1, где т„и р— к, „, зт,мь постоянные. В начальный момент диску, нахо- дившемуся в наинизшем положении, была сообптена угловая скорость ю,. Силами сопротивления пренебречь.
Считая колебания малыми, принять з1пгр~гр. Ответ: 1) При Р Ф )7 Ф = ~юз ) з1п л!+ Г2д ! / Ьр Зл~,вя — рз + — ьйпр1, где 7г= г17 —, й =- —; и, Г2я 4ягль Зя — ря ' г17 Зг ' ЗРгт ' 2) при Р= р -згр= — !юз+ -!з1пр! — --1созр1, Г2д 1/ 61 . Ь 3 р ~ йр7 2р где 6=в 4яль ЗРгз ' 37.39 (1013). В сейсмографах — приборзх для регистрации землетрясений — применяется физический маятник, ось подвеса которого образует угол а с вертикалью. Расстояние от оси привеса до центра тяжести маятника равно а, момент инерции маятника относительно оси, проходящей через его центр тяжести параллельно оси привеса, равен тс, вес маятника равен Р. р Определить период колебаний маятника. с / л,гс+Р~~ Ответ: 7'= 2п )7 Рва з1в а ' 37.40 (1023).
В зибрографе для записи горизон- тальных колебаний фундаментов манин маятник ОА, Ф состоюцнй из рычага с грузом на конце, может ка--х чаться вокруг своей горизонтальной оси О, удерживаясь в вертикзльном положении устойчивого равновесия собственным весом и спиральной пружиной.
к ьальче зт мь Определить период собственных колебаний маятника при малых углах отклонения, если максимальный статический момент веса маятника относительно его оси враьцения Ой = 4,б кГсм, момент инерции относительно той же оси 2=0,03 кГсмсекз, коэффициент жесткости пружины, сопротивление которой пропорционально углу закручивания, равен с = О,! кГсм; при равновесном положении маятника пружина находится в ненапряженном состоянии. Сопротивлениями пренебречь.
Ответ: 7=0,5 сек. 37.41 (1024). Виброграф (см. предыдущую задачу) закреплен на фундаменте, совершающем горизонтальные гармонические колебания по закону к=асйн60! см. Определить амплитуду а колебаний фундамента, если амплитуда вынужденных колебаний маятника вибрографа оказалась равной 6'". О!изет; а= 6,6 мм. 37.42. При пуске в ход электрической лебедки к барабану А приложен вращающий момент т,р, пропорциональный времени, причем т,р †вЂ, где а — постоянная. Груз В весом Рд поднимается посредством каната, навитого на барабан А радиуса г и весом Р,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
