Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и др математич формулы (1973) (1079637), страница 9
Текст из файла (страница 9)
43.) [132. 12 36 434.05) ТРиГОнйметРичеСкие аункнин интегралы, содержап(не а!и х 432.12 432.90. 432.19 ! (л — 1) (и — 2) Мпи 'х Х 1(Х в!пих Х СОВ Х (л — 1) в!пи 'х 432.91. [л »2[. 433.01. 433.02. 433.03. 433.04. 433. 03. 433.06 433.07. 3Х Г вЂ” = [ СВС Х17Х= — С!ЯХ. в!п*х= [ 432.20. Х 1(Х вЂ” = — х с!д х -(- !п ! РЗН х [. ап' х 434. 01 434.02 [См. 432.11.1 434,03 432.40. 434.04 432.41.
432.50. [См. 436.6.1 434. 03. 432.21. 432.30. 432.31. -- ° х г(х к х' 7х' 31Х' !27х'и — = — + —.+ —,, +... + — "+ ° ° ° в!пх 2 43! 365! 387! 5.5.68! В х'"+'-)- .. [См. 43.[ (2л + 2! (2л)' Г. Х~1(Х ! Ю юпх ' —. Разложить — согласно 413.06, умножить на х в!о х и интегрировать [гл) 01. Рнс. 432.!О. Грвфнкн функпнЕ у свсх (птнктирная х линия) н у=)п ~!д — ~ (сплошнак линни!.
2 Г = х1(х хсовх 1 ! Гх1(х в!и' х 2 в!п' х 2 в!п х 2 ,[ в!и х ' йх сов х 2 с!Е' х — — — — — с10 х = — с!3 х — — . ан'х Зв!и'х 3 3 х 1(х х сов х 1 2 2 Мп' х 3 в!и'х 6жп'х 3 — — — — хе!3х+ — !п [ Мпх[. 3 Их сов х 3 сов х 3 ! х в!Ив х 4 Мп' х 8 в!и' х + 8 ~ "' 2 Г 1(х совх 4 совх 8 432.60. 0! —. = — . — — —., — — с!д х. ,) в!и'х 5 в!и'х 15 Мп'х 15 и сов х л — 2 Г 1(х — = [ свсихг(х=— и-1 + [ . и-в в!Них,[ (л — 1) в!пи 'х л — 1,[ Мпи 'х [л )1[.
=хе!3 ( — — — ) +2 )п~ в!и( — „— — ) (. 1(х ! . ['3 в!и' х — 1 = =асса!и 1+Моих „/-2,в!п х+! ) 30 440 14)* 436.6. [434.00 интягяалы, содяяж51ция сов Х тяигономятяичяскиа аункпии [См. 442.20,[ константу. дано 1 [ У 61 — а' !я х+а [ 2а УУ вЂ” а* [ Уах — а*!ях — а) Если 0*=а', см.
434.06. 436.7. а!я — +Ь , агс13 [а' > Ь'[, а !я —, + Ь вЂ” УЬ' — а' 2 )п Р Ьь — а' [Ь',= а*[, 437.1, а !я х +5+ Уь:а 2 437.2. — 2 а1я,— +Ь '2 ° = Агй 437.3. 437,4. 440. 13. 440.14. 434.06. ~ —., [ — = !3 х. ах р ах ! — 5!П Х СО55 Х 435. ' ~з!Пглхз!Ппхдх= 5!п(т — л) х в1п(я+и) х 2 т — л) 2 (л1+и) [т'Фп'.
Если аг'=п', то см. 430.20.[ [[Ь' ) а', ~ а (3 — + Ь ! ~ $ Ь' — а*~, х — 2 а!д — +Ь 2 Агс!)! ~' " 1'"-"+'! ""'-"1. Полыптегральная фупяння обращается и бесконечность (еслн Ь5 > а) прн х=пп+( — 1)" агсв!п ~ —— Ь,' 436.01. ° 1 1 а+Ь 5!и х Ь Ь ) а+Ь 5!и х' 436.03.
