Электронный курс лекций (1078552), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Åãî ñþðúåêòèâíîñòü î÷åâèäíà, àèíúåêòèâíîñòü ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî åñëè f (g) = f (ab) = f (e), òîa = e, b = e g = e. Ãðóïïó G, óäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèÿì òåîðåìû 6.1, íàçûâàþò(âíóòðåííèì) ïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì ñâîèõ ïîäãðóïï A è B , ïðèýòîì ïèøóò G = A×B . Âíåøíåå ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå G = A×Bÿâëÿåòñÿ âíóòðåííèì ïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì ïîäãðóïï A × {e}è {e} × B è ìîæíî íå ðàçëè÷àòü âíóòðåííåå è âíåøíåå ïðÿìîåïðîèçâåäåíèå.Òåîðåìà 6.1 ëåãêî îáîáùàåòñÿ íà ñëó÷àé ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà ñîìíîæèòåëåé, íî ìû íå áóäåì ýòèìçàíèìàòüñÿ.7.
Òåîðåìà î ãîìîìîðôèçìàõÂûøå ìû âèäåëè, ÷òî ÿäðî ãîìîìîðôèçìà åñòü íîðìàëüíàÿïîäãðóïïà. Ñåé÷àñ ìû óñòàíîâèì îáðàùåíèå ýòîãî óòâåðæäåíèÿ.ÒÅÎÐÅÌÀ 7.1 (î ãîìîìîðôèçìàõ).f : G → HK = KerfKG G/K ∼K= f (G)Ïóñòüãîìîìîðôèçì ãðóïï ñ ÿäðîì. Òîãäà íîðìàëüíàÿïîäãðóïïà â è. Îáðàòíî, åñëè íîðìàëüíà â38òî ñóùåñòâóåò ãðóïïà à èìåííîÿäðî êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ .è ýïèìîðôèçìG,H (G/H)p : G → H,KÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ.
Óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî ñóùåñòâóåò ãîìîìîðôèçì f¯ ñî ñâîéñòâîì f¯ ◦ p = f è ýòîò ãîìîìîðôèçì ÿâëÿåòñÿèçîìîðôèçìîì.G =G↓f↓pf¯H ←− G/KÎïðåäåëèì îòîáðàæåíèå f¯ : G/K → H , ïîëàãàÿf¯(gK) = f (g).Ýòî îòîáðàæåíèå êîððåêòíî, òàê êàê åñëè g1 K = g2 K , òî g2−1 g1 ∈K = Kerf è f (g1 ) = f (g2 ). Ïîñêîëüêóf¯(g1 Kg2 K) = f¯(g1 g2 K) = f (g1 g2 ) = f (g1 )f (g2 ) = f¯(g1 K)f¯(g2 K),òî f¯ ãîìîìîðôèçì. Íà ñàìîì äåëå f¯ ìîíîìîðôèçì, òàê êàêèç f¯(gK) = e ñëåäóåò f (g) = e è gK = K .
Íàêîíåö, ÿñíî, ÷òîf¯(G/K) = f (G).Îáðàòíî, ïóñòü K íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà â G. Îïðåäåëèìîòîáðàæåíèå p : G → G/K , ïîëàãàÿ p(g) = gK . ßñíî, ÷òî âñåòðåáóåìûå ñâîéñòâà âûïîëíÿþòñÿ. Ýïèìîðôèçì p íàçûâàåòñÿÏÐÈÌÅÐ 7.1. Ïóñòü G = G1 × G2 , Hi ⊆ Gi , i = 1, 2 íîðìàëüíûå ïîäãðóïïû è H = H1 × H2 . Òîãäà H íîðìàëüíàâGèG/H ∼(7.1)= G1 /H1 × G2 /H2 .åñòåñòâåííûì ãîìîìîðôèçìîì. ñàìîì äåëå, ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèåf : G1 × G2 → G1 /H1 × G2 /H2 ,çàäàííîå ôîðìóëîég(g1 , g2 ) = (g1 H1 , g2 H2 ).Ýòî, î÷åâèäíî, ýïèìîðôèçì è åãî ÿäðî åñòü â òî÷íîñòè H . Çíà÷èò,H íîðìàëüíà è èìååò ìåñòî (7.1).
