Электронный курс лекций (1078552), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Òàê êàê rm+1 ïðîñòîé ýëåìåíò, pn+1 è rm+1àññîöèèðîâàíû. Ñîêðàùàÿ íà îñíîâàíèè òåîðåìû 2.1, ïîëó÷àåìun∏pi = vi=1m∏rj .j=1Ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè m = n è ðàçëîæåíèÿ îòëè÷àþòñÿòîëüêî ïîðÿäêîì ìíîæèòåëåé (è, âîçìîæíî, îáðàòèìûìè êîýôôèöèåíòàìè).
 ïðîèçâîëüíîì öåëîñòíîì êîëüöå ýëåìåíò a ̸= 0 âîâñå íåîáÿçàí äîïóñêàòü ðàçëîæåíèå â ïðîèçâåäåíèå ïðîñòûõ. Ñ äðóãîéñòîðîíû, ñóùåñòâóþò êîëüöà, â êîòîðûõ ëþáîé ýëåìåíò äîïóñêàåòðàçëîæåíèå â ïðîèçâåäåíèå ïðîñòûõ, íî òàêîå ðàçëîæåíèå íååäèíñòâåííî.√ÏÐÈÌÅÐ 2.4. Ðàññìîòðèì êîëüöî K = {a + b −5, a, b ∈ Z}.Ýòî îáëàñòü öåëîñòíîñòè.  ýòîì êîëüöå èìååò ìåñòî ðàçëîæåíèå√√9 = 3.3 = (2 + −5)(2 − −5).√√Ýëåìåíòû 3, 2+ −5, 2− −5 ïðîñòû è ïîïàðíî íå àññîöèèðîâàíû.Òàêèì îáðàçîì, â êîëüöå K ðàçëîæåíèå íà ïðîñòûå ìíîæèòåëèíå åäèíñòâåííî. Íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü èêðàòíîå.íàèìåíüøåå îáùååÍàèáîëüøèì îáùèìÏóñòü K îáëàñòü öåëîñòíîñòè.ýëåìåíòîâ a, b ∈ K íàçûâàåòñÿ òàêîé ýëåìåíò d ∈ K ,äåëèòåëåì÷òî1) d | a, d | b;2) c | a, c | b ⇒ c | d.Ýëåìåíò d îïðåäåëåí ñ òî÷íîñòüþ äî àññîöèèðîâàííîñòè. Îíîáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç ÍÎÄ (a, b).ÇÀÄÀ×À 2.5.
Äîêàçàòü ñëåäóþùèå ñâîéñòâà1) ÍÎÄ (a, b) = a ⇐⇒ a | b;2) ÍÎÄ (a, 0) = a;3) ÍÎÄ (a, b) = ÍÎÄ (b, a);4) (ÍÎÄ (ÍÎÄ (a, b), c) = ÍÎÄ (a, ÍÎÄ (b, c)).ýëåìåíòîâ a, b ∈ K íàçûâàåòñÿòàêîé ýëåìåíò m = ÍÎÊ (a, b), ÷òî1) a | m, b | m;2) a | c, b | c ⇒ m | c.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî K ôàêòîðèàëüíî. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Pòàêîå ìíîæåñòâî ïðîñòûõ ýëåìåíòîâ â K , ÷òî âñÿêèé ïðîñòîéÍàèìåíüøèì îáùèì êðàòíûì52ýëåìåíò â K àññîöèèðîâàí ðîâíî ñ îäíèì ýëåìåíòîâ èç P.
Ðàññìàòðèâàÿ ðàçëîæåíèÿ äâóõ ýëåìåíòîâ a, b ∈ K , óäîáíî ñ÷èòàòü,÷òî â íèõ âõîäÿò îäèíàêîâûå ýëåìåíòû èç P, íî íåêîòîðûå,âîçìîæíî, ñ íóëåâûìè ïîêàçàòåëÿìè, ò. å.a = upk11 pk22 ... pkr r ,b = vpl11 pl22 ... plrr ,(2.2)ãäå u | 1, v | 1; ki ≥ 0, lj ≥ 0, pi ∈ P, i = 1, ..., r. Èç òåîðåìû 2.3ïîëó÷àåòñÿÒÅÎÐÅÌÀ 2.4 (ïðèçíàê äåëèìîñòè).a, bK,(2.2)Ïóñòü ýëåìåíòûôàêòîðèàëüíîãî êîëüöà çàïèñàííûå â âèäå . Ñïðàâåäëèâîóòâåðæäåíèå1) a | b ⇐⇒ ki ≤ li , i = 1, ..., r;2) ÍÎÄ (a, b) = ps1 ... psr , ãäå si = min{ki , li }, i = 1, ..., r;3) ÍÎÊ (a, b) = pt1 ...
