Электронный курс лекций (1078552), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Íà ïåðåñå÷åíèèñòðîêè, îòâå÷àþùåé ýëåìåíòó x, è ñòîëáöà, îòâå÷àþùåãî ýëåìåíòó y , ïèøóò ðåçóëüòàò äåéñòâèÿ íàä ïàðîé (x, y), ò. å. x ∗ y . Ïîïîâîäó ïðèìåðîâ ñì. íèæå ï. 1.Ïóñòü (X, ∗) ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî ñ îïåðàöèåé. Îïåðàöèÿ íàçûâàåòñÿ, åñëè äëÿ âñÿêîé òðîéêè ýëåìåíòîâ x, y, z ∈ X èìååìàññîöèàòèâíîé(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z).êîììóòàòèâíîéÎïåðàöèÿ íàçûâàåòñÿ, åñëè äëÿ âñÿêîé ïàðûýëåìåíòîâ x, y ∈ X âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâîx ∗ y = y ∗ x.íåéòðàëüíûì (ïî îòíîøåíèþ ê ýòîé îïåðà-Ýëåìåíò e íàçûâàåòñÿöèè), åñëè äëÿ âñåõ x ∈ X èìååìx ∗ e = e ∗ x = x.ÇÀÄÀ×À 4.1. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè íåéòðàëüíûé ýëåìåíò ñóùåñòâóåò, òî îí åäèíñòâåííûé.Íåéòðàëüíûé ýëåìåíò ïî îòíîøåíèþ ê ñëîæåíèþ íàçûâàåòñÿ, ïî îòíîøåíèþ ê óìíîæåíèþ .Ïóñòü äëÿ îïåðàöèè * ñóùåñòâóåò íåéòðàëüíûé ýëåìåíò e.Ýëåìåíò y íàçûâàåòñÿê ýëåìåíòó x (à x îáðàòíûìê y ), åñëèx ∗ y = y ∗ x = e.íóëåìåäèíèöåéîáðàòíûìÏÐÈÌÅÐ 4.1.
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë (Z, +, .)ñ îáû÷íûìè îïåðàöèÿìè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ. Îáå îïåðàöèè12àññîöèàòèâíû è êîììóòàòèâíû, äëÿ íèõ ñóùåñòóþò íåéòðàëüíûåýëåìåíòû 0 äëÿ ñëîæåíèÿ è 1 äëÿ óìíîæåíèÿ. Ïî îòíîøåíèþê ñëîæåíèþ ó êàæäîãî ýëåìåíòà n åñòü îáðàòíûé ýëåìåíò −n.Ïî îòíîøåíèþ ê óìíîæåíèþ îáðàòèìû òîëüêî äâà ýëåìåíòà 1 è −1. Èç âñåãî ìíîãîîáðàçèÿ ìíîæåñòâ ñ îïåðàöèÿìè èñòîðè÷åñêèâûäåëèëèñü íåêîòîðûå, èìåþùèå â íàñòîÿùåå âðåìÿ çíà÷èòåëüíîå ïðèìåíåíèå.
Ìû áóäåì èçó÷àòü â îñíîâíîì òàê íàçûâàåìûåãðóïïû è êîëüöà. Ñêàæåì åùå íåñêîëüêî ñëîâ î ñòðóêòóðå,íàçûâàåìîé ïîëóãðóïïîé.íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî ñîäíîé àññîöèàòèâíîé îïåðàöèåé. Åñëè ñóùåñòâóåò íåéòðàëüíûéýëåìåíò, òî ïîëóãðóïïà íàçûâàåòñÿ. Åñëè îïåðàöèÿ êîììóòàòèâíà, ïîëóãðóïïà íàçûâàåòñÿ. Ïðèìåðîì ïîëóãðóïïû ñëóæèò ìíîæåñòâî (N, +) íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ñ îïåðàöèåé ñëîæåíèÿ.
