Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и др математич формулы (1973) (1079637), страница 8
Текст из файла (страница 8)
5!п 30 = 5!п —. » о о б 2 = соя 50 . в!П36' =5!п- =сов54', о 5(п 45 = в[п — =— 4 У2 з!п54 Зи У5+! со536. !О 4 вил 60' =в!п — = —, и У 3 = сов 30'. 3 2 з!П72' =з!п — = . ' =сов 18', о . 2П )'5+)' 5 5 2У2 в!п75' =5[и —,' = = сов 15. о .
Зи УЗ+1 о Г2 2р»2 в1п 90' в!п — = 1 2 = С05 О, 5(п120'=з!п — = —, 2п Уз о 3 2 в(п 240 С05 120 = Соз — = — —, 2п 1 о 2' соз 240 408.01. 5!п х = —. (е(з — е" !"), Где 7 = + 'Р~ — 1, 1 2! Заметим, что в злектротевннческой литературе вместо ! часто употребляется !. 79 416.02) 78 (4!О РЯДЫ Ряды тгигонометгичяские скнкпии 410. х' х' х' жп х=х — 3!+ — — — +. 5! 7! а' = Ь'+ с' — 2Ьс сов А. 410.01.
410.02. х1 х1 хб совх — 1 — — + — — — +. 2! 4! 5! в!пА в!и В зги С 410.03, 410.04. 410.05 ! х х' 2х' х' х 3 45 945 4725 415.04. А „~р(р ) У 410.06. Р — — х (2П) ! [х <л~. [См. 45.[ 41 0.07. 415.05. 410.08. 410.09. [См. 45[. 415.06. [х' ( и*[. [См, 45]. 410.
1О. а' з(и В з!и С ч ормулы для плоского треугольника. Пусть а, Ь и с — стороны, противолежащие углам А, В и С. а = Ь сов С+ с сов В. А + В+ С = л радианов = 180', гйп —, = 6 „, где р = — (а+ Ь+ С). А /(р — Ь)(р — с) 1 А ч /(р — Ь) (р — с), 2 Г р(р — а) А — В и — Ь С 6д — с)к —. 2 и+Ь 2' Чтобы найти с по а, Ь и С при помощи таблиц логарифмов тригонометрических функций, положим а(-Ь С С (86= — (и —; тогда с=(а — Ь) сов — вес6.
а — Ь 2 ' 2 Плошадь треугольника ! — аь ейп С= 2 415.01. 415.02. 415.03. х' 2, 17 1 52 з 18 х=х+ — + — х'+ — х'+=х'+. 3 !5 3!5 2335 2'" (2'" — !) В„ (2и) ! 5 51 , 277 вес х=1+ — + — 'х'+=, х'+ — х + 2 24 720 3054 хзи "° + — "+ ° ° ° (2и) ! 7, 3! свс х = — + —. + — х' -)- — х' + —, х + х 6 350 !5 !20 604 300 + 2 (2'""' — !) (2и) ! и х [х' ( оо~, [х'(-[. [х [См.
45). 415.07. 410.11. 415.08. 410.12 В плоском треугольнике ! п а = !п Ь вЂ” ! — сов А+ (,ь 416.01. [с Ь[, [О ( х ( л[. /Ь !пс — ~ — сов А+ ~с 416, 02. [Ь ( с). [См, 418.[ [О ( х) л[. Если С= 90', то с' = а' + Ь'. Чтобы найти с = — )1газ-(- Ь' и прн помощи таблиц логарифмов, полон!им 186= —, тогда а \ с = а вес 6. Ото оказывается полезным в разных случаях. — сов 2А+...
с' 261 Сч — сов пА+...) ПЬ" — сов2А+... 2с' ьл — „сов пА+ .. ) ис" 'жив в!и (6+х) = в(п 6+х сов Π—— 2! х' сив 6 х' в(и 6 — — + ' + 3! 4! х сиза сов (О +х) = сов 6 — х вш6 — — + 2! х' в!и 6 х1 соз 6 + — + — — °" 3! 4! л, 3!и Зх 3!и Зх 3!и 7х 5 7 4 — — впх+ —,+ — '+ — + чс 7, и!и Зх з!и 5х Постоянная с = — ~в1п х+ — + — + 3 5 з!и 7х + ') 81 е!б.!] Во ]4!в.ОЗ тгигономвтгичвскня екнкнип гяды 416.03. 416,14 416.04. 416.06.