ptr , ãäå ti = max{ki , li }, i = 1, ..., r. 1r1rÎòìåòèì, ÷òî ýòîò ïðèçíàê äàæå â ñëó÷àå K = Z âîâñå íåäîêàçûâàåò ôàêòîðèàëüíîñòü K .Åâêëèäîâû êîëüöà. Îáëàñòü öåëîñòíîñòè K íàçûâàåòñÿ, åñëè îïðåäåëåíî òàêîå îòîáðàæåíèååâêëèäîâûì êîëüöîìδ : K − {0} = K ∗ → N ∪ {0},÷òî âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ1) δ(ab) ≥ δ(a) äëÿ âñåõ a, b ∈ K ∗ ;2) äëÿ âñåõ a, b ∈ K , b ̸= 0, íàéäóòñÿ q, r ∈ K , äëÿ êîòîðûõa = qb + r, δ(r) < δ(b) èëè r = 0.ÏÐÈÌÅÐ 2.5. Êîëüöî Z åâêëèäîâî, δ(a) = | a|.  åâêëèäîâûõ êîëüöàõ ñóùåñòâóåò ñïîñîá íàõîæäåíèÿ íàèáîëüøåãî îáùåãî äåëèòåëÿ, íàçûâàåìûé.Îí çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Ïóñòü äàíû íåíóëåâûå ýëåìåíòûa, b åâêëèäîâà êîëüöà K . Äåëÿ ïîñëåäîâàòåëüíî ñ îñòàòêîì, ìûïîëó÷àåìa = q1 b + r 1 ,δ(r1 ) < δ(b),b=qr+r,δ(r2 122 ) < δ(r1 ),r1 = q3 r2 + r3δ(r3 ) < δ(r2 ),(2.3)....................... rk−2 = qk rk−1 + rk δ(rk ) < δ(rk−1 ),rk−1 = qk+1 rkrk+1 = 0.àëãîðèòìîì ÅâêëèäàÑòðîãî óáûâàþùàÿ öåïî÷êà íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåëδ(b) > δ(r1 ) > δ(r2 ) > ...53äîëæíà íà êàêîì-òî øàãå îáîðâàòüñÿ.
Óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî ïîñëåäíèé îòëè÷íûé îò íóëÿ îñòàòîê rk è ÿâëÿåòñÿ íàèáîëüøèìîáùèì äåëèòåëåì ýëåìåíòîâ a è b.  ñàìîì äåëå, ïî óñëîâèþrk |rk−1 . Äâèãàÿñü ïî ñèñòåìå (2.3) ñíèçó ââåðõ, ïîëó÷èì öåïî÷êórk | rk−2 , rk | rk−3 , ..., rk | b, rk | a. Çíà÷èò, rk îáùèé äåëèòåëüýëåìåíòîâ a è b. Îáðàòíî, ïóñòü c îáùèé äåëèòåëü ýëåìåíòîâa è b.
Òîãäà c | r1 è äâèãàÿñü ïî ñèñòåìå (2.3) ñâåðõó âíèç, ìûïîëó÷àåì c | rk . Òàêèì îáðàçîì ÍÎÄ (a, b) ñóùåñòâóåò èrk = ÍÎÄ (a, b).Çàìåòèì, åùå, ÷òî îñòàòîê ri â ñèñòåìå (2.3) âûðàæàåòñÿ ââèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè â K äâóõ ïðåäûäóùèõ îñòàòêîâ ri−1ri−2 . Ïðè ýòîì r1 âûðàæàåòñÿ ÷åðåç a è b: r1 = a − q1 b, à r2 ,âûðàæàÿñü ëèíåéíî ÷åðåç b è r1 , òåì ñàìûì ÿâëÿåòñÿ îïÿòüëèíåéíîé êîìáèíàöèåé a è b.
