Электронный курс лекций (1078552), страница 8
Текст из файла (страница 8)
ïðèìåð9.3). ×èñëî ðàçëè÷íûõ ðàñêðàøèâàíèé (à ðàçëè÷íûìè ñ÷èòàþòñÿòå, êîòîðûå íå ïåðåâîäÿòñÿ îäíî â äðóãîå ýëåìåíòîì ãðóïïû G),äàåòñÿ ôîðìóëîé (10.1):N=1(N (e) + N (σ) + N (σ 2 ) + N (σ 3 )).|G|44Òîæäåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå e îñòàâëÿåò íà ìåñòå ëþáîå ðàñêðàøèâàíèå, ïîýòîìó N (e) = |RM | = 35 = 243. Ýëåìåíò σîñòàâëÿåò íà ìåñòå òàêîå ðàñêðàøèâàíèå, ó êîòîðîãî âåðøèíû 2,3, 4 è 5 îêðàøåíû â îäèí öâåò. Ïîýòîìó N (σ) = 32 = 9. Ýëåìåíòσ 2 îñòàâëÿåò íà ìåñòå òàêîå ðàñêðàøèâàíèå, ó êîòîðîãî â îäèíöâåò ðàñêðàøåíû âåðøèíû 2 è 4, à òàêæå 3 è 5. Çíà÷èò, N (σ 2 ) =33 = 27. Àíàëîãè÷íî, N (σ 3 ) = N (σ) = 9 è, ñëåäîâàòåëüíî,N=1(243 + 9 + 27 + 9) = 72.
4Ôîðìàëèçóåì ñèòóàöèþ ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà. Ïóñòü M ={1, 2, ..., n} ìíîæåñòâî íîìåðîâ ýëåìåíòîâ íåêîòîðîé ôèãóðûΩ; R êîíå÷íîå ìíîæåñòâî öâåòîâ, â êîòîðûå ìîãóò áûòü îêðàøåíû ýëåìåíòû ýòîé ôèãóðû. Ïóñòü σ ∈ n íåêîòîðàÿ ïîäñòàíîâêà. Îïðåäåëèì äåéñòâèå ïîäñòàíîâêè σ íà ïðîèçâîëüíîå ðàñêðàøèâàíèå ïî ôîðìóëå (9.2):S(σf )(i) = f (σ −1 (i)).Âûâåäåì ôîðìóëó äëÿ ÷èñëà N (σ) ðàñêðàøèâàíèé, îñòàþùèõñÿíà ìåñòå ïðè äåéñòâèè σ .
Ðàçëîæèì ïîäñòàíîâêó σ â ïðîèçâåäåíèå íåçàâèñèìûõ öèêëîâ: σ = σ1 ... σk , ïðè÷åì ó÷èòûâàþòñÿè öèêëû äëèíû 1. Êàæäîìó öèêëó (i1 , ..., il ) ñîîòâåòñòâóåò< σ >-îðáèòà {i1 , ..., il }, è ïðè ýòîì ñîâîêóïíîñòü âñåõ < σ >îðáèò ÿâëÿåòñÿ ðàçáèåíèåì ìíîæåñòâà M . Ïóñòü f íåêîòîðîåðàñêðàøèâàíèå ôèãóðû Ω, êîòîðîå îñòàåòñÿ íà ìåñòå ïðè äåéñòâèè íà íåãî ïîäñòàíîâêè σ .
Êàê ëåãêî ïîíÿòü, äëÿ ëþáîãî öèêëàσj = (i1 , ..., il ) èìååì f (i1 ) = f (i2 ) = ... = f (il ). Ïîñêîëüêó < σ >îðáèòû íå ïåðåñåêàþòñÿ, îíè ìîãóò áûòü îêðàøåíû íåçàâèñèìîäðóã îò äðóãà, à òîãäà N (σ) = |R|k . ÏÐÈÌÅÐ 10.2. Âû÷èñëèì, ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ðàñêðàñèòü âåðøèíû ïðàâèëüíîãî òåòðàýäðà â q ðàçëè÷íûõ öâåòîâ.Ãðóïïà G äâèæåíèé ïðàâèëüíîãî òåòðàýäðà íàéäåíà â ïðèìåðå8.6. Ýòà ãðóïïà äåéñòâóåò íà ìíîæåñòâå {1, 2, 3, 4} âåðøèí òåòðàýäðà è ñîñòîèò â òî÷íîñòè èç ÷åòíûõ ïîäñòàíîâîê. Îíà ñîäåðæèò ýëåìåíòû e = (1)(2)(3)(4), 8 ýëåìåíòîâ âèäà σ = (1)(234) è 3ýëåìåíòà âèäà τ = (12)(34). Ñîãëàñíî äîêàçàííîìó âûøå, èìååìN (e) = q 4 , N (σ) = q 2 , N (τ ) = q 2 . Òåïåðü ìîæíî ïðèìåíèòüëåììó Áåðíñàéäà, è ìû ïîëó÷àåì ôîðìóëó äëÿ ÷èñëà N ðàñêðà-45øèâàíèé:N=1 4q2(q + 8q 2 + 3q 2 ) = (q 2 + 11).1212(10.2)Ðåøåííóþ çàäà÷ó ìîæíî òðàêòîâàòü òàêèì îáðàçîì: èìåþòñÿàòîìû q ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ.