° 1 ах Ь сов х а (' 1!х (а+Ь 5!Пх)' (а' — Ь') (а+Ь 51п Х) а* — Ьх) а+а 5!п хх 5!пхах асовх Ь ( ах 436.04. (а+а в!их)' (Ь' — а') (а+Ь 5!п х) Ь' — а',)'а+Ь 5!их' [К 436.0! — 436.04 см. 436.00.[ 436.5. ах 1 Уах+Ь5 10 х агс13 о'+Ь'в!п'х а Уа'+Ь' а 440.10. 440.101. 440.102. 440.11. 440.12. Когда а=Ь=1, — = агс13 (р' 2 15 х). 1!х ! 1+в!п' х У2 Другое выражение, отличающееся иа в 434.05. 5!ПХ1(Х ! .
П1СО55 = — — агсв!п У1+пР5!П1х щ У!+пи — — ° «-К1- 'ы*!. ) 1 — л1'5!и'х ~ (в!п х) )г 1 -)- лг' в1п' х 12х = Сав Х вЂ” — 1 + гл 51п х 2 агсв!и 1+ л1 21п У! +ги~' (5!Пх) 1 — гл з1п хс(х= — — $' 1 — га в!п х— СО5 х l 2 — — 1п [ гл сов х + У1 — гл' 5! п* х [. 2л! Интегралы, содержащие совх сов х 1тх = 5)п х. сов (а + Ьх) 12х = — в(п (а + Ьх). ! Ь х х сов — 5(х а в!п — .
а а х сов х 1(х = сов х+ х в!п х. х* сов х !ух = 2х соз х -1- (х' — 2) в!п х. х сов хг(х= (Зх — 6) со5х+ (х — 6х) 5!их. ~ х' сов х 1(х = (4х' — 24х) сов х + (х' — 12х' + 24) в!п х. 442.3!1 91 1440. !3 тРигонометРические Функции интегРАлы, СОНРРЖАО5ие созх С05 Х Г(х Ха 440.15. 441,14 440.16 С05 Х С!Х ! ~ 5!и х а)х С05 Х 441.19 440.19 440.20 442.10.
440. 30. [См, 640.] 440.31. 442.11. [См. 45.] соз ха)х= — + — + —. Зх яп 2х 5!и 4х 8 4 32 440.40. 442.12. + — + —. 5 5!и х 5 е!и Зх 5!и Зю 8 48 80 [С . 45.] 442.19. — = ] яес хаз'х= !Их. ПХ Г соз' х 442.20. 441. 11. — — х!6х+1и ~созх!. хпх С05 Х 442.21. 441. 12. 441.13. 442.30 [См.
431.11.] [См. 441.11.] 442.3 ! [См. 442,11.] 440.21. 440.22. 440.23. 440. 50. 440.60. 440.70. х 005 хазх= = (бх' — 60х' -)- 1 20) соя х + (х' — 20х' + 1 20х) я п х. х' соз хатх =(бх' — 120х'+ 720х) соя х+ +(х' — 30х'+360х' — 720) ип х. х соя ха(х=х япх — лз] х'" '5!Пхс(х. [См. 430.] х 3!п2х х 5!пхс05х СО5 Х аЗХ = — + — = — + 2 4 Х Сая Х 5(Х вЂ” + а х' хз!п2к соя 2х 4 4 8 + — ° х соя х а(х = —.
+ !т — — — ] 5! п 2х+ —.' х' /ха ! 1 Х С05 2Х 6 А4 87 4 а а ха I х' Зх1 /Зха 3 т х соз х пх = — + [ — — — ) з!п 2х+ ~'~ — — )соя 2х. я!и' х СО5 Х ЛХ = Я!П Х вЂ” — . 3 х з!п Зх сазЗх 3, 3 хсоз хс(х= +, + — хя!пх+ — созх. !2 36 4 4 (соз'х выражается согласно 404.23.) бх !55!П2х 35!П45 Мпбю, -5+ +, +'„, 16 64 64 соа хс(х= — + — + + —. 35 5!и х 7 з!и Зх 7 з!и 55 яп 75 64 64 320 448 (Интегрируется выражение из 404.) Соз Х Лх ха ха ха х — =!Н)х( — — + — — + ..