Ïîñëåäîâàòåëüíàÿ ïîäñòàíîâêà âri âûðàæåíèé äëÿ ri−1 è ri−2 äàñò ïðè i = k âûðàæåíèårk = au + bvñ êàêèìè-òî ýëåìåíòàìè u, v ∈ K .Ìû äîêàçàëè òàêîå óòâåðæäåíèå.ÒÅÎÐÅÌÀ 2.5.a, bu, v ∈ K åâêëèäîâîì êîëüöå K ëþáûå äâà ýëåìåíòàèìåþò íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü. Ïðè ýòîì ñóùåñòâóþò òàêèå, ÷òîÍÎÄ (a, b) = au + bv. ÷àñòíîñòè, ýëåìåíòû a, b ∈ K âçàèìíî ïðîñòû òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóþò ýëåìåíòû u, v ∈ K , äëÿ êîòîðûõau + bv = 1. K.Ïóñòü a, b, c ýëåìåíòû åâêëèäîâà êîëüöà1) Åñëè ÍÎÄ (a, b) = 1 è ÍÎÄ (a, c) = 1, òî ÍÎÄ (a, bc) = 1.2) Åñëè a | bc è ÍÎÄ (a, b) = 1, òî a | c.ÑËÅÄÑÒÂÈÅ.ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. 1) Ñîãëàñíî òåîðåìå 2.5, èìååì ðàâåíñòâàau1 + bv1 = 1, au2 + cv2 = 1.Ïåðåìíîæàÿ ñîîòâåòñòâåííî èõ ïðàâûå è ëåâûå ÷àñòè, íàõîäèìa(au1 u2 + bu2 v1 + cu1 v2 ) + bc(v1 v2 ) = 1,54÷òî è äàåò íóæíîå óòâåðæäåíèå.2) Èìååì au + bv = 1, îòêóäà acu + (bc)v = c.
Íî bc = aw,ïîýòîìó c = a(cu + wv), ò. å. a | c. Óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû 2.5. ëåãêî ðàñïðîñòðàíèòü íà ñëó÷àéïðîèçâîëüíîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ åâêëèäîâà êîëüöà.ËÅÌÌÀ 2.1.ðàçëîæåíèåì.Âñÿêîå åâêëèäîâî êîëüöî ÿâëÿåòñÿ êîëüöîì ñÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Ïóñòü ýëåìåíò êîëüöà a îáëàäàåò ñîáñòâåííûì äåëèòåëåì b: a = bc, ãäå b è c íåîáðàòèìûå ýëåìåíòûêîëüöà. Äîêàæåì, ÷òî δ(b) < δ(a). ñàìîì äåëå, ñîãëàñíî óñëîâèþ 1) îïðåäåëåíèÿ èìååì δ(b) ≤δ(bc) = δ(a).
Åñëè δ(b) = δ(a), òî ñîãëàñíî óñëîâèþ 2) îïðåäåëåíèÿ b = qa + r, ãäå δ(r) < δ(a) èëè æå r = 0. Ñëó÷àé r = 0îòïàäàåò ââèäó íåàññîöèèðîâàííîñòè a è b. Ïî òîé æå ïðè÷èíå1 − qc ̸= 0. Ïîýòîìó ïî 2) ñ çàìåíîé a íà b èìååìδ(a) = δ(b) ≤ δ(b(1 − qc)) = δ(b − qa) = δ(r) < delta(a) ïðîòèâîðå÷èå.
Èòàê, δ(b) < δ(a).Åñëè a = a1 a2 ...an , ãäå âñå ai íåîáðàòèìû, òî am+1 am+2 ...an ñîáñòâåííûé äåëèòåëü am am+1 ...an , è ïî äîêàçàíîìóδ(a1 a2 ...an ) > δ(a2 ...an ) > ... > δ(an ) > δ(1).Ýòà ñòðîãî íåóáûâàþùàÿ öåïî÷êà íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë èìååòäëèíó n ≤ δ(a). Çíà÷èò, èìååòñÿ ìàêñèìàëüíîå ðàçëîæåíèå a íàïðîñòûå ìíîæèòåëè. ÒÅÎÐÅÌÀ 2.6.ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ.
Ñ ó÷åòîì ëåììû 2.1 è òåîðåìû 2.3íàì îñòàåòñÿ ïîêàçàòü, ÷òî åñëè p ïðîñòîé ýëåìåíò, äåëÿùèéïðîèçâåäåíèå bc ýëåìåíòîâ b è c êîëüöà, òî p äåëèò ëèáî b, ëèáîc.Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî bc ̸= 0 è ïóñòü d = ÍÎÄ (b, p). Ýëåìåíò d,áóäó÷è äåëèòåëåì ïðîñòîãî ýëåìåíòà, ëèáî îáðàòèì, ëèáî àññîöèèðîâàí ñ p.  ïåðâîì ñëó÷àå b è p âçàèìíî ïðîñòû è óòâåðæäåíèå 2) ñëåäñòâèÿ òåîðåìû 2.5 ïîêàçûâàåò, ÷òî p | c. Âî âòîðîìñëó÷àå d = up, ãäå u îáðàòèì è p | b.
