Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и др математич формулы (1973) (1079637), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Алгебраические функиии — Производные зЬ У(л-Уи и (а — !) Нзо Д"-зи +л — — + —,— + д)Х З(Х»-1 2) )(Хз ДХ»-З а ! У(зо у) ли иа»о (з-Ф! ! »л ихой" л+ ' ' + ит» и Г 69. 1. а — ~ ~(х) з(х =у'(4) (р — постоя нно). а Г 69. 2. — ) у'(х) а)х = — ~(р) (д — постоянно). кр.) р о о ао 69 3. »т„. ~ У(х, с) ах = ~ ~ хл(х, с) адх+ г()7, с) — — ~'(р, с) л 72. ° Если ф (а) =0 и т)) (а) = О, или если зр(а) = со и ф(а) = оо, то (пп — = —, ф!х) ф' !а) , ф (х) ф' (а)' Если также зр'(а)=0 н з()'(а)=0, илн если ф'(а)=оо и ф'(а) =оо, то ф(х) у)" (а) ф(х)- ф (а) Иа — = — „и т. д, «). ) У ФУ У У У .. д У,))).УЛ д) интегналы, содкгжз!цик Х=а4-Ьх ллгввявичяския Функции 22 $л+ — 11. Если функция имеет вид О', оо' нли 1, то ее надо снзчала логарифмированием привести к виду О оо, а затем О оэ к виду — или —, О оэ 84.
2. 79. Общая формула интегрирования по частям и 5о = ио — ~ о г(и, ! ля и г(о =ио — з! о — г(о. 3 ло Рациональные алгебраические функции — Интегралы ") Интегралы, содержащие х" Г э х' 80. ~ !Ух=х. 81,2. ) х с(х= —. 5+1 81.9. ) х" !(х — — [л~= — 11. и+! хэ 81. 1. ~ х !Ух = —,.
2' 82.1. ~ — =!п(х!. (См. примечание перед 600.) В этом случае нельзя интегрировать от отрицательного значения х до положительного. Прн отрицательном х надо взять !и ! х(, поскольку 1п( — !) =(2й+ !) нц войдет в постоянную интегрирования (см. 400.03). (См. рисунок на стр. 23). Гля ! 82. 2.
) — =— х' 82.3, Гох ! ) х' Зх' 82.5. ') Здесь н далее произвольная постоянная интегрирования опушена. 72. 1. Если функция имеет алгебраическим или О привести к виду— внд 0 оо илн сю — сю, то ее нужно каким-либо другим преобразованием или — , Ф ИнтегРалы, содержащие Х=а+Ьх э Х" +' 83. ~(а + Ьх)э г)х = — ~" Хэ ц!Х Ь(о+ !) 84.1.
) хт(а-)-Ьх)" !)х можно интегрировать почленно после разложения (а+ Ьх)" по формуле бинома Ньютона, если н целое положительное. Когда т целое положительное и если т(л нли л дробт ное, может быть, лучше использовать формулу х- -,(х= .1„1(Х а)-Х«(Х Ьт ы и разложить (Х вЂ” а) по формуле бинома Нвютзнз. ! у У ! Л' ! Рнс. 82!. Графики функций «=!/х (пунктнр- н зя линия) н у= !и ( х) (сплошная линия). 85.
Интегрирование рациональных дробей — см. соответствую- щий раздел в учебниках интегрального исчисления, 89. Общая формула для 90 — 95: (с "хи Лх 1 ( (Х вЂ” а)н г(Х 1 ( ~ч т (( — а)хХи-"-х+' Х" Ьию) Х" Ь~+')~(т — ю!х!(т — и — э+!)) ' 6=0 за исключением т — и — э-1-! =О. В этом случае соответствую. алгквгличкскнв еункции 92. 2 92. 3 92. 4 м. прн 90.3 90. 92.
6 90. 1 92. 7 90. 2 93. 90. 4 Г» — — ))~" ~1 епени Х равен 91, 93. 1 91. 1 93. 2 91. 2 93. 3 91. 3 93. 4 91. 4 93. 3 93. 6 93. 7. 94. 92. 1 щпй член суммы в квадратных скобках должен быть заменен яа т)( — а) -"+' !и! Х). (т — »+!)~ (» — 1)' Все буквы означают действительные величины. При наличии !п)Х! нельзя интегрировать на интервале, содержащем точку Х О.