398. Ãðóïïû äâèæåíèéÃðóïïû åñòåñòâåííûì îáðàçîì âîçíèêàþò êàê ãðóïïû äâèæåíèé ñèììåòðè÷íûõ ôèãóð. ×åì ñèììåòðè÷íåå ôèãóðà, òåì áîëüøå åå ãðóïïà äâèæåíèé.Íàçîâåìïðåîáðàçîâàíèå ïðîñòðàíñòâà (ïëîñêîñòè), ñîõðàíÿþùåå ðàññòîÿíèÿ. Òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå âñåãäà áèåêòèâíî. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî äâèæåíèå ñîõðàíÿåò îðèåíòàöèþ.Ýòî è åñòü äâèæåíèå â îáû÷íîì ïîíèìàíèè. Ïóñòü Ω ôèãóðà(íàïðèìåð, ìíîãîãðàííèê) â ïðîñòðàíñòâå.
Äâèæåíèÿ, ïåðåâîäÿùèå ôèãóðó Ω â ñåáÿ, îáðàçóþò ïîäãðóïïó âñåé ãðóïïû äâèæåíèé. Îíà íàçûâàåòñÿôèãóðû Ω.ÏÐÈÌÅÐ 8.1. Íàéäåì ãðóïïó äâèæåíèé ïëîñêîñòè, ïåðåâîäÿùèõ â ñåáÿ ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê. Îáîçíà÷èì åãîâåðøèíû ÷åðåç 1, 2, 3. Èñêîìàÿ ãðóïïà G ìîæåò áûòü îòîæäåñòâëåíà ñ ïîäãðóïïîé â 3 ïåðåñòàíîâîê ýëåìåíòîâ 1, 2.
3. Ïðèýòîì ÷åòíûå ïîäñòàíîâêè îòâå÷àþò äâèæåíèÿì, ñîõðàíÿþùèìîðèåíòàöèþ, íå÷åòíûì íå ñîõðàíÿþùèì. Çíà÷èò, G ìîæíîîòîæäåñòâèòü ñ ïîäãðóïïîé 3 ⊂ 3 . Èòàê, G ∼= 3∼= 3. ÏÐÈÌÅÐ 8.2. Íàéäåì ãðóïïó äâèæåíèé ïðîñòðàíñòâà, ïåðåâîäÿùèõ â ñåáÿ ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê. Çäåñü, êðîìå äâèæåíèé èç ïðèìåðà 8.1, åñòü åùå òðè âðàùåíèÿ âîêðóã âûñîò òðåóãîëüíèêà. Èì îòâå÷àþò ïîäñòàíîâêè (12), (13) è (23). Ãðóïïà,òàêèì îáðàçîì, ñîâïàäàåò ñ 3 . ÏÐÈÌÅÐ 8.3.
Íàéäåì ãðóïïó G äâèæåíèé ïðàâèëüíîé ÷åòûðåõóãîëüíîé ïèðàìèäû. Îáîçíà÷èì åå âåðøèíó ÷èñëîì 1, àâåðøèíû îñíîâàíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíî 2, 3, 4 è 5. ßñíî, ÷òîëþáîå äâèæåíèå ïåðåâîäèò âåðøèíó 1 â ñåáÿ. Âðàùåíèÿ âîêðóãâûñîòû ïèðàìèäû íà óãëû, êðàòíûå π/2 (âêëþ÷àÿ òîæäåcòâåííîå) ñîñòàâëÿþò åùå ÷åòûðå ýëåìåíòà ãðóïïû. Êàê ëåãêî ïîíÿòü,ýòèìè äâèæåíèÿìè ãðóïïà è èñ÷åðïûâàåòñÿ. Åå ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ ïîäãðóïïîé â 5 , ñîñòîÿùåé èç ïîäñòàíîâîê e, σ =(1)(2345), σ 2 = (1)(24)(35) u σ 3 = σ −1 = (1)(2543).
