Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и др математич формулы (1973) (1079637), страница 13
Текст из файла (страница 13)
4 3 2 )п[хз — а'! в/х х!п) х' — а'[ — 2х+а)п~ — ~. 624.1, ~х1п)х' — а*[мх= — [(х' — а')!п[х' — а'! — хв!. 2 х' 1» ) х' — а' [ 4)х = — )х'1п [ хв — а' ) — — х'— ! ~... 2 =3 ! — 2ха'+ а' !п ~ — ~ 1. ~ Х' 1П [ Хв — а' ! 4/Х вЂ” )(х — а ))и[х — а [ — — — х а 1. ! Г в в в в х зх1 2 х'1и) х' — а') 4(х= — )>х' !п[ х' — а') — х'— в в в ! [ в в з 2 в — — х а — 2ха -1-а 1п~ — ~).
в 3 в в !х+а 1 3 1» — а х'1п! х' — а'! 4!х — ! (х' — а') !п! хз-ав!— ~ ° 6 [ хв хва — — — — х'а'З! 3 2 х')и [ х' — ав) в/х — 1 х')и) хз — а'! — — х'— г — - х а — х а — 2ха + а )п ~ — ! 1. и !х+а!1 5 3 !» — а!3' (х' — а') 1п [ х' — а' [— [' ' кв ква> »гав — — — — — — х'а'1 4 3 2 Вти же выражения могут применяться я интегралам типа кР !и (аз хв) ак. ИНТЕГРАЛЫ И и т е г р а л ы, с о д е р ж в нк и е г = (х'+ а ) 5 Здесь всюду г > О. ~ )п (х+ г) с(х = х 1» (х+ г) — г. [См.
730.! /х' а' х хг х !» (х -1- г) 4)х ~ — + — ) 1и (х+ г') — —, [См, 730.1.! (в2 4) 4' х' а'г х')и (х-1- г) 4)х = — (и (х-1- г) — — + — . [См. 730.2.) 3 9 3 Х'1и(Х-1-г)4(Х ~ — — — ) 1»(Х+г) — — + — а хг. ') /х' Зав'> х'г 3 з ~4 32) !6 32 [См. 730.3.! к' '2 з, а'г х41п(х+ г) 4/х = — !п(х+г) — — + — а г' — —. 5 25 15, 5 [См. 730 4.
«г+' ! Г хг+'ах хг)п(х+ г) в/х = — !»(х+ г') — — )— =и+! +!1 [р~ — 1). (См. 201.01 — 207.01 и 730.9.) х ! х' 1 3 к' 1 3.5 «в а 23 ° За' 2455аз 24677а' 1 / 2»1> 1 а' 1 3 а' ! 3 5 а' — ~1» — ) — — — + — — — — -+ ... [х/а» !!. 2 ~ а ) 2> хз 2 4' х' 2 4 6' хв [х)а ( — 1), [См. 731.1,! >ух = — — — — 1» ~ — ! > Тде г = (к«+ а') г>, !и(к+г) 1и(к+г) 1 1а+г! хз х а ~ х [См. 731.2.! !и (х+ г) !и (х+г) кз х(х 2»з 2авк ° — — [См.
731.3.! !и (х-1-г) !и (»+ г) 1 Г ах — х)х = — + — а! — „ ХР = (р=!)кг-> л-13 кг- г [)г Ф1). [См. 221,01 — 226.01 и 731.9.! 128 [627 ЛЯМНДЛ »ЗУНКЦНЯ Я ГУДЕРМЛННЛН Здесь всюду з> 0 627. 627.1. [См. 732.1.[ [См. 732.2.) 627.2. 627.3. к'з 3 — — —" а'хе 16 32 [См. 732.3.) 627.4. 627.9. [См. 568.1.[ 628.1. 628.2. 628.3. 642.3. !)! х = з!п б. 628.9. 642.5.