Ìîëåêóëà âåùåñòâà ñîñòîèò èç÷åòûðåõ àòîìîâ, ðàñïîëîæåííûõ â âåðøèíàõ ïðàâèëüíîãî òåòðàýäðà. Ñêîëüêî ìîæåò ñóùåñòâîâàòü ðàçëè÷íûõ òèïîâ ìîëåêóë,ñîñòàâëåííûõ èç àòîìîâ äàííûõ ýëåìåíòîâ? Îòâåò äàåòñÿ ôîðìóëîé (10.2). 46ÃËÀÂÀ III. ÊÎËÜÖÀ È ÏÎËß1. Êîëüöà, ïîäêîëüöà, ôàêòîðêîëüöàêîëüöîì(Àññîöèàòèâíûì)íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî (K, +, .) ñäâóìÿ áèíàðíûìè îïåðàöèÿìè, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:1) (x + y) + z = x + (y + z) äëÿ âñåõ x, y, z ∈ K ;2) x + y = y + x äëÿ âñåõ x, y ∈ K ;3) ñóùåñòâóåò òàêîé ýëåìåíò 0, ÷òî x + 0 = x äëÿ âñåõ x ∈ K ;4) äëÿ ëþáîãî x ∈ K ñóùåñòâóåò òàêîé ýëåìåíò (−x), ÷òîx + (−x) = 0;5) (xy)z = x(yz) äëÿ âñåõ x, y, z ∈ K ;6) x(y + z) = xy + xz, (y + z)x = yx + zx äëÿ âñåõ x, y, z ∈ K .Åñëè åùå7) xy = yx äëÿ âñåõ x, y ∈ K , òî êîëüöî íàçûâàåòñÿ; åñëè8) ñóùåñòâóåò òàêîé ýëåìåíò 1, ÷òî x · 1 = 1 · x = äëÿ âñåõx ∈ K , òî êîëüöî íàçûâàåòñÿ.ÏÐÈÌÅÐ 1.1.
Ìíîæåñòâî Z ñ îáû÷íûìè îïåðàöèÿìè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ åñòü êîììóòàòèâíîå êîëüöî ñ åäèíèöåé. Ìíîæåñòâà Q è R ñ îáû÷íûìè îïåðàöèÿìè òàêæå ÿâëÿþòñÿ êîëüöàìè.ÏÐÈÌÅÐ 1.2. Ìíîæåñòâî n (R) êâàäðàòíûõ ìàòðèö ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè åñòü êîëüöî ñ åäèíèöåé îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ ìàòðèö. Ýòî êîëüöîïðè n > 1 íåêîììóòàòàòèâíî.Ïîäìíîæåñòâî L ⊆ K íàçûâàåòñÿ, åñëèêîììóòà-òèâíûìêîëüöîì ñ åäèíèöåéMïîäêîëüöîìx, y ∈ L = x − y ∈ L,xy ∈ L.ÇÀÄÀ×À 1.1. Äîêàæèòå, ÷òî â ëþáîì êîëüöå K äëÿ âñåõa, b ∈ K èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâàa · 0 = 0 · a = 0,a(−b) = (−a)b = −(ab).Ïóñòü K è K ′ êîëüöà.
Îòîáðàæåíèå f : K → K ′ íàçûâàåòñÿêîëåö, åñëèãîìîìîðôèçìîìf (x + y) = f (x) + f (y),f (xy) = f (x)f (y)äëÿ âñåõ x, y ∈ K . Áèåêòèâíûé ãîìîìîðôèçì íàçûâàåòñÿ.ôèçìîì47èçîìîð-ßäðîì ãîìîìîðôèçìà f íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîKerf = {x ∈ K | f (x) = 0}.ßñíî, ÷òî Kerf ïîäêîëüöî. Çàìåòèì, ÷òî åñëè x ∈ K è J =Kerf , òî xJ ⊆ J Jx ⊆ J . Äðóãèìè ñëîâàìè,KJ ⊆ J,JK ⊆ J.(1.1)èäåàëîìÍàçîâåì ïîäêîëüöî J ⊆ K (äâóñòîðííèì), åñëè âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ (1.1).