Ãðóïïà Gèçîìîðôíà ãðóïïå 4 . ÏÐÈÌÅÐ 8.5. Íàçîâåì n-óãîëüíûììíîãîãðàííèê,ñîñòàâëåííûé èç äâóõ îäèíàêîâûõ ïðàâèëüíûõ n-óãîëüíûõ ïèðàìèä ñ îáùèìè îñíîâàíèÿìè. Íàéäåì ãðóïïó G äâèæåíèé ÷åòûðåõóãîëüíîãî äèýäðà. Îáîçíà÷èì âåðøèíû ïèðàìèä, åãî ñîñòàâëÿþùèõ, ÷èñëàìè 1 è 6, à âåðøèíû îñíîâàíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíî 2, 3, 4 è 5. Ãðóïïó G, òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ðàññìàòðè-äâèæåíèåìãðóïïîé äâèæåíèéSASASSCäèýäðîì40CSâàòü êàê ïîäãðóïïó â 6 . Ïðè ëþáîì äâèæåíèè âåðøèíà 2ïåðåõîäèò â îäíó èç ÷åòûðåõ âåðøèí îñíîâàíèÿ, à âåðøèíà 3 â îäíó èç äâóõ ñîñåäíèõ âåðøèí. Ïîëîæåíèå îñòàëüíûõ âåðøèíòåì ñàìûì áóäåò ïîëíîñòüþ îïðåäåëåíî. Çíà÷èò, ãðóïïà G íåìîæåò ñîäåðæàòü áîëüøå 8 ýëåìåíòîâ.
Âðàùåíèÿì âîêðóã îñè,ñîåäèíÿþùåé âåðøèíû 1 è 6 íà óãëû, êðàòíûå π/2, îòâå÷àþòïîäñòàíîâêè e,σ = (1)(2345)(6), σ 2 = (1)(24)(35)(6), σ 3 =(1)(2543)(6). Êðîìå òîãî, åñòü åùå ïîâîðîòû íà óãîë π âîêðóãîñåé ñèììåòðèè êâàäðàòà, ëåæàùåãî â îñíîâàíèè ïèðàìèä. Ýòèìïîâîðîòàì ñîîòâåòñòâóþò ïîäñòàíîâêè τ = (16)(24)(3)(5), τ ′ =(16)(35)(2)(4) è ρ = (16)(23)(45), ρ′ = (16)(25)(34) ñîîòâåòñòâåííî.Ãðóïïà G íàçûâàåòñÿè îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç4. Àíàëîãè÷íî ñòðîÿòñÿ ãðóïïû n ïðè äðóãèõ n ≥ 3. Îòìåòèì,÷òî ïðè n = 3 ãðóïïà 3 èçîìîðôíà 3 .ÏÐÈÌÅÐ 8.6. Íàéäåì ãðóïïó G äâèæåíèé ïðàâèëüíîãî òåòðàýäðà. Îáîçíà÷èâ âåðøèíû òåòðàýäðà ÷èñëàìè 1, 2, 3 è 4,âèäèì, ÷òî èñêîìàÿ ãðóïïà åñòü ïîäãðóïïà ãðóïïû 4 .
Òàê êàêìû ðàññìàòðèâàåì òîëüêî äâèæåíèÿ, ñîõðàíÿþùèå îðèåíòàöèþ,òî ïîðÿäîê G íå ïðåâîñõîäèò 12. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ãðóïïà Gñîäåðæèò âðàùåíèÿ (123), (132) âîêðóã âûñîòû òåòðàýäðà, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç âåðøèíó 4. Àíàëîãè÷íî, G ñîäåðæèò è îñòàëüíûåòðîéíûå öèêëû. Òðîéíûå öèêëû ïîðîæäàþò ïîäãðóïïó 4 ⊂ 4(ïðèìåð 2.2).
Òàê êàê åå ïîðÿäîê ðàâåí 12, èìååì G ∼= 4. äèýäðàëüíîé ãðóïïîéDDSDSAA9. Äåéñòâèå ãðóïïû íà ìíîæåñòâåÏóñòü G ãðóïïà è M ìíîæåñòâî. Ñêàæåì, ÷òî G(ñëåâà) íà M , åñëè çàäàíî òàêîå îòîáðàæåíèåâóåòSäåéñò-G × M → M, (g, x) → gx,÷òî1) ex = x, x ∈ M ;2) (gh)x = g(hx), g, h ∈ G, x ∈ M .Åñëè G äåéñòâóåò íà M , òî äëÿ g ∈ G îïðåäåëåíî ïðåîáðàçîâàíèåΦg (x) = gx, x ∈ M.Èç 2) ñëåäóåò, ÷òî Φgh = Φg ◦ Φh . Äàëåå, Φg ◦ Φg−1 = Φe = idM .Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî âåðíî â ñèëó 1). Çíà÷èò, âñå ïðåîáðàçîâàíèÿ41SSýêâèâàëåíòíûìè-îðáèòàìèΦg îáðàòèìû, ò.