— = зес[чх. акд к 4» 630.1 ° логзенемнческнд Функцнн Интегралы, содержащие з=(х' — а')5 ~)п(х+е)е(»=»[и(х+е) — з. [См, 732.) х)п(х+ з) !Вх= ! — — ! !П(х-[-зу — — "'. 1 2 к' х*)и (х+ з) и!х= — [и(х-[- е) — к — ' — '' =3 9 3 ' а !'к' За! ! х 1п (х+ з) 4(х лл ~ — — — у1! п (х+ з)— *к 4 32 У х 1П (х+ 6) !Вх= 5 1п (Я+ е) — — -б и е 25 !б 5 [См, 732.4.1 кг ю Ха[и(Х-[-Е) !ВХ»л — !П(Х+ Е) — — [ — [рФ вЂ” !), р+! р4-!3 [См.
261.01 — 267.01 н 732.9.) [ 1 ! ( — + 3/к — 1) !В ! (!п 2 — ) + ! — + ! 3 — + 135 а' + 4 + [Х!а ~ !) [См 7ЗЗ ! ) !П(к+з) !п(к-1-з) 1 ! к з(х . + — агсзес[ — ~ к к а [ а [О -агсзес[х/а[(ВВ/2[. [См, 733.2.[ !п(к+з) !и (к+3) 3 к! 2»! + 2азк ' [См. 733.3.) !п(к-1-з) „!п(к-1-з) ! Г дк [См. 281.01 — 284.01 н 733.9.) [и з(п х е(х = х !и х — х — — — —— к! 18 900 »! 2чл ! 8 ел+! !9843 —" — .(2.+!)! — ' [0( ( 4.
[См. 46.[ [Интегрнруя 603.1.~ = — х1п2 — — — —" — '— "" — ... 2 2 2' 2.3' (0(х л н[. [Интегрируя 603.2.[ к» к! к! 17к 630.2. ) (п соз х !Вх =л — — — — — — — — —...— 6 60 315 22680 2Й» ! (2чл 1) Я [См. 45.[ [Интегрируя 603.3.[ з!п 2к з!и 4» в!и бк — х!и 2+ — — — + —, 2 2*2' 2 3' [х'(и*[41. [Интегрируя 603.4.[ 630.3.
) 1п !ц х В(х = х [и х — х+ "— + — + 9 450 62»! 2»л (2чл ° !) В !»+ Г9845 ' ' и !2п-!.!у [ [0(х(п!2]. [См. 46.] [Интегрируя 603.6.[ 1 1 631.1. ~ з!и [и х !Вх лл — х з!п [п х — — х соя [и х. 2 2 631.2. [ соз )п х дх — х з!и )п х+ — х соз )п х. ! ! 2 2 ел» 632 '[ ел»)их!Вх — еа» !Пх '[ !Вх а а) к Лямбда-функция н гудерманнан /и В! 640.
Если хлл !п!3 !ч 4 + — ) 1п(зесб+!60), то б назнеают гудермзннаном х: б дбх=2агс!зе» вЂ”, 641.*) х нб ' б = Л (б) — лямбда-функция. 642.1. з1! х = !8 б. 642.2. сЬ х =зесб. 642.4. ![т( — ) (6 Я 642.6. — =Весх !г — — (б( — ~ ° Дяб"!» Г !т м 1 4» [ 2 2~' Если имеется таблица В в зазнснмостн от», то можно надавить гиперболическне функцнн по твблнпе трнгойометрнческнд, *) ьа-' означает функцню, обратную судерманнзну, ФОРмувь3 В5ЗЛ! 651.13. 651.14. 652.12.
652.13. 652.22. 652.23. сЬ' х — вЬ' х = 1 650.01, 650.02. сЬ Зх = 4 сЬ' х — 3 сЬ х. вбх= )/сЬ'х — ! (х) 01, !х( 01. вЬх х = — (сЬ 2к — 1). 2 652.3. сЬх= у'1+вЬ'х. !Ь х = вЬ х/сЬ х, й'х+ яесЬ*х=1. с(Ь'х — свсЬ' х = !. 650.05. яесЬх=!/сЬ к. 650.06. сясЬх= 1!вЬ.х. 652.4. сЬ' х = — (сЬ 2х+ 1) ° 2 — — (сЬ х — 1) х -х ! 2=~ 2 — — )/ — (сЬ х — 1) (х>01, (к ~О]. 652.6.