ÑËÅÄÑÒÂÈÅ. Êîëüöî Z ôàêòîðèàëüíî. ÇÀÄÀ×À 2.6. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáîé èäåàë êîëüöà Z èìååòâèä nZ äëÿ íåêîòîðîãî n = 0, 1, 2, ...Âñÿêîå åâêëèäîâî êîëüöî ôàêòîðèàëüíî.55öåëûõ ãàóñîâûõ ÷èñåëÏÐÈÌÅÐ 2.7. Ðàññìîòðèì êîëüöî Z[i],ò. å. êîìïëåêñíûõ ÷èñåë âèäà a = m+ni, ãäå a, b ∈ Z. Î÷åâèäíî,÷òî ýòî îáëàñòü öåëîñòíîñòè. Óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî ýòî êîëüöîåâêëèäîâî.
Ïîëîæèì δ(a) = |a|2 . Èìååìδ(ab) = |ab|2 = |a|2 |b|2 ≥ |a|2 = δ(a).Äàëåå, çàïèøåì äðîáü ab−1 ñ b ̸= 0 â âèäåab−1 = α + βi,α, β ∈ Qè âîçüìåì áëèæàéøèå ê α, β öåëûå ÷èñëà k, l òàêèå, ÷òî α =11k + ν, β = l + µ, |ν| ≤ |µ| ≤ . Òîãäà22a = b[(k + ν) + (l + µ)i] = bq + r,ãäå q = k + li, r = bν + bµi. Òàê êàê r = a − bq , òî r ∈ Z[i], ïðè÷åì()1 1122 22δ(r) = |r| = |b| (ν + µ ) ≤ δ(b)+= δ(b) < δ(b).4 42√Ñëåäîâàòåëüíî, êîëüöî Z[i]√= Z[ −1] åâêëèäîâî.
Çàìåòèì, ÷òî êîëüöî Z[ −5] íå ìîæåò áûòü åâêëèäîâûì, òàêêàê îíî äàæå íå ôàêòîðèàëüíî.√ÇÀÄÀ×À 2.7. ßâëÿåòñÿ ëè åâêëèäîâûì êîëüöî Z[ −2]?3. ÏîëÿÎñíîâíûå ïîíÿòèÿ.Ïîëåì íàçûâàåòñÿ êîììóòàòèâíîå êî-ëüöî ñ 1 ̸= 0, â êîòîðîì êàæäûé íåíóëåâîé ýëåìåíò îáðàòèì.ÏÐÈÌÅÐ 3.1.
Êîëüöà Q è R ïîëÿ. Êîëüöî Z íå ÿâëÿåòñÿïîëåì. ÇÀÄÀ×À 3.1. Äîêàæèòå, ÷òî â ïîëå íåò äåëèòåëåé íóëÿ. √ÏÐÈÌÅÐ 3.2. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî ÷èñåë âèäà a + b 2,ãäå a, b ∈ Q ñ îáû÷íûìè îïåðàöèÿìè. Òîãäà ìû ïîëó÷èì ïîëå.Çäåñü òðåáóåòñÿ òîëüêî ïðîâåðèòü, ÷òî ëþáîé íåíóëåâîé ýëåìåíòòàêîãî âèäà √èìååò îáðàòíûé, êîòîðûé òàêæå ìîæåò áûòü çàïèñàíâ âèäå c + d 2. Íî ýòî ÿñíî:√√√ −1ab1a−b 2√ = 2=−(a + b 2) =2. a − 2b2a2 − 2b2 a2 − 2b2a+b 2Ïîäïîëåì F ïîëÿ P íàçûâàåòñÿ ïîäêîëüöî â P , êîòîðîå ñàìîÿâëÿåòñÿ ïîëåì.