418.18 [ — — <х< — 1 416.18. 416.0]). а а~ 416.17. 418.07. ( ~Ы-~'В и+ + а*в!п 40+ ...) 416.08. 417Л. [а' < Ц. 416.09. 417.2. 418.10 417.3. 416. 11. 417.4. 418. 416. 12. 416.13. х' — и'х = 419.1.' Чс / пх ! Зпх ! 5пх с = — (в!и — + — з!п — + — 5!и — + п~. а 3 0 5 а + — з!и — + ...) ! 7пх [0<к<а]. и сов Зх сов 5» сов 7х - Г п п1 совх — — + — — — + ..; [ — <х<-~ 4 3 5 7 '' [ 2 2~ Вс / сов 3» сов бх сов тх Постоянная с = — (сов х — — '+ — — — +... ) п~ 3 5 7 Вс/ пх 1 Зпх 1 бпк 1 тпх с = — (сов — соз + — соз — соз + ° ) и), а 3 а 5 а 7 а х 2(в!пх — — + — — +,'..) [ — П<х<гт].
в!и 2х В!и 3» в!и 4» 2 3 В х и — 2 (з!пх+ — + — -(- — + ...) Ып2» В!пзк в!Пчх 2 3 В [0<х<2тс]. 4 / 5!и Ъ в!и 5х Мп 7к х= — (в!пх — — + — — — + ...) п~ Зг 5В 7* [ — — ~ха.— ~ и' 4/ 005 Зх сов 5» сов 7х х= — — — (совх+ — + — + — + ...) 3' 5' 7' [0 ах<а] е с05 2» сов Зк сов Вх х =3 — 4(со~к + В + ° ° ) 2' ЗВ 45 [ — п~ х<п]. В,п' 3/ сов Зх сов бх х ='- — -(сов х — — + —— 4 и ~ 3» 55 сов 7х ) [ п п1 В!п 2х и!и Зх в!и Вх 12 (5!их — + — — +...) 2$ ЗВ фа ( — п(х В-п]. в /1 С0525 СОВВ» Сове» пт2 ! 3 35 57 [ ",.:,: ",1. б !в!пяк 2 з со5 х = — ~ — + — 5!и 4»+ — 5!и бх+ ... п] !3 35 57, + ! ц (2 ! !! в!п2пк+ [О < х гг]. 2в!пап ( в!Пх 25!пЪ Зв!пзх з!и ах — 1 — —,+ —, и 1! — О* 2' — а' 3' — а' где а — не пелое число [ — гс < х<Я1.
2ав!пап ! ! совх с05Ъ сОВЗх сов ах. 12 е !В а Р~~ "ах Зг ОВ где а — не пелое число. [ — л ~х~л1. ,*=1+2(а сов 0+ а* сов 20+ а' соз 30+...) 1 — 2а сов В+ а' [а' «- Ц. ,=1+асовб-)-а'сов 20+а'со530+... ! — 2асов В+а' [а'< Ц. ,=в!пб+аз!п 20+ а'в!п30+ ... [а' Ц. !и (1 — 20 сов О+ а') = ак аз — 2 (асов О+ — сов 20+ — сов 30+... ) [а' < Ц, /сов В сов 25 сов ЗВ ° 2 1п ! а ~ — 2 ( — + —,, + —,' +... ) [а' ) Ц.
гх В!и В г'х' В!О 2! г'к' в!и ЗВ ее" в!п Ьх — — + !! 2! 3! 1 где г=]/а'+Ь', а=гсов0 н Ь=гв!пб. !419.2 тгигоиометРические Функции 419 2 ех 0 1 гхсо54, гхххсо526 г х ссе 34 11 ' 3! где г и 0 те же, что и в 419.1. и+1 лп 5!и и 5)п— 420.1. в!п а+ в!п 2а-(- в!п За+... + в!п па = п 5)П 2 429. Подстановки: л+1, лп Ссз — П 5!П— сов а+ соз 2а+ сов За-(-... + сов па = 2 2 и мп— 2 420.2. е!п а+ в!п (а+ 8) + в!п (а+ 20) +...
л — )~,пб зш ( + — б~) 51П— ... + в!п ]а+ (и — 1) 0) = б ЯП— 2 420.4. сов а+ сов (а -1- 6) + сов (а+ 26) + ..; л — 1 ] лб соз ( л-1- — б~) з!и— ... + сов (а+ (л — 1) 6) = б в!и— 2 Если в!п 0 = х в!п (0+ а), то 0+хи=ха!па+ — х'в!п 2а+ — х'в!пЗа-(- ... 2 3 где г †цел число. 421.
[х'(1], 422.1. в!п 0 = 0 ( ! — —,) (1 — —,, ) (1 — —,, )... [0' ~ оо]. 422 2. Со 0 = (1 — —,) (1 —,х,) (! — —,',)... [О' ( оо]. См. также 8!8.1 — 818.4. С!их, вес х, свс х можно заменить Примеча ние. а) Тригонометрические функции — Производные 427.4. 427Л. с) 427.2, 427.5. 427,6. 427.3. 651п х — = СО5 Х, ох аслзХ вЂ” = — в!п х.