653.!. 2 вЬ к сЬ у = вЬ 2 сЬ х сЬ у = сЬ (х+ у) + вЬ (х — у). (х+ у) -)- сЬ (х — у). 653.2. 653.3. 651.05. 2 вЬ х вЬ у = сЬ (х+ у) — сЬ (х — у). 651,06. вЬ х+ вЬ у = 2 вЬ вЂ” У сЬ вЂ” ", 2 2 653.4. х сЬх — ! й — = — = —. 2 яЬх сЬх+1 сй х с01 у Ь 1 с(Ь (» ~ У) с!Ь у 4.
сй х 851.07. 653.5. 651.08. сЬ х+ сЬУ = 2 сЬ вЂ”" сЬ вЂ” ". 2 2 653.6. с(Ь'х+ ! сГЬ2х= с х 2с(Ь х 653.7. 651.09. 5» 650.03. 650.04. 650.07. 650.08. 650.09. 650.10. 650.! 1. 651.01. 651.02. 651.03. 651.04. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНК((ИИ вЬ ( — х) = — вЬ х. сЬ( — х)=сЬх.
(Ь ( — х) = — (Ь к. вЬ(х~ у)=вЬхсЬУ~ сЬквЬУ, сЬ (х (- у) = сЬ х сЬ у ~ вЬ к вЬ у. йх — вЬУ=2вЬ вЂ” сЬ вЂ”, х — у к+у 2 2 сЬх — сЬУ= 2й — яЬ вЂ”. х -(-у х — у 2 2 65! 10. яЬ'х — вЬ*у=вЬ(х+у)вЬ(х у)=с вЬ' Х+ й' У = сЬ (х+ У) с" (х У) 1 651.12. сясЬ' х — весЬ' х = свсЬ к вес" =,Ь1хсЬ'х' (вЬ х+ сЬ х)" — — яЬ ах+ сЬ "х ! сЬх — яЬх. яЬ х+сЬ х вЬ 2х = 2 вЬ х сЬ х. вЬ Зх=бй х+ 4яЬ'х. сЬ 2х = сЬ' х + вЬ' х = 2 вб' х+ 1 = 2 сЬ' х — ! . сЬ' = 1 — (сЬк+ !) ° 2 в 2 !Ь х .В !Ь у (Ь (к~у) ! .х й х й у Ь ('— ", ") =;Ь"„~,„у~.
2!Ь х й 2х= — ° 1 -(- 1Ь' х ' яЬ(хх у) (Ьх~!ЬУ= сЬхсЬу. пгоизводныв ВВт.е! (ВВЗ.В ГНГ4ЕРЬОЛИЧБСИИЗ ФУНКИИИ 653.8. Сц, 6 вЬ .6 сь х -1- 1 2 СЬ» — ! Фх 657,4. 657 5 657.6 658.1 658,2. 654.6. 654.8. 656,1. 654.7. С(т(!Х) = сов х. ь(!(!х) =! з!их. 658.3. 658 4. + + г! +» ° х' 667,3. — = ьес(в' х. 41х — — = с(г х.
4!Х 667.1, 657,2. С)!х 1 ! ""+х' х' 667.4. — = — сзс 'х. лх — = Ь(6Х. «х 667.2. 6 52 *.!. „.. 3 15 315 2335 4.—..О-' "'И'=.Н « (2лр  — ьесй х 6! х. ех 667.5, 34! С«СИ 6 СЗС(! Х С!(Г Х. лх ~~'( —; сш 45~. 667.6. ьйх — !е — е" ) — ()и х — /1, где 1и" х=е .. 1 „„1 / 6 1 6 « 2 2 ( !и-'х/ ' Такое обозначение напоминает, что значения втой величины могут быть получены обратной интерполяпией из таблиды натуральных логарифмов, чтобы не пользоваться рядом 550, медленно сходящимся при больших х. Обратную интерполяцию можно производить и по таблице десятичных логарифмов, если воспользоваться тождеством !п 'х= =!3 '(0,4343х).