Ýòà ïîëóãðóïïà êîììóòàòèâíà. Ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë (N, .) îïåðàöèåé óìíîæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ êîììóòàòèâíîé ïîëóãðóïïîé ñ åäèíèöåé.ÏÐÈÌÅÐ 4.2. Ìíîæåñòâî âñåõ ïðåîáðàçîâàíèé äàííîãî ìíîæåñòâà X ñ îïåðàöèåé êîìïîçèöèè åñòü ïîëóãðóïïà (âîîáùå ãîâîðÿ, íåêîììóòàòèâíàÿ) ñ åäèíèöåé idX . ÒÅÎÐÅÌÀ 4.1.Xx1 x2 ...xn , xi ∈ XÄîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû íåñëîæíî ïîëó÷èòü èíäóêöèåéïî n. Êàê ñëåäóåò èç òåîðåìû 4.1, çíà÷åíèå ïðîèçâåäåíèÿ xx...x (nðàç) íå çàâèñèò îò ðàññòàíîâêè ñêîáîê. Îíî îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåçxn .  ñëó÷àå ïîëóãðóïïû ñ åäèíèöåé ïîëàãàþò òàêæå x0 = e.Ïîëóãðóïïîéïîëóãðóïïîé ñ åäèíèöåéêîììóòà-òèâíîéÏóñòü ïîëóãðóïïà. Òîãäà ïðîèçâåäåíèåíå çàâèñèò îò ðàññòàíîâêè ñêîáîê.5.
ÌàòðèöûÌàòðèöåé (ðàçìåðà m×n) íàçûâàåòñÿ ïðÿìîóãîëüíàÿ òàáëèöà ÷èñåëÎïðåäåëåíèå ìàòðèö. Äåéñòâèÿ íàä ìàòðèöàìè.Aa11 a12 a21 a22= ......am1 am2... a1n... a2n .... ... ... amn(5.1)Ó äàííîé ìàòðèöû m ñòðîê è n ñòîëáöîâ. ×èñëà aij íàçûâàþòñÿýëåìåíòàìè ìàòðèöû. Ìàòðèöà = T ðàçìåðà n×m, ýëåìåíòûêîòîðîé âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì bij = aji íàçûâàåòñÿ ìàòðè-B A13öåé,òðàíñïîíèðîâàííîé ê A. Òàêèì îáðàçîì,AT... am1...
am2 .... ... ... anma11 a21 a12 a22= ......a1m a2mOêâàäðàòíîéâåðõíåé òðåóãîëüíîéÍóëåâîé ìàòðèöåéíàçûâàåòñÿ ìàòðèöà , âñå ýëåìåíòû êîòîðîé íóëè. Ìàòðèöà íàçûâàåòñÿ, åñëè m = n. Êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà íàçûâàåòñÿ, åñëè âñå åå ýëåìåíòû, ëåæàùèå íèæå äèàãîàëè, ðàâíû íóëþ:aij = 0,i > j.íèæíÿÿ òðåóãîëüíàÿäèàãîíàëüíîéÀíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿìàòðèöà. Êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà íàçûâàåòñÿ, åñëè âñå åå ýëåìåíòû,êðîìå äèàãîíàëüíûõ, ðàâíû íóëþ. Äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, âñåäèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû êîòîðîé ðàâíû, íàçûâàåòñÿ.Ñêàëÿðíàÿ ìàòðèöà, âñå ýëåìåíòû êîòîðîé ðàâíû 1, íàçûâàåòñÿè îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç (èëè n , åñëè íóæíî óêàçàòüðàçìåð).Åñëèè äâå ìàòðèöû îäíîãî è òîãî æå ðàçìåðà m × n,òî îïðåäåëåíà èõ ñóììà = + .
Ìû ïîëàãàåìñêàëÿðíîéEåäèíè÷íîéA BEC A Bcij = aij + bij ,i = 1...m,A Bj = 1, ..., n.Ïóñòü è ìàòðèöû ðàçìåðà m×n è n×k ñîîòâåòñòâåííî.Òîãäà îïðåäåëåíî èõ ïðîèçâåäåíèå =. Ýòî ìàòðèöà ðàçìåðà m × k , ýëåìåíòû êîòîðîé âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàìcij =C ABn∑ais bsj ,i = 1, ..., m,j = 1, ..., k.s=1ÇÀÄÀ×À 5.1. Äîêàæèòå ñëåäóþùèå ôîðìóëû:A + B = B + A , A + O = O + A = A.ÏÐÈÌÅÐ 5.1. Ïóñòü1= 20A21 ,1B14()1 2 −1=.2 2 1ÒîãäàAB5 6 1= 4 6 −1 ,2 2 1BA)(5 3. =6 7ÇÀÄÀ×À 5.2. Äîêàæèòå ñëåäóþùèå ôîðìóëû:AE = EA = A, AO = OA = O,(A + B)C = AC + BC, C(A + B) = CA + CB.ÒÅÎÐÅÌÀ 5.1.