å. ïðèíàäëåæàò (M ). Èòàê, Φ : g → Φg ãîìîìîðôèçì ãðóïïû G â ãðóïïó (M ).Òî÷êè x, x′ ∈ M íàçûâàþòñÿîòíîñèòåëüíî′äåéñòâèÿ ãðóïïû G, åñëè x = gx äëÿ íåêîòîðîãî g ∈ G. Êëàññûýêâèâàëåíòíîñòè íàçûâàþòñÿ G. Îðáèòó, ñîäåðæàùóþ ýëåìåíò x0 , îáîçíà÷àþò ÷åðåç G(x0 ). Òàêèì îáðàçîì,G(x0 ) = {gx0 | g ∈ G}.CÏÐÈÌÅÐ 9.1. Ïóñòü G ∼= 4 ãðóïïà äâèæåíèé ïðàâèëüíîé÷åòûðåõóãîëüíîé ïèðàìèäû, M ìíîæåñòâî åå âåðøèí, çàíóìåðîâàííûõ êàê â ïðèìåðå 8.3. Ýëåìåíòû G äåéñòâóþò êàê âðàùåíèÿ âîêðóã âûñîòû ïèðàìèäû.
Îðáèòîé òî÷åê 2, 3, 4, 5 ñëóæèòìíîæåñòâî {2, 3, 4, 5}, à îðáèòîé òî÷êè 1 ñëóæèò ìíîæåñòâî èçîäíîé ýòîé òî÷êè. Ïóñòü x0 ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà èç M . Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâîSt(x0 ) = {g ∈ G | gx0 = x0 } ⊆ G.Êàê ëåãêî ïðîâåðèòü, St(x0 ) ïîäãðóïïà â G. Îíà íàçûâàåòñÿâ G òî÷êè x0 ∈ M .ÏÐÈÌÅÐ 9.2. Ïóñòü G è M òàêèå æå, êàê â ïðèìåðå 9.1.Òîãäà St(1) = G è St(i) = {e}, åñëè i = 2, 3, 4 èëè 5.  îáùåì ñëó÷àå èìååìñòàöèîíàðíîé ïîäãðóïïîégx0 = g ′ x0 ⇐⇒ g −1 g ′ ∈ St(x0 ) ⇐⇒ g ′ ∈ gSt(x0 ).Ñëåäîâàòåëüíî, ëåâûå ñìåæíûå êëàññû ãðóïïû G ïî ïîäãðóïïåSt(x0 ) íàõîäÿòñÿ â áèåêòèâíîì ñîîòâåòñòâèè ñ òî÷êàìè îðáèòûG(x0 ).
 ÷àñòíîñòè,|G(x0 )| = |G/St(x0 )| = (G : St(x0 )).(9.1)Ïóñòü x′0 = gx0 . Ïîëîæèì H = St(x0 ), H ′ = St(x′0 ). Åñëèh ∈ H , òîx′0 = gx0 = (ghg −1 )gx0 = (ghg −1 )x′0 = x′0 .Çíà÷èò, ghg −1 ∈ H ′ , ò. å. gHg −1 ⊆ H ′ . Àíàëîãè÷íî, åñëè h′ ∈ H ′ ,òîx0 = g −1 x′0 = g −1 h′ gx0 ,42îòêóäà h′ ∈ gHg −1 , ò. å.