2 2! 4 4! 6.6! Таблнцу численных значений см. (221. созха(х с05 х 5!пх ! ( с05ха!х х' 2х' 2х 2,] х 441.2 !. 441.31. 441.9. соах Мпх соя х ! ('з!Пха)х Зх' Ох* Зх +6) х [См. 431.11.] х (ал — !) х"-' — 1 ! С05 ХЛХ ! — = — 1п ) х ) + —, ] ! Рсо52хп(2х) х 2 2] 2х [См, 441.11.] соз хлх 3 ( соя ха)х ! ( соззх Л (Зх) ° [С 441 11 ] — + ~ х 4) х 4) Зх Иыразпть соз" х согласно 404 н интегрировать почленно согласно 44!.!. — = ~ яес х и!х = (п ! (6 ( 4 + 2 ) 1 1п ( яес х+ !6 х ) = 2 (п ! 1 1+5!П Х Л (х) (лямбпа-функция). х с!х ха ха 5ха 6! ха ! 335хаа + . +, +, + . + созх 2 42! 64! 86! !08! Е Хап+а ' ' * (2л+ 2) (2л)! хас!х х' х' Зх' 61х', 1385хн — =-,+ — + — '+ — + —.+ "° созх 3 52! 7 ° 4! 96! !1 8! Е х'"+' а 1 (2п+!) (2П вЂ” 2)! х а)х ! —.
Разложить — согласно 415.05, умножить на х" СО5Х соя х и интегрировать [т ~ О]. — + ~ ха)х хяпх 1 ! ('Ха!х 2005'х 2005 х 2 ] соз»' 92 (442. 40 442.40. 444.06 442.41, 442.60 444,06 теигономятгичяския еьнкции 4(х 51п х 2 124 х 4 + гаях гя + сов4х Зсоььх 3 3 х1!х хв!пх ! 2 2 3 х 6 +З «3«+З )~)~~~~4' 446.6 Ц 444.04. интегьллм, солегжлшии сов х соь«4(«! х 1 5 х — с(3 — — — с13 —. (1-сов х)* 2 2 6 2 [См, 446.6.1 [См. 432.20.[ 442.90, ах О+Ьсоьх 446.00.
[и > 11. х 2 (а — Ы !ив 2 = — агс(3 [аь > Ь41 [а>21. (Ь вЂ” а) !д — + Р' ь* — а! 2 [Ь'> а*[, 443.0! (ь — а) !д — — 3 ь' — ' 2 443.02 443.03 443.04 443.03 443.07 446.01 ' 443,08 446.02 444.0! 444.02 444.03. 446.03 446.04 — ° 1!х в!и х 4 51п х 6 сов'х 5 соь'х 15соььх !5 + — — + — (3 х.
ах Р— = 0! вес" х ах сов" х в!п х и — 2 ах ° а (и — 1) сов" '«+и — ! З сони ь» ~ «4(Х хе!их 1 + (и†!) сохи-' х (и†!)(и 2) сов»-ь „ ах Х м« 12— !+сов х 2 ' 4« .в *» — с(3 — . 1 — соь х 2 ' „=х(6 2 +2!и ~сов х ~. Х 4(х Х ! х — = — хс(2 — +21и ~в!и-~, 1 — сов х 2 СОВ Х 4(Х х — 12 — ° 1+ сов х 2 ' сов х ах х = — х — с(3 —. 1-С05 Х 2' ,) совх(1+сов«) ~ 3 ( 4 + 2) ! 3 2 ' 3 сов х (! — сов «) ~ 3 ( 4 + 2 ) ~ с 3 2 ' 4(х ! х 1,« (1 +сов х)' 2 3 2 + 6 (3 2 ' 1 х 1,« — — с13 — — — с!2' — . (! — соьх)* 2 2 6 " 2 ' сов х4(х ! х 1 (!+сов х)' 2 2 6 2 ' в!и (т —.и) х 5!и (т+ и) х со5 тх сов ихьгх — 2( ) + [т' 4 и'., Если гн'=и', то см. 440.20.] 2 (Ь а) !Ив 2 Агй [Ьь > а', ~(Ь вЂ” а) 13 — ~ » )/Ьь — а'1, 2 (Ь вЂ” а) 12— Агой 2 ь' Ь'-а' )У4 Ь' — а' ~ Ьь > аь ](Ь а)(3 ) > ььг~ь аь1 Подынтегральная фуннпня обращается в бесконечность а '1 (еслн Ьь> а') ири «=2иа ~ вгссо51 — — ) .