Òàêèì îáðàçîì, ÿäðî ãîìîìîðôèçìà èäåàë. Ïîíÿòèå èäåàëà ñîîòâåòñòâóåò ïîíÿòèþ íîðìàëüíîéïîäãðóïïû â òåîðèè ãðóïï.Ïóñòü J èäåàë êîëüöà K . Òîãäà àääèòèâíàÿ ïîäãðóïïàJ åñòü íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà â àääèòèâíîé àáåëåâîé ãðóïïå K .Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò ôàêòîðãðóïïà K/J .
Åå ýëåìåíòàìè ñëóæàòñìåæíûå êëàññû x + J . Ââåäåì â ýòîì ìíîæåñòâå îïåðàöèþóìíîæåíèÿ, ïîëàãàÿ(x + J)(y + J) = xy + J.Ýòà îïåðàöèÿ îïðåäåëåíà êîððåêòíî, ò. å. åñëè x′ ∈ x + J, y ′ ∈y + J , òîx′ y ′ = (x + l1 )(y + l2 ) = xy + xl2 + l1 y + l1 l2 ,l1 , l2 ∈ J.Ïîñêîëüêó J èäåàë, èìååì xl2 ∈ J , l1 y ∈ J è x′ y ′ ∈ xy + J .Óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî ìíîæåñòâî K/J ñ ââåäåííûìè îïåðàöèÿìèñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ åñòü êîëüöî. Ìû ïðîâåðèì îäíó èç àêñèîì êîëüöà, ñêàæåì, àññîöèàòèâíîñòü óìíîæåíèÿ; ïðîâåðêà îñòàëüíûõ àêñèîì ïðîâîäèòñÿ àíàëîãè÷íî.
Èìååì[(x + J)(y + J)](z + J) = (xy + J)(z + J) = (xy)z + J;(x + J)[(y + J)(z + J)] = (x + J)(yz + J) = x(yz) + J.Òàê êàê â K óìíîæåíèå àññîöèàòèâíî, ýòè ýëåìåíòû ðàâíû.Êîëüöî K/J íàçûâàåòñÿêîëüöà K ïî èäåàëóJ.ÏÐÈÌÅÐ 1.4. Ðàññìîòðèì â êîëüöå K = Z ïîäìíîæåñòâî J =nZ, ñîñòîÿùåå èç ÷èñåë, êðàòíûõ íàòóðàëüíîìó ÷èñëó n. Ýòî,î÷åâèäíî, èäåàë â K . Ôàêòîðêîëüöî K/J íàçûâàåòñÿn è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç Zn . Åãî ýëåìåíòàìèôàêòîðêîëüöîìêîëüöîìâû÷åòîâ ïî ìîäóëþ48ñëóæàò êëàññû âû÷åòîâ [k] = k+J, k = 0, 1, ..., n−1. Ìû îáû÷íîáóäåì èõ îáîçíà÷àòü ïðîñòî ÷åðåç k .Âûïèøåì òàáëèöû ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ â òàêîì êîëüöåïðè n = 4.ÒÀÁËÈÖÀ 1.1+0123001231123022301ÒÀÁËÈÖÀ 1.233012...012300000101232020230321Òàêèì îáðàçîì, â êîëüöå Z4 ñïðàâåäëèâî, íàïðèìåð, ðàâåíñòâî2 × 2 = 0.