Если Х вЂ” отрицательная величина, то надобрать !п(Х(, так как 1п( — !) ~(2Ь+1) и! войдет в постоянную ннтегрнрования. Х" (» — 1) ЬХ" (»+1]. Х =-1п~Х]. (С мечанне к 89), йх ! Х Ь нх ! Г ах Х' ЬХ ' ,] Х* 2ЬХ' ах ! Г ° — ° Х' ЗЬХ' 90.6. ,] Х' 4ЬХ' 1 — =-!— хах 1 à — ! а «ГЬ, ГХ- ~Ь( — ЬХ-] (кроме СлУчая, когда какой-лнбо яз показателсй степени Х равен нулю, см. 89). — — ! Л' — а 1п ] Л']]. ха« ! Х. 1'- [- х'ах 1 à — 1 2а а' '- ]. -»'-+ — '-- — '-1 (кроме случая, когда какой-либо нз показателей степени Х равен кулю, см, 89).
1 — -- [- — = — [ — — 2аЛ'+ а' 1п ] Х ]1. х«ах 1 ГХ' Х Ь«]2 Другое выражение, отличающееся на постоянную! х' ах а' щ — —, + ~ 1п ] + 9~]. ннткггалы содкежлщик Х а+ Ьл 25 «ах)Г а"т — « —,! Х вЂ” 2а)п! Х] — — 1. х~. Х Ь«] ЗХ«4Х«ХБ] ' х«ах ! ! ! 2„аг ) хах ! ] ! За х ь ]( — 4)х - +( з)х -* За' а' (» — 2) Х"-' (кроме случая, когда какой-либо нз показателей ст нулю, см. 89). х«а ! ГХ' ЗаХ' Х Ь' [З 2 + За*Х вЂ” а'(п] Х]~— хэ ах2 а«х аа зь гь'+ ь ьг (п(а+Ьх]+сонат.
х«бх 1 ГХ' а'ч — ', = — „[ —,— ЗаХ+За*(п]Х]+'-]. Х! х«ах ! Г За' а' ч х. - — Ьь [ — 3 1 ]Х] — — + — ]. Х 2Х«) ' х'~~х ! Г За За' а' з —,=~[1 ]Х]+ — — + — !. Х 2Л' ЗХ'] ' х«бх ! Г ! За За' а' 1 Хг Ь4 ] Х+ЗХ" ЗХ«+ 4Х']' 1 — '=-[ — — ' — ' .— '~ ° х«г(х ! ! ! За За' а' 1 хгбх ! Г ! За За' а') 1 —.=-[:- х«ах ! à — ! 4а Х Ь«] (» — 5)Х «+ (» 4) гч-4 (»-З)ха «(л — 2)Х""' (» — !)Хз-'~ (кроме случая, когда какой.лнбо из показателей степени п н Х равен нулю. см, 89).
нн при Х клгевеаические ерик!!ии 102. 2] 26 94. 1. 95. 7. 9Б. 8. 100, 94. 2. 94, 3. 94. 4 94. 5 94. 6 94. 7 101. 1. 101. 2. 101. 3. 101. 4. 101. Б. 95. 1 101. 92 101. 93 101. 94 101. 9Б 102. 1. 102.2. 95. 5 95. В -4аХ бавХв Х Ь б4 З х' ах'+а'х* а'х+'в, !п)а-(-Ьх!+сопз1. ~,Л, ! ГХ* 4аХ', в а' х'«х ! (~' 4а -(-ба'Х вЂ” 4а'!п! Х! Х1 х =и!з х*ах 1 ГХ' 4ах-(-ба'(п! Х!+ х — 2Хв1 ° 4а' а' Х' Ьв 'б2 Г''- ~ хизх ! бав 4а' а' 1 ",'= —, ~Х вЂ” 4а (п~ Х! Х +2Х' ЗХ*)' Г'"=-" ~ х' в(х 4а бав 4аа ав хах ! Г 1 ивдх ! Г ! 4а ба' 4а' а' !Оа' !Оа' (л — 4)Хи '+(и — 3)Х" г в а (и — 2)Хи '+(и — 1)хи-'~ (к оме случая, когда какой-либо из показателей степеня прн Х Р .
равен нулю, см. 99). х'Лх ! ГХ' баХ' 10а'Х' 10а'Х'+ 5, вХ в !! ~ Х!~ Х Ь (б 4 3 2 а'х' а'х а' = ЗЬ 4Ь* ЗЬв 2Ь» Ьв Ьв = — — — + — — — + — — —, (п ! а+ Ьх! +со! 10а'Х' ав1 ~ хв ах 1 ! ~х баХв 10авХ а ! 4 — — + — 10а Х+Ба !п! Х!+ — 1. Хв Ьв(4 3 2 бав ав-! Г„.=-,. 7 — =, $ М-'1. !Оаа бав ав х =ь ~2 Бах+!Оач(п(Х!+ х 2Х +зх.! 1"'-' [ Хв = у ГХ Ба(п! Х! Х + 2хв Зхв+ 4Хв"!.