Óìíîæåíèå ìàòðèö àññîöèàòèâíî.ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Ìû äîëæíû ïðîâåðèòü, ÷òî åñëè ìàòðèöû A, B è C òàêîâû, ÷òî ñóùåñòâóåò ïðîèçâåäåíèå (AB)C, òîïðîèçâåäåíèå A(BC) òàêæå ñóùåñòâóåò è(AB)C = A(BC).Òàê êàê ïåðâîå èç ðàññìàòðèâàåìûõ ïðîèçâåäåíèé îïðåäåëåíî,òî ìàòðèöû èìåþò ðàçìåð m×n, n×k, k×l; ïîýòîìó ñóùåñòâóåò èâòîðîå ïðîèçâåäåíèå. Ïîëîæèì =, =, =, =. ÈìååìD AB F DC G DC HAFfij =k∑dis csj =s=1k ∑nk ∑n∑∑(air brs )csj =air brs csj .s=1 r=1(5.2)s=1 r=1Ñ äðóãîé ñòîðîíû,hij =n∑air grj =r=1n∑r=1kn ∑k∑∑air (brs csj ) =air brs csj .s=1(5.3)r=1 s=1Êàê ëåãêî âèäåòü, ñóììû (5.2) è (5.3) ðàâíû (áåðåòñÿ ñóììà ïîêëåòêàì ïðÿìîóãîëüíîé òàáëèöû; ìîæíî ñíà÷àëà âçÿòü ñóììóïî ñòîëáöàì, à ïîòîì ïî ñòðîêàì, èëè íàîáîðîò. Ðåçóëüòàò îòýòîãî íå çàâèñèò).
Èòàê, fij = hij äëÿ âñåõ i è j . Ïóñòü êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà. Ìàòðèöàíàçûâàåòñÿê , åñëè== .ABîáðàòíîé AAB BA EÅñëè îáðàòíàÿ ìàòðèöà ñóùåñòâóåò, òî îíà åäèíñòâåííà. Âñàìîì äåëå, ïóñòü åùå îäíà ìàòðèöà, îáðàòíàÿ ê . Çíà÷èò,ÑAC = CA = E.15AÎòñþäàB(AC) = BE = B.Ñëåäîâàòåëüíî,B = B(AC) = (BA)C = EB = C.Ìàòðèöà, îáðàòíàÿ A, îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç A . çàêëþ÷åíèå ýòîãî ðàçäåëà íåñêîëüêî çàäà÷.ÇÀÄÀ×À 5.3.
Äîêàæèòå, ÷òî åñëè A è B êâàäðàòíûåìàòðèöû îäíîãî ïîðÿäêà, ïðè÷åì A èB ñóùåñòâóþò, òî ñóùåñòâóåòè (AB) , è èìååò ìåñòî ôîðìóëà(AB) = B A .−1−1−1−1−1−1−1ÇÀÄÀ×À 5.4. Äîêàæèòå ôîðìóëûA + B)B , (AB) = B A .Äëÿ êâàäðàòíîé ìàòðèöû A îïðåäåëèì åå ñëåä, êàê ñóììó(T=AT+TTTTäèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ:TrA=a11+ a22 + ... + ann .ÇÀÄÀ×À 5.5. Äîêàæèòå, ÷òîTr(A + B) = Tr A + Tr B,TrAB = Tr(B A).Ïðèâåäåíèå êâàäðàòíîé ìàòðèöû ê òðåóãîëüíîìó âè-ýëåìåíòàðíûìýëåìåíòàðíîå ïðå-Ðàññìîòðèì êâàäðàòíóþ ìàòðèöó.