H ′ ⊆ gHg −1 . Èòàê, H ′ = gHg −1 ;ïîäãðóïïû H è H ′ ñîïðÿæåíû:gSt(x0 )g −1 = St(x′0 ),Ìû âèäèì, ÷òî äîêàçàíî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.ÒÅÎÐÅÌÀ 9.1.G′Mx0 , x0 ∈ M:Ïóñòü ãðóïïà äåéñòâóåò íà ìíîæåñòâå. Åñëè äâå òî÷êèëåæàò â îäíîé îðáèòå, òî èõñòàöèîíàðíûå ïîäãðóïïû ñîïðÿæåíûx′0 = gx0 ⇒ St(x′0 ) = gSt(x0 )g −1 .Åñëè G êîíå÷íàÿ ãðóïïà èM = M1 ∪ M2 ∪ ... ∪ Mr ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà M íà êîíå÷íîå ÷èñëî îðáèò ñ ïðåäñòàâèòåëÿìè x1, x2, ..., xr , òî|M | =r∑(G : St(xi )). i=1ÏÐÈÌÅÐ 9.3.
Ïóñòü ãðóïïà G äåéñòâóåò íà ìíîæåñòâå M , èïóñòü R åùå îäíî ìíîæåñòâî. Òîãäà îïðåäåëåíî äåéñòâèå G íàRM . Îáîçíà÷èì ÷åðåç gx ðåçóëüòàò äåéñòâèÿ g ∈ G íà ýëåìåíòx ∈ M , à ÷åðåç Φg f ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ g ê f : M → R.Ïîëîæèì(Φg f )(x) = f (g −1 x).(9.2)Òîãäà1) (Φe f )(x) = f (ex) = f (x), ò. å. Φe f = f .2) (Φh f )(x) = f (h−1 x) = (f ◦ h−1 )(x), îòêóäà((Φg ◦ Φh )f )(x) = (Φg (f ◦ h−1 ))(x) = (f ◦ h−1 )(g −1 x) == f ((h−1 g −1 )(x)) = f ((gh)−1 (x)) = Φgh f (x).ò. å. Φgh = Φg ◦ Φh è ýòî â ñàìîì äåëå äåéñòâèå. 10. Ëåììà ÁåðíñàéäàÏóñòü êîíå÷íàÿ ãðóïïà G äåéñòâóåò íà êîíå÷íîì ìíîæåñòâåM . Äëÿ g ∈ G ïîëîæèìN (g) = |{x ∈ M | gx = x}|.43ÒÅÎÐÅÌÀ 10.1 (ëåììà Áåðíñàéäà).îðáèò.
ÒîãäàN=Ïóñòü N ÷èñëî G-1 ∑N (g).|G| g∈G(10.1)ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç MG ìíîæåñòâî Gîðáèò. Ïóñòü{1, åñëè gx = x,α(g, x) =0, åñëè gx ̸= x.Òîãäà ìû ïîëó÷èì, èñïîëüçóÿ òåîðåìó 9.1 è ôîðìóëó (9.1):∑∑∑∑∑ ∑N (g) =α(g, x) =α(g, x) =g∈G=g∈G x∈M∑∑G(x0 )∈MG x∈G(x0 ) g∈G|St(x)| ==∑|St(x0 )| =G(x0 )∈MG x∈G(x0 )G(x0 )∈MG x∈G(x0 )∑∑|G(x0 )| |St(x0 )| = |G| |MG | = |G|N,G(x0 )∈MGîòêóäà è ñëåäóåò òðåáóåìàÿ ôîðìóëà.
ÏÐÈÌÅÐ 10.1. Ïîìåñòèì â âåðøèíû ïðàâèëüíîé ÷åòûðåõóãîëüíîé ïèðàìèäû îäèíàêîâûå øàðèêè, êàæäûé èç êîòîðûõìîæíî îêðàñèòü â îäèí èç òðåõ öâåòîâ. Íàéäåì ÷èñëî N ðàçëè÷íûõ ðàñêðàøèâàíèé.Îáîçíà÷èì âåðøèíû ïèðàìèäû êàê óêàçàíî íèæå. Êàæäîìóøàðèêó ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå îäèí èç òðåõ öâåòîâ: êðàñíûé(r), çåëåíûé (g), ãîëóáîé (b). Íàïðèìåð,23gr 1 r →54gbCÓ íàñ M = {1, 2, 3, 4, 5}, R = {r, g, b}, ãðóïïà G ∼= 4 äåéñòâóåòíà M , êàê îïèñàíî â ïðèìåðå 8.3, à òîãäà è íà RM (ñì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