Ь г' ' 005«ах х О ( 4(х а+Ь сов« Ь Ь,) а+Ьсовх' Их (а+Ьсовх)соьх О ! ( 2 4 ) 1 а,) а+Ь сов х' ах Ьв!пх О (' ах (а+Ьсоьх)' (Ь* — а) (а+Ьсовх) Ь'-а') а+5 сов«' 005 Х 1ГХ О Я!П Х Ь ( (а+Ь сов «)' (а' — Ьь) (О+Ь сов «) а' — Ьь,) а+0 сов х' [К 446.0! — 446.04 см, 446.00.! 95 431.4!1 !443.2 94 тгигонометгические Функпин 5!П " Х 5!п хсовхс!х=' т+! [т+ — 11. !При т= — 1 см.
453.11.) 450 а31. 446.2, 450.9. [и)0]. При а=Ь=! 446.6. — ~3. ах =1п !!3х . БШ Х СОВ Х 446.7. + а!х 1 ! х + !п !1: БП! х сова х сов х ! л 2 !' = — + !п !!3х[, ах ! ! ! ! х = — + — +1п !!3 — !. ЗСОББХ С05Х 2 дх 5!П Х СОВ' Х агх жп х спв' х дх б!П Х С05 Х ! 4 сов'х 2 совах+ 450. 11. соь' х 3 * в!п х соя' х с!х = 5!П Х СОВ'Х иаХ= сип х сов" х !ух= 450.12. С05а Х 4 дх ып' х соь' х 450.13. 450.19. 450.21. сов" +' х Л+! 5!П Х 3 5!П Х С05 Х б!Х = 5!п'х соь'х с!х = ах 510 Х СОБ Х авх Б!П Х СОБ Х ах ып' х сов' х агх 51П' Х СОБ Х = — — +1п )!3х[.
1 460.22. 451.32. 461.33. 451.41. 450.23. 351п х ! ~(4+ 2)!' Б!П Х 5!и х с05 х атх = —, 4 450.31. — — — й-! 1 ах 2 П +Ь| а'+Ь' — 2аасовх !аа — Ьа! [!а — Ь! 2 [ агс!3 ~~~ — ! !3 -, 1 [и + Ь[. [См. 446 00 1 авх 1 а!ах агс!я = , аа+Ьа сов'х а Ьги'+Ь' Ьга'+Ь' Другое выражение, отличающееся па константу, дается е 444.05. с!х ! а!Пх агс!3 си — Ь' соь'х а Ьги' — Ь' 1' а' — Ь' [а') Ь', и)01, ! !а!ях — г' Ь' — а' !П ' 2а ЬЛЬ' — и' 1а !их-!- Г' т' — а' [Ь')аа, и.л 01. Если Ь'=а', см, 444.06.
Интегралы, содержащие в!Пх и совх 5!П Х С05 Х 5!П Х СО5 Х иах = — — + СОП51.> 2 соь 25 — + сопя!, 4 51п х с05 х с1х= + 3 51п х. а 5!и хСОБ х '2 . а 451.11. 451. 12. 451.13, 451.14. 451.15. 461.19. 451.21. 451.22. 451.23. 451.24, 451.31. интяггвлы, содггжлпгие в!Пх и совх в!п" х сов' х вгх = Б!П + ХС05 Х Л 1 Р т+л + [ ЯП ХСО5 Ха!Ха т+л,[ Б!Па-' х сов" +' х т — '1 Р + и! 5!и" ' х сова х игх !Л + Л Л! + Л [т+ — л; см. 480.9[. [См. такаяе 461.[ п Пх (л 1! сов х ! 5!и х сов х [~1.
авх = — 2 с!3 2х = !д х — с!д х. ЫП Х Сов Х 2соьах в!пх+ 2 ! 3(4 + 2)!' их ! 3 св3 2х. ып'хсов'х Зыпхсоь'х 3 1 совх 3 ! х! = — — — + —,1П ! !д — !. 25!и'» 2 [ 2 [ 2 сов 2х = — + 2 1и [!я х !. 433.241 тгнгонометгические етикции ннтегтлиы, содегислшнв 5!Пх н созх 343!.91 451.91 4Б2. 34. 451.92 452.36. 451.93 452.39. 452.41. 452.7. [п) Ц, 452.8. 452.11 4Б2.12 5!П Х 3(К С05 Х 462.9. 5!П»+! Х л3 — л+2 ( 5!и к 3(х Л вЂ” 1,) СО5'-'К [п~ Ц, (Л вЂ” !) С05» Х з!п»-! х 4Б2.13 + ла 1 ( 5!и ахй3 »3- Л,) СОЗ» Х [лз+ а[, [пФ Ц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