ÍàçîâåìIýòîé ìàòðèöû ïðåñòàíîâêó ìåñòàìè äâóõåå ñòðîê. Ñêàæåì, ÷òî ê ìàòðèöå ïðèìåíåíîII, åñëè âñå åå ñòðîêè, êðîìå i-é, îñòàþñÿíåèçìåííûìè, à ýëåìåíòû i-é ñòðîêè çàìåíÿþòñÿ ñîîòâåòñòâåííîýëåìåíòàìèa′ij = aik + λajk , k = 1, ..., n.äó.ïðåîáðàçîâàíåì ãî ðîäàîáðàçîâàíèå ãî ðîäàýëåìåíòàðíîìÇäåñü λ ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî. Íàêîíåö, ïðèIIIñòðîêà ìàòðèöû óìíîæàåòñÿ íà íåíóëåâîå ÷èñëî.Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñòîëáöîâ.ïðåîáðàçîâàíèèãî ðîäà16ÇÀÄÀ×À 5.6. Äîêàæèòå, ÷òîèç ìàòðèö0 1 0 ... 0 1 0 0 ... 0 0 0 1 ... 0 ,... ... ... ... ...0 0 ... ...
1ïðè óìíîæåíèè ñëåâà íà îäíó100...0λ10...0001......000...1...............íàä 1-é è 2-é ñòðîêàìè ìàòðèöû A ïðîèñõîäèò ïðåîáðàçîâàíèå Iãî è II-ãî ðîäà ñîîòâåòñòâåííî. Óêàæèòå ìàòðèöó, ïðè óìíîæåíèèíà êîòîðóþ ñëåâà 1-ÿ ñòðîêà ìàòðèöû A óìíîæàåòñÿ íà λ. ×òîïðîèçîéäåò ñ ìàòðèöåé, åñëè ýòè ìàòðèöû óìíîæàòü ñïðàâà?ßñíî, ÷òî àíàëîãè÷íîå âåðíîè äëÿ ïðîèçâîëüíûõ i-é è j -éñòðîê.ÒÅÎÐÅÌÀ 5.2.IIIÝëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè èëþáóþ êâàäðàòíóþ ìàòðèöó ìîæíî ïðèâåñòè ê âåðõíåìó òðåóãîëüíîìó âèäó.ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Åñëè â ïåðâîì ñòîëáöå äàííîé ìàòðèöûA âñå ýëåìåíòû íóëåâûå, òî ìîæíî ðàññìîòðåòü ìàòðèöó A′,ïîëó÷åííóþ èç A âû÷åðêèâàíèåì ïåðâûõ ñòðîêè è ñòîëáöà èäåéñòâîâàòü ïî èíäóêöèè.
Ïîýòîìó áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â ïåðâîìñòîëáöå åñòü íåíóëåâîé ýëåìåíò. Ïåðåñòàíîâêîé ñòðîê ìîæíîäîáèòüñÿ òîãî, ÷òîáû a11 ̸= 0. Âû÷èòàÿ èç i-é ñòðîêè ïåðâóþ,óìíîæåííóþ íà a−111 ai1 , ìû ïîëó÷èì ìàòðèöóa11 a12 ... a1n 0 a′22 ... a′2n ... ... ... ... .0 a′n2 ... a′nnÄàëåå ïðèìåíÿåì òå æå ðàññóæäåíèÿ ê ìàòðèöåìû ïîëó÷èì ìàòðèöó âèäà ′′ ′′′′′′ a11 a12 a13 ... a1n 0 a′′ ...
... a′′ 222n ′′′′ 00a...a332n , ... ... ... ... ... ′′000 ... annêàê è òðåáîâàëîñü. 17A .  ðåçóëüòàòå′Îòìåòèì, ÷òî íåêîòîðûå èç äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ ïîëó÷åííîé òðåóãîëüíîé ìàòðèöû ìîãóò áûòü ðàâíû íóëþ.6. ÎïðåäåëèòåëèAÎïðåäåëåíèå è ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà. Ïóñòü= (aij ) ìàòðèöà ðàçìåðà n × n.
Íàçîâåìýòîé ìàòðèöûñóììó∑det= | aij | =ε(σ)a1σ(1) a2σ(2) ...anσ(n) ,(6.1)îïðåäåëèòåëåìAσðàñïðîñòðàíåííóþ íà âñå ïîäñòààíîâêè íà n ýëåìåíòàõ.ÏÐÈÌÅÐ 6.1. Èìååì ïðè n = 2:a11 a12 a21 a22 = a11 a22 − a12 a21 . ÏÐÈÌÅÐ 6.2.a11 a12a21 a22a31 a32Èìååì ïðè n = 3:a13 a23 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 −a33 −a12 a21 a33 − a13 a22 a31 − a11 a23 a32 . Âûâåäåì íåêîòîðûå ñâîéñòâà îïðåäåëèòåëåé.ÏÐÅÄËÎÆÅÍÈÅ 6.1.ñïîíèðîâàíèè.Îïðåäåëèòåëü íå ìåíÿåòñÿ ïðè òðàí-ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Âñÿêèé ÷ëåí îïðåäåëèòåëÿ èìååò âèäa1σ(1) a2σ(2) ...anσ(n) .(6.2)Çíàê ÷ëåíà îïðåäåëÿåòñÿ ÷åòíîñòüþ ïîäñòàíîâêè σ .