6542. СЬХ=-(е'+е ") ~ (!п 'х+! —; — ). (См. примечание к 654.1.) 4» 654.3. !(вх= « -«вх ° е«.1-6-«66«+1 ° 654.4. СЬХ+ ай х е". 654.5. С)4 х — з(г х е ". йг ( !х) = ! 13 х. ь(г (х ~ !У) вишь(гх сов у ~ ! сй х з(п у. 655.2. с)г(х~ !У) сЬхсозу~ !зЬхз!ИУ. 666.4. й 4„ « 4 4 зп 2х ~ 6 6!и 2у 656.1. ь)вО О. 656.2. С)!0=1. 656.3. 1)10=0. 6 хв 4'«-' В.- . 4« „6 5 в „в! И 1355 веса х=1 — 2!+ а! " ш 5' ( 1) Е„х «+ °,. [Х*( —; см,45! ' '+ (2л)' 1 х 7к' 31х + сьсЬ х — х 5 + 350 15!20 «« (2~~-~ — 1) 6« -6 ! '(х « и 4 см. во[ ° ° ° + (2«)! б лыпил положительных рнх о ,-вх 2(е '" — е - е П н х отрнпательны , а ельных, воспользоваться формулой 1(г ( — х) = — 1(г х.
При х больших положительных П и х отрицат л нательных воспользоваться формулой р с((г ( — х) = — с((г х. и х больших положительных « -6« -6« ьс(гх=2(е — е + При х отрицательн е ьных, воспользоваться формулой ьсЬ ( — х) = ьс(6 х. П и х больших положительных ри сьс(вх 2(е +е +е я м лой При х отрицате ательных воспользоватьс фор у сьс(6 ( — х) = — сясь х. Гиперболические фуикпи р и — П онзводные 134 иитеггялы, содегжхщие сЬх 377.20) (Вто 673.10. 673.11. 670. 673.! 9.
5ЬХ!7«=сЬх. 671.10. 671.101. [ вЬ вЂ” ах=асЬ вЂ”. а а ' 671.11. ах с(Ь'х — =стЬ« —— яЬе х 3 671.12. 67 1.13. 671. ! 9. 671.20. 673. [См. 677.1.[ Гипегволичвские Функции Гиперболические функции — Интегралы Интегралы, содержащие тригонометрические функции, часто можно преобразовать в соответствующие интегралы, сапержащие гиперболические функции, заменяя к на ех и пользуясь формуламн: в)п(ех) =гвЬх, сов((х) =сЬх, (и((х) =!бах н т.
д. [См, 408.10 — 1Ц Эта замена бывает полезна и в других видах формул. Интегралы, содержащие вЬ к х вЬ х е(х = х сЬ х — вЬ х. ~ к' вЬ к г(х = (х'+ 2) сЬ х — 2х вЬ х. х' вЬ х ах = (х'+ бх) сЬ х — (Зх' + 6] аЬ х, х вЬ«Н =х сЬ« — р ~х -'сЬ« 7«. вЬ «е(х — — —. =еб х 4 2 673.20. 673.21. 673.30.
673.40. 673.90. ах г — =* ~ свсЬ«г(х=(п[бь — [=*!п1 — ~ = — — 1п х !е" — !! 1 сЬ х+! хнх 3 2 1ех+(~ 2 сик-! хах х' тхе 31«' )27х' — х — — + — — — + — —... еЬ х 3 3' 3-5 5! 3?.7! 3 5 9! хиах ! ХЬ х — Разложить — согласно 667.6, умножить на хг и ГЬ х интегрировать (р ть О[. ах г ~ свсЬ хг(х с(Ьх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