Òî÷íî òàê æå, êàê òåîðåìà î ãîìîìîðôèçìàõ ãðóïï (òåîðåìà7.1 ãë. II) äîêàçûâàåòñÿ òåîðåìà î ãîìîìîðôèçìàõ êîëåö.ÒÅÎÐÅÌÀ 1.1.f :K→LJ = Ker fJK K/J ∼= f (K)JK,L (K/J)p : K → L,J Òàê æå, êàê â ñëó÷àå ãðóïï, ãîìîìîðôèçì p íàçûâàåòñÿ.Ïóñòü ãîìîðôèçì êîëåö ñ ÿäðîì. Òîãäà èäåàë â è. Îáðàòíî, åñëè èäåàë â òî ñóùåñòâóåò êîëüöî à èìåííî,èýïèìîðôèçìÿäðî êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ .åñòåñòâåííûì ãîìîìîðôèçìîì2. Îáëàñòè öåëîñòíîñòèÏóñòü a ̸= 0 è b ̸= 0 ýëåìåíòûêîëüöà. Åñëè ab = 0, òî a íàçûâàåòñÿ, à b (â êîììóòàòèâíîì êîëüöå ãîâîðÿò ïðîñòî î äåëèòåëÿõ íóëÿ). Ñàì íóëü òðèâèàëüíûé äåëèòåëü íóëÿ. Åñëèäðóãèõ äåëèòåëåé íóëÿ íåò, òî K íàçûâàåòñÿ. Êîììóòàòèâíîå êîëüöî ñ 1 ̸= 0 è áåç äåëèòåëåéíóëÿ íàçûâàåòñÿ.ÏÐÈÌÅÐ 2.1. Êîëüöî Z4 èìååò äåëèòåëè íóëÿ.
Äåëèòåëÿìèíóëÿ îáëàäàåò òàêæå ëþáîå êîëüöî Zn ïðè íåïðîñòîì n > 1.Êîëüöî Z îáëàñòü öåëîñòíîñòè.ÇÀÄÀ×À 2.1. Ïðèâåäèòå ïðèìåð äåëèòåëåé íóëÿ â êîëüöå2 (R).ÒÅÎÐÅÌÀ 2.1.KÄåëèìîñòü â êîëüöàõ.ëåâûìäåëèòåëåì íóëÿòåëåé íóëÿïðàâûìêîëüöîì áåç äåëè-îáëàñòüþ öåëîñòíîñòèMÍåòðèâèàëüíîå êîììóòàòèâíîå êîëüöîñ åäèíèöåé ÿâëÿåòñÿ îáëàñòüþ öåëîñòíîñòè òîãäà è òîëüêî49òîãäà, êîãäà â íåì âûïîëíÿåòñÿ çàêîí ñîêðàùåíèÿ:ab = ac, a ̸= 0 ⇒ b = c.ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Ïóñòü â K èìååò ìåñòî çàêîí ñîêðàùåíèÿ, òîãäà èç ab = a · 0 ñëåäóåò, ÷òî ëèáî a = 0, ëèáî a ̸= 0 èòîãäà b = 0.
Îáðàòíî, åñëè K îáëàñòü öåëîñòíîñòè è ab = ac,a ̸= 0, òî a(b − c) = 0, îòêóäà b − c = 0 è b = c.  êîëüöå K ñ åäèíèöåé åñòåñòâåííî ðàññìàòðèâàòü: ýëåìåíò a íàçûâàåòñÿ îáðàòèìûì, åñëèñóùåñòâóåò ýëåìåíò a−1 , äëÿ êîòîðîãî aa−1 = a−1 a = 1.ÏÐÈÌÅÐ 2.2.  êîëüöå n (R) îáðàòèìûå ýëåìåíòû ýòî âòî÷íîñòè ìàòðèöû ñ íåíóëåâûì îïðåäåëèòåëåì.ÒÅÎÐÅÌÀ 2.2.KU (K)ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Íàäî ïðîâåðèòü, ÷òî åñëè a, b ∈ U (K),òî ab ∈ U (K). Ýòî òàê, ïîñêîëüêó (ab)−1 = b−1 a−1 . ÏÐÈÌÅÐ 2.3.
U (Z) = {±1}.ÇÀÄÀ×À 2.2. Âû÷èñëèòü U (Z5 ) è U (Z6 ).Äàëåå âñþäó K îáëàñòü öåëîñòíîñòè.Ãîâîðÿò, ÷òî ýëåìåíò b ∈ Ka ∈ K , åñëè ñóùåñòâóåòòàêîé c ∈ K , ÷òî b = ac. Ýòî îáîçíà÷àåòñÿ òàê: a | b. Åñëè a | bè b | a, òî ýëåìåíòû a è b íàçûâàþòñÿ. Òîãäàb = ua, ãäå u | 1, ò. å. u îáðàòèì.Ýëåìåíò p ∈ K íàçûâàåòñÿ, åñëè p íåîáðàòèì è åãîíåëüçÿ ïðåäñòàâèòü â âèäå p = ab, ãäå a è b íåîáðàòèìûåýëåìåíòû.ÇÀÄÀ×À 2.4. Äîêàçàòü ñëåäóþùèå ñâîéñòâà äåëèìîñòè âîáëàñòè öåëîñòíîñòè K :1) åñëè a | b, b | c, òî a | c;2) åñëè c | a è c | b, òî c | (a ± b);3) åñëè a | b, òî a | bc;4) åñëè êàæäûé èç ýëåìåíòîâ b1 , ..., bm ∈ K äåëèòñÿ íà a, òîíà a áóäåò äåëèòüñÿ è ýëåìåíò b1 c1 + ...