хв Лх Г'"--'~ х'Лх ! ба 10а' 10а' ба' а' Х' Ь' ~ ! ! + 2Х1 + Зх' 4Х'+ 5Х'1 интвггллы, сода жащия Х=.а+Ьх х'Лх 1 ! 1 ба 10а' !Оа' 5а' а'1 Х' Ьв 'б Х + 2Х' ЗХ'+ 4Х' ЗХ'+ бхвЗ' ивах 1 Г 1 5а 10а' 10а' бав а' 1 Х Ьв ! 2Х + ЗХв 4Х4+ ЬХв бхв ' 7Хв~' Общая формула для 101 — 105 Х и+и-в х т+и-в — 1 Г 'Си (т+и — 2) ! Хи-в-'( — Ь)в ам+и ' ! х.ы (т+л — з — 2) ! з 1(т — з — 1)хи кроме т — з — ! =О, когда соответствующий член в квадратных скобках заменяется на (т-(- и — 2)! т, !Х ~ (т — 1)1(и — 1)! ! х '+ + ах 1 Г ! Х ! 4Ьх бавхв 4Ь'хв Ьвхв1 — = — — ~!и ~! — ~+ — — — + — — — 1. хХ' а' Г ! х (+ Х 2Х' + ЗХв 4хв1' Другие выражении, отличающиеся на постоянную: дх ! ! ! ! 1 (Х вЂ” =,— + — + — + — — — !и ~ — ~.
хХ' '4аХ4 За'Х' 2а'Х' а'Х а' ~ х (102.9 ! 29. 9) иитагеклы, солВРжкглиВ Х а» + хх АЛГВВРАИЧВСКИВ ФУНК!(ИИ Не этой странице Х=а+Ьк. )а Ф с! 102. 3. 102. 4. 111.2 102. 91 102. 92 112. 112.1 102. 93 112.2 102. 94 103. 1 113. 113.1 1ОЗ. 2 113.2. 1ОЗ. 3 104. 1 120. 120.01 104. 2. 120. ! 103. !. 120.2 120.3 110. 120А 120.9. 110.
1* Х бак 4Ь»к» Ь'х'1 хеХ» —— — аг ~х — 401п ~,— х~ — Х -)- 2Хе — ЧХ Другие выражения, отличающиеся на постоянную: 1й=— — + — + — + —,— —,)п 1 — '= — ~ — — — -~Ь !" ~-~1 = ! Ь Ь' !Х 2ах' а'х а' ~ х Пх ! Г Х» 4ЬХ, » ! Х ! 4Ь'к Ь»к»1 х'Х' а' )2х" х + —,— —,„ ~х~ с х'Х а' СЗк* ах'+ х 1 х (З =. — — + — — — -(- —, )п ~ — ~ + сопя!. Зах' 2а'х' а'к а' ! х — -- ." —" — ' — ' Ь к'Л 4ах» За'х* 2а'х' а х а Интегралы, содержащие линейные множители =х+(а — с)!и! с+х(. (с+х) = — + — ! п) с+ жх).
(с+йх) л Если а с, см. 90.2. ! ! (с+дх ! (а+(х) (с+ах) ас — с! ) а.).)к ~ )ай ~ с/!. Если ад с), см. 90.2. хг(х 1 — (а!и ~ а+х( — с 1и', с+х!), —. ° » )~.— * — '"~.—.~ ° ха» с (а+х) (с+х)' (а — с) (с+к) (а-с)' ~с+х !' х' г(х с' а" (и-(-х) (с+к)' (с-а) (с+х) + (с-а)е ' +' + сх — 2ис + —,)п(с+х(. г(к (а+х)" (с+к)э (а-с)' (а+к + с+ к/+ (а — с)' ~ с+х ~ — ( — ) !+~. — — — -' ~+ ~. (а+х)' (с+х)' (а — с)х 1(а+х+ с+х) + (а — с)х ~ с-(-к ~ Интегралы, содержащие Х= х ! х ах (-(-х' а"с(3х (сэг РисУнок на стр, 30), ак — = — агс(3 — „ а'-)-Ьххх аЬ '(х Г ах ! 7 ~ —, — агс(д —. а а'+кэ а а ° ак к Х вЂ” + — агс(2 —.
2а»Х йаэ Хэ 4а»ХТ + За»Х + 6 4 агс( —, а' а 2» — ! Г ((+Ь'к')»ы 2па'(а"+Ь'к)» + 2, е ) ( е э Зо 1121 ллгквяличяския агнкцни 12!. Интегралы вида х444Ы 4(х (а' -4- хх)" Г ххах х' а' !23.1. ~, — (пх. х а44 ДХ т (а4.4 х)44 123.3. ! — = — — + —, Г х44)х ! а Х' 2Х 4Х" Г хЧх ! а* 123.4. ! — = — — + — . Х4 4Х' ВХ' хЧх а'х бх 8 х — = — — + — агс)3 —; Х' 4Х' ВХ Ва а ' 124,3. 124.4. а'х' а' — — + —,)пХ. 2 2 125. 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