Ïðè ðàçëîæåíèè îïðåäåëèòåëÿ òðàíñïîíèðîâàííîé ìàòðèöû âûðàæåíèå(6.2) òàêæå âñòðåòèòñÿ, à çíàê åãî áóäåò ðàâåí ε(σ) = ε(σ −1 ).Çíà÷èò, îïðåäåëèòåëè ðàâíû. ÏÐÅÄËÎÆÅÍÈÅ 6.2.Åñëè ñòðîêà îïðåäåëèòåëÿ ñîñòîèòèç íóëåé, òî îïðåäåëèòåëü ðàâåí íóëþ.ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ.
Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü âñå ýëåìåíòûi-é ñòðîêè îïðåäåëèòåëÿ ÿâëÿþòñÿ íóëÿìè.  êàæäûé ÷ëåíîïðåäåëèòåëÿ äîëæåí âîéòè ìíîæèòåëåì îäèí ýëåìåíò i-é ñòðîêè,ïîýòîìó âñå ÷ëåíû îïðåäåëèòåëÿ ðàâíû íóëþ, è îí ñàì ðàâåííóëþ. ÏÐÅÄËÎÆÅÍÈÅ 6.3.ëèòåëü ìåíÿåò çíàê.Ïðè ïåðåñòàíîâêå äâóõ ñòðîê îïðåäå18ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Ïóñòü ìåíÿþòñÿ ìåñòàìè i-ÿ è j -ÿ ñòðîêè. Åñëè (6.2) ÷ëåí îïðåäåëèòåëÿ, òî âñå åãî ìíîæèòåëè íîâîìîïðåäåëèòåëå îñòàþòñÿ â ðàçíûõ ñòðîêàõ è ñòîëáöàõ. Òàêèìîáðàçîì, îáà îïðåäåëèòåëÿ ñîñòîÿò èç îäíèõ è òåõ æå ñëàãàåìûõ.Ñëàãàåìîìó (6.2) â èñõîäíîì îïðåäåëèòåëå ñîîòâåòñòâóåò ïîäñòàíîâêà()12...i...j...n,σ(1) σ(2) ... σ(i) ...
σ(j) ... σ(n)à â íîâîì îïðåäåëèòåëå ïîäñòàíîâêà()12...i... j...n,σ(1) σ(2) ... σ(j) ... σ(i) ... σ(n)Ñîãëàñíî òåîðåìå 2.2 ýòè ïîäñòàíîâêè èìåþò ðàçíûå ÷åòíîñòè.Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî âñå ÷ëåíû íîâîãî îïðåäåëåèòåëÿ âõîäÿòè â ñòàðûé, íî ñ ïðîòèâîïîëîæíûìè çíàêàìè; îïðåäåëèòåëèîòëè÷àþòñÿ çíàêîì. ÏÐÅÄËÎÆÅÍÈÅ 6.4.Îïðåäåëèòåëü, ñîäåðæàùèé äâå îäèíàêîâûå ñòðîêè, ðàâåí íóëþ.ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Ïðè ïåðåñòàíîâêå äâóõ îäèíàêîâûõñòðîê îïðåäåëèòåëü, î÷åâèäíî, íå èçìåíèòñÿ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû,îí ìåíÿåò çíàê. Ýòî âîçìîæíî òîëüêî, åñëè îí ðàâåí íóëþ. ÏÐÅÄËÎÆÅÍÈÅ 6.5.Åñëè âñå ýëåìåíòû íåêîòîðîé ñòðîêèîïðåäåëèòåëÿ óìíîæèòü íà íåêîòîðóþ êîíñòàíòó, òî è îïðåäåëèòåëü óìíîæèòñÿ íà ýòó êîíñòàíòó.ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