с(х о !Нх — =ЕЕС Х. с(х П с1ях 5 — = — СВС Х, х(х дзЕСХ вЂ” = вес х (н х. х)х Х( С5С Х вЂ” = — свс х с!8 х. пх интегндлы Тригонометрические функции — Интегралы При вычислении определенных интегралов часто бывает полезно-строить график поаынтегральной функции. Некоторые кривые, такие как график тангенса, имеют точки разрыва. Вообще, интегрирование не должно производитьси в пределах, между которыми имеется точка разрыва, 1 1 1 соответственно на —, —, 12 и ' с 05 х ' 5! и х г" (5!и х) сов х ох, — использовать (1); г (сов х) 51пх дх, — использовать (2); г (12 х) зес' х дх, — использовать (3).
Из таблицы следует выбрать подходящую подстановку для замены тригонометрических функций алгебраическими и обратно. Так, например, если встречаются только !Нх, мп'х, созхх, следует применять (3). 85 1430. !6 84 ТРИГОнометзичесйие Функции Интегралы, содержащие $1пх 433.!!) 430.50. ннтеггзлы, содезжзщие в!п» в!и хз(х= — — + — — —. 5 соз х 5 соз Зк соз бх 8 48 80 430.60.
430.10. Гб 64 64 )92 430.10!. 430.102. 430.11. 431.11 430.12. [См. 441.11.[ [См. 431,11.[ 431.12, 430.! 3. з!пх созх 1 Гз)плах 2к' 2к 2 ) к 430.14. 431.13 430.18. 431.14 431.19. 430.16. (См. 441.11.[ 431.21 430.19. [См. 440.1 431.31. 430.20 431.9. 430.21 430,22 432.10. 430.23. 430.30 430,31, 432.1! 430.40; 3!и х !(х = сов х. в!и (а+ Зх) с(х — — сов (а+ бх). 1 Ь в!и — ХЬ = — а сов —. а а х$!и ха»=5!и х — х с05х. ~ х' $1п хс!х = 2х в!и х — (х' — 2] сов х.
$ х' в!и'х ах=(8х' — 6) $)п х — (х' — бх) сов х. ~ хзв!п хсЬ=(4хз — 24х) в!их — (х — 12х'+24) сов», ~ х'в!пхс(х =(бх' — 60х'+ 120) в!Пх— — (х' — 20х'+ 120х) сов х. ~ х' в!п х Ых = (бх'- 120х'+ 720») $)л х— — (х' — 30х'+ 360х* — 720) сов х. ~х $!П»с(х= х с05»+гл ) х с0$хдх. $)п хс(х = — — — = В к з!п2х х з!пксозх 2 .
4 2 2 хв!и хс(х= — — —. х' хз1п2х соз 2х 4 4 8 -'[ ) х в!и хс(х= — ' — [ — — -~ 5)п2х —— з ° ° х! /к* ' ! 1 . хсоз2к 6 14 87' /Зхх 3 ч х з!и х з(х — — ' )ч — — — 7! в!и 2х — [ — — ~ сов 2х. соз' к $!и х з(х = — сов х. 3 ° хсоззк .5)пзх 3 3 х$!и хз(х= —, — — хсовх+ — 5)пх, 12 (Выражая в!и'х согласно 404.13.) з Зх з)п 2х з)п 4к в!п хдх — — + — ° 8. 4 32 в)п хз(х — — — + — — + т Зб соз х 7 соз Зк 7 соз 5х соз 7х 64 64 320 448 (Интегрируя выражения из 404.) — — ° з!и к пх ' х' хз ' з' =8! (х)=х — + — — — +... х 3 3! 5 5! 7 7! Таблицу числеииыз значений втой фуикнии см. (22). з)ик созк з)пх ! Рсозхзх — — — — + — — а! —, [См. 441.!1.[ Зк* бх' бк б ) х з)и'к ок ! ! (' соз2х о(2х) з!п хпх 3 ( з)пхпх 1 ( З)НЗх о (Зх) 1"' 1 к 4,) к 4,) Зх [См.
431.11.[ з)и" х пх Выразить $)п"х согласно 404 н интегрировать почлеино согласно 431.! н 44!.1. — = ') свс х сЬ = ! и ( !3 — ( = !+сов х = — — !и — = !и (свс х — с)и х( 2 1 — саек =),(х — — 1! (лямбда-функция). [См. 641 н 603.6,) 2/ См, рисунок на стр. 86. — — — "° хдх х' 7х' 3!х' !27хз з)и к 3 3! 3 5 5! 3.7 7! +3 5 9! + ' ' ' 2(2'" ' — !) ... + (2 +1, В„х'"+'+... [См.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
