Мещерский И.В. - Сборник задач по теоретической механике (1975) (1079972), страница 26
Текст из файла (страница 26)
К задачам 20.9. аа махачам 20ЛО. 20.10. Для изучения движения вблизи земной поверхности тел (самолетов, ракет, кораблей) и приборов, установленных на них, вводят подвижной координатный трехгранник †трехгранн Дарбу. При географической ориентации трехгранника Дарбу ОЬ~ горизонтальная ось 9 направляется на восток, горизонтальная ось 2)†на ') Здесь н в лальаейшем сжатием Земли пренебрегаем. 154 север, ось ~ — вертикально вверх. Определить проекции на оси $, т), ~ угловой скорости трехгранника 0$«)ь, если проекции скорости его начала (точки 0) относительно Земли равны па = вл, и„ = ед, па = О; угловая скорость вращения Земли равна 0; радиус Земли «х. аи, 01лвелп юа= — ф= —— 21 ' ю =(1«'+д) соз«р =~а«'+ — ) соз«р; ю,=(и+)) 211п р= (и+ — "' «12!по.
20.11. Трехгранник 11арбу Охи на поверхности Земли ориенти- рован не географически, как это было сделано в предыдущей задаче, а по траектории основания трехгранника относительно Земли: ось х направляется горизонтально по скорости я« вершины 0 (центр тяже- сти самолета, корабля) трехгранника относительно Земли, ось у направляется горизонтально влево от оси х, а ось а — вертикально вверх. Определить проекции угловой скорости трехгранника Охи, если скорость точки 0 равна и, а ее курс определяется углом «р (угол между направлением на север и относительной скоростью точки 0). Оглзеди ю = Усов«рсоа«Р! ю„ = Усов«р 21п«Р + 0; ю,=(и+),) з«п р+ф=021п р+ — ", Р л зсяию хь' Прасягтил врссяяасрии И(Мс™л пи зсризсисьсяандО «т лсссясссаа Ухи РОЗОЗИН Ч- ис фюю~~ К задаче 20!2, К задаче 2011, 20.12. Трехгранник 11арбу Охеуеге на поверхности Земли ориен'тирован следующим образом: ось хе направляется по абсолютной скорости У точки 0 (предполагается, что оиа движется по поверхности Земли), горизонтальная ось уе направляется влево от оси хе, ось га вертикальна, Здесь )т, У, «р и Х имеют значения, введенные в задачах 20.9 и 20.10, а р — радиус геодезической кривизны траектории (р ) О при ф~О, и р< О прн «р>О).
Определить проекции угловой скорости трехгранника Охауага если составляющие скорости точка О относительно Земли равны . пв н пд. Ответ: м„'=О, м„.= —, м;=(У+1)а|па+0, где гс, У, 1г м А имеют значения, введенные в задачах 20.9 и 20ЛО, вл+ дг осва Т 20.13, Гироскоп направления установлен в кардановом подвесе. Система координат хту,гт связана с внешней рамкой (ось вращения ее вертикальна), система худ скреплена с внутренней рамкой (ось х вращения ее горизонтальна). Ось з внутренней рамки является одновременно осью собственного вращения гироскопа. др Сгзессл~ ~ГсеРеду к заддче яалз. Определить: 1) ориентацию оси г вращения гироскопа относительно географически ориентированных осей Ът~" (см.
задачу 20.10), если поворог внешней рамки (оси у,) отсчнтывается по часовой стрелке ог плоскости меридиана (плоскость ть) и определяется углом а, а подъем осн з над горизонтом определяется углом ~); 2) проекции на оси х, у, г угловой скорости вращения трехгранняка хут предполагая, что точка О подвеса гироскопа неподвижна относительно Земли. Ответ: 1) 2) м„= 1р — У соз у з! и а, м =аснар+ У (сову соз Ф51п р — з!п~ соз р) м, = в з1п р + У (соз е сов ц сбз р + з1 и ~у з 1п р), где У вЂ” угловая скорость вращения Земли, е — широта места. 20.14. В условиях предыдущей задачи определить проекции угловой скорости вращения трехгранника худ, если северная и восточная составляющие скорости точки подвеса соответственно равны ям и од.
!56 ол ом Олгает: ю = р — ~У+' ! соз гр з1п а — — соз а, !1 соз ~р,) !! ов ом вг —— асов!!+(У+ — )(созгрсовав!пр-в!пйзсозр)- ~в!пав!и!), 7! осе ~р) И ю,=ав!п()+~У+ — 1!(созезсовасов!1+в!пгрв!п5), Ясоз~р г где Й-радиус Земли. 20.15 (604). )движение тела вокруг неподвижной точки вадано углами Эйлера: гр=41 зр= — — 21 8= —. Я Д 2 ' 3' Определить координаты точки, вычерчивзющей годограф угловой скорости, угловую скорость и угловое ускорение тела относительно неподвижных осей х, у, ю Отверг х=ю„=2ф Зсоз21„у=юг= — 2)/ Зв!п21, л=ю =0; а=2 !/3 сел-', в=4)/3 сел Я.
20.16 (605). Найти подвижный и неподвижный аксоиды внешнего колеса вагона, катящегося по горизонтальному пути, средний радиус кривизны которого равен 5 м, радиус колеса вагона 0,25 м, ширина колеи 0,80 м, К задаче 20.!в. П р и м е ч а н и е. Колесо вращается вместе с вагоном вокруг вертикальной осн Ог, проходящей через центр закругления пути, н относительно вагона вокруг оси АВ, т. е. вращается вокруг неподвижной точки О. Оглвет: Неподвижный аксоид — конус, ось которого совпадает с осью Ол и с углом при вершине а=2 агс!6 21,6=174'42'.