Íàïðèìåð, Q ïîäïîëå â R.56ðàñøèðåíèå ñëó÷àå F ⊂ P ãîâîðÿò åùå, ÷òî P ïîëÿ F .Èç îïðåäåëåíèÿ ïîäïîëÿ ñëåäóåò, ÷òî íóëü è åäèíèöà ïîëÿ Páóäóò ñîäåðæàòüñÿ òàêæå â F ñëóæèòü äëÿ F íóëåì è åäèíèöåé.Åñëè âçÿòü â P ïåðåñå÷åíèå F1 âñåõ ïîäïîëåé, ñîäåðæàùèõ Fè íåêîòîðûé ýëåìåíò a, òî F1 áóäåò ìèíèìàëüíûì ïîäïîëåì,ñîäåðæàùèì ìíîæåñòâî F ∪ {a}. Ãîâîðÿò, ÷òî ðàñøèðåíèå F1ïîëÿ F ïîëó÷åíîFa.  ýòîì ñëó÷àåïèøóò F1 = F (a). Àíàëîãè÷íî ìîæíî ãîâîðèòü î ïîäïîëå F1 =F (a1 , ..., an ), ïîëó÷åííîì ïðèñîåäèíåíèåì ê F ýëåìåíòîâ a1 , ..., an .ÏÐÈÌÅÐ 3.3.
Ïîëå Q(2) ñîâïàäàåò ñ ïîëåì èç ïðèìåðà 3.2.Ïîëÿ P è P ′ íàçûâàþòñÿ, åñëè îíè èçîìîðôíûêàê êîëüöà.ÇÀÄÀ×À 3.2. Äîêàçàòü, ÷òî â ïîëå íåò èäåàëîâ, îòëè÷íûõ îò{0} è ñàìîãî P .Èç ðåçóëüòàòà çàäà÷è 3.2 âûòåêàåò, ÷òî ëþáîé ãîìîìîðôèçìïîëåé èëè òðèâèàëåí (ò. å. îòîáðàæàåò âñå ýëåìåíòû â 0),èëè åñòü ìîíîìîðôèçì. Òàêèì îáðàçîì, ïðè íåòðèâèàëüíîìãîìîìîðôèçìå ïîëåé f : F → P ïîëå F îòîáðàæàåòñÿ èçîìîðôíîíà íåêîòîðîå ïîäïîëå â P .Âûøå áûëî ïîñòðîåíî êîëüöî âû÷åòîâ Zn .ÒÅÎÐÅÌÀ 3.1.Znn=pÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ.
Åñëè n = ab, ãäå a ̸= 1, b ̸= 1, òî[a][b] = [n] = [0], à â ïîëå íåò äåëèòåëåé íóëÿ.Ïîêàæåì, ÷òî Zp ïîëå. Íàì íàäî äîêàçàòü, ÷òî êàæäûéýëåìåíò [1], [2], ..., [p − 1] îáðàòèì. Ïóñòü s öåëîå, 1 ≤ s ≤ p − 1.Ðàññìîòðèì êëàññûïðèñîåäèíåíèåì ê ýëåìåíòàèçîìîðôíûìèòîãäà, êîãäàÊîëüöî ÿâëÿåòñÿ ïîëåì òîãäà è òîëüêî ïðîñòîå ÷èñëî.[s · 1], [s · 2], ..., [s · (p − 1)],(3.1)Îíè îòëè÷íû îò [0] è âñå ðàçëè÷íû, òàê êàê èç [sk] = [sl] ñëåäóåò[s(k − l)] = [0].
Çíà÷èò, s(k − l) äåëèòñÿ íà p, îòêóäà k = l,÷òî íåâåðíî. Çíà÷èò, ñðåäè êëàññîâ (3.1) åñòü êëàññ [1], ò. å.[s][k] = [1] äëÿ íåêîòîðîãî k . Èòàê, ýëåìåíò [s] îáðàòèì, ÷òî èòðåáîâàëîñü. Íàçîâåìïîëå, íå èìåþùåå ñîáñòâåííûõ ïîäïîëåé.ÒÅÎÐÅÌÀ 3.2.ïðîñòûì êàæäîì ïîëå ñîäåðæèòñÿ îäíî è òîëüêîîäíî ïðîñòîå ïîäïîëå. Ýòî ïðîñòîå ïîëå èçîìîðôíî ëèáî ïîëþQ, èáî ïîëþ Zp äëÿ íåêîòîðîãî p.57ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Åñëè P1 è P0 äâà ïðîñòûõ ïîäïîëÿïîëÿ P , òî èõ ïåðåñå÷åíèå P0 ∩ P1 ñîäåðæèò 0 è 1 è ÿâëÿåòñÿïîäïîëåì â P0 . Òàê êàê P0 ïðîñòîå, èìååì P0 = P0 ∩ P1 .Çíà÷èò, P0 ⊆ P1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