+ bm cm , ãäå c1 , ..., cmïðîèçâîëüíû.Ãîâîðÿò, ÷òî îáëàñòü öåëîñòíîñòè åñòü,åñëè åñëè ëþáîé íåíóëåâîé ýëåìåíò a ýòîãî êîëüöà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåa = up1 p2 ... pr ,(2.1)ìíîæåñòâîîáðàòèìûõ ýëåìåíòîâMÂñå îáðàòèìûå ýëåìåíòû êîëüöà ñ åäèíèöåé ñîñòàâëÿþò ãðóïïóïî óìíîæåíèþ.äåëèòñÿ íààññîöèèðîâàííûìèïðîñòûìôàêòîðèàëüíîå êîëüöî50ãäå u îáðàòèìûé ýëåìåíò, à p1 , ...pr ïðîñòûå ýëåìåíòû (íåîáÿçàòåëüíî ðàçëè÷íûå), ïðè÷åì åñëè ñóùåñòâóåò äðóãîå òàêîåðàçëîæåíèåa = vq1 q2 ... qs ,òî r = s è ïîñëå ïîäõîäÿùåé ïåðåíóìåðàöèè ýëåìåíòîâ pi è qjáóäåòp1 = u1 q1 , p2 = u2 q2 , ..., pr = ur qr ,ãäå u1 , ..., ur îáðàòèìûå ýëåìåíòû.Äîïóñêàÿ â ðàâåíñòâå (2.1) çíà÷åíèå r = 0, ìû ïðèíèìàåìñîãëàøåíèå, ÷òî îáðàòèìûå ýëåìåíòû â K òàêæå èìåþò ðàçëîæåíèå íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè.
ßñíî, ÷òî åñëè p ïðîñòîé, àu îáðàòèìûé ýëåìåíò, òî up òàêæå ïðîñòîé.  êîëüöåZ îòíîøåíèå ïîðÿäêà ïîçâîëÿåò èç äâóõ âîçìîæíûõ ïðîñòûõýëåìåíòîâ âûäåëèòü îäèí ïðîñòî ÷èñëî p.ÒÅÎÐÅÌÀ 2.3.KK(),p ∈ K,ab ∈ K,a,bÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Ïóñòü K ôàêòîðèàëüíî, è ab = pc.Åñëè∏∏∏a=ai , b =bj , c =ckÏóñòü îáëàñòü öåëîñòíîñòè ñ ðàçëîæåíèåì. Êîëüöî êîëüöî ñ îäíîçíà÷íûì ðàçëîæåíèåì ôàêòîðèàëüíîå òîãäà è òîëüêî òîãäà êîãäà ëþáîé ïðîñòîé ýëåìåíòäåëÿùèé ïðîèçâåäåíèåäåëèò ëèáî ëèáî . ðàçëîæåíèÿ a, b, c íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè, à K êîëüöî cîäíîçíà÷íûì ðàçëîæåíèåì, òî èç ðàâåíñòâà∏ ∏∏aibj = pckñëåäóåò, ÷òî p àññîöèèðîâàí ñ îäíèì èç ai èëè bj , ò. å. p äåëèòèëè a èëè b.Îáðàòíî, óñòàíîâèì îäíîçíà÷íîñòü ðàçëîæåíèÿ â êîëüöå K ,óäîâëåòâîðÿþùåì óñëîâèþ òåîðåìû.
Ðàññóæäàÿ ïî èíäóêöèè,äîïóñòèì, ÷òî ðàçëîæåíèå âñåõ ýëåìåíòîâ èç K ñ ÷èñëîì ïðîñòûõñîìíîæèòåëåé, íå áîëüøèõ n, åäèíñòâåííî (äëÿ ïðîñòûõ ýëåìåíòîâ ýòî âåðíî). Ïóñòü òåïåðüa=un+1∏pi = vi=1m+1∏rj ,j=1ãäå u è v îáðàòèìû, p1 , ..., pn+1 , r1 , ..., rm+1 ïðîñòû, è m ≥ n.Ïî óñëîâèþ, pn+1 äåëèò îäèí èç r1 , ..., rm+1 . Ìîæíî ñ÷èòàòü,51÷òî pn+1 | rm+1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