Подвижный аксоид — конус с осью АВ и углом при вершине !) = 2 агс!и 0,0463 = 5' 18'. 20.17 (610). Движение тела вокруг неподвижной точки задано при помощи углов Эйлера следующими уравнениями: гр=ггг, гр=п~2+ ал1, 8=и/3. Определить проекции угловой скорости и углового ускорения тела на неподвижные оси, если а и л — постоян- 187 ные величины, Указать также то значение параметра а, при котором неподвижным аксоидом тела будет плоскость Оху. Ответ: ю„= — совала, а„="— з!папг ю,=и~а+ — ); Р аи'УЗ . ии'РгЗ 20.!8. Углы Эйлера, определяющие положение тела, изменяются по закону (регулярная пренессия) ф=фв+п11, З=З„ф=фв+пА где фь Зи ф,— начальные вначения углов, а пг и пя — постоянные числа, равные соответствующим угловым скоростям, Определить угловую скорость а тела, неподвижный и подвижный аксоиды, Ответ.
1) ш = !' и! + п) + 2п, и, соз Зй 2) неподвижный аксоид — круговой конус ча+0' —. и; 'в1и' 0, — „ь =О с осью ь и углом раствора 2агсзш и, ил в, (и, сов за + и,)" И 3) подвижный аксоид — круговой конус х'+ у'— и)нп вп я и, Ми в„ ,з =О с осью и и углом расгвора 2агсз1п — ". (и, ст 0, -)- и„)' и ГЛЛВЛ Л1 СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ф 21. Уравнении движений точки 21.1.
Определить уравнение прямолинейного движения точки, скла. дывающегося из двух гармонических колебзний: хт=2 соя(л1+л/2), хв=Зсоз(лг+л). Ответ: х = )/13 соя (лг+ а), где а = агс12 — = ЗЗ'40". 21.2. Барабан записывающего устройства вращается равномерно со скоростью юв сел Л Радиус барабана г. Самописец соединен с деталью, движущейся по вертикали по закону У = а 2!П Юф.
Найти уравнение кривой, которую запишет перо на бумажной ленте. ев,х Ответ: у= аз!вы — —. евг К ввдвее 2!Д К ввдвее 2!.2 21.3. При вращении поворотного кранз вокруг оси 0202 с постоянной угловой скоростью ю! груз А поднимается вверх посредством каната, навернутого на барабан В. Барабан В радиуса г вращается с постоянной угловой скоростью ю . Определить абсолютную траекторию груза, если вылет крана равен в1.
159 Ответ: Бинтовая линия, уравнение которой х=с)соз — —, у=!124п —. —, еаа а а!а 2 гаа Г ' 042 ось х проходит через ось 0,0, и начальное положение груза, ось л направлена вверх по оси врагцения крана. 21Аа При совмещении работы механизмов подьема груза и перемещения крана груз А перемегцается в горизонтальном и вертикальном направлениях. Барабан В радиуса с=50 см, на когорый иавит канат, поддерживаю!ций груз А, вращается при пуске з ход с угловой скоростью ге= 2к сек ". Кран перемещается в горизонтальном направлении с постоянной скоростью э = 0,5 !с!сел.
Определить абсолютную траекторию груза, если начальные координаты груза х,=10 м,у,=6 м. Ответ: у = — ' юг +у, = 6,28х — 56,8. ч !472 У1 1 К ааааче 2! 3 К ааааче 2! 4. 215. Стрела АВ поворотного крана вра!цается вокруг оси 0,0, с постоянной угловой скоростью са. По горизонтальной стреле от А к В движется тележка с постоянной скоростью ъа. Определить абсолютную траекторию тележки, если в начальный момент тележка находилась на пт оси 0,0,. Ответ: Траектория — арлимедова спираль ве Г = — гр 4! где г — расстояние тележки о оси вращения, !р — угол поворот крапа вокруг оси 0202. 21.6 (ч17).
Лента прибора, служащего для записи колебательных движений, движется по направлению Ох со скоростью 2 м/сек. Колеблющееся вдоль оси Оу тело вычерчивает на ленте синусоиду, наибольшая ордината которой АВ = 2,5 слг, а длина 020 = 8 см. Найти уравнение колебательного двиягения тела, предполагая, что точка О синусоиды соответствует положению тела при 1=0. Ответ: у -2,5з!п(50пс) ем. 21.1 (419), Трамвай движется равномерно по прямолинейному горизонтальному участку со скоростью о=18 км/час, причем кузов совершает на рессорах гзрмонические колебания с амплитудой а=0,8 см и периодом Т = = 0,5 сек. Найти урзвненне траектории центра тяжести кузовз, если его среднее расстояние ог полотна дороги Ь = 1,5 м.
При 1 = 0 пентр тяжести находится в среднем положении и скорость колебания направлена вверх. Ось Ох направить горизонтально по полотну в сторону движения, ось Оу — вертикально вверх через положение центра тяжести при 1 = О. Ответ: у = 1,5+ 0,008 з1п 0,8пх. 21.8 (420). Определить уравнения траектории сложного движения конца двойного маятника, совершаюшего одновременно два взаимно перпендикулярных гармонических колебания равной частоты, но .разных амплитуд и фаз, если уравнения указанных колебаний имеют вид х = а гйп (Ы+ а), у = Ь (зш юг+ р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
