Электронный курс лекций (1078552), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Çíà÷èò, ýòè ãðóïïû íåèçîìîðôíû.ÇÀÄÀ×À 1.8. Äîêàçàòü, ÷òî ïîðÿäêè ñîïðÿæåííûõ ýëåìåíòîâðàâíû.ÇÀÄÀ×À 1.9. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ïîðÿäêè âñåõ íååäèíè÷íûõýëåìåíòîâ ãðóïïû ðàâíû 2, òî ãðóïïà àáåëåâà.ÇÀÄÀ×À 1.10. Ïóñòü o(x) = k è xn = e. Òîãäà n = kl.Óêàçàíèå: n = kl + r, 0 ≤ r < k .ÒÅÎÐÅÌÀ 1.1 (Êýëè).SnnÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Ïóñòü G êîíå÷íàÿ ãðóïïà è |G| = n.Äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà a ∈ G ðàññìîòðèì ëåâûé ñäâèã la . ÝòîñîïðÿæåííûìèSïîðÿäêîìïîäãðóïïå ãðóïïûËþáàÿ êîíå÷íàÿ ãðóïïà èçîìîðôíàäëÿ íåêîòîðîãî .32Sýëåìåíò ãðóïïû S(G) = n . Ìû ïîëó÷àåì îòîáðàæåíèå f : G →n , îïðåäåëåííîå ôîðìóëîé f (a) = la . Óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî f èíúåêòèâíûé ãîìîìîìîðôèçì.
 ñàìîì äåëå, f (ab) = lab = la ◦ lbè åñëè la (x) = lb (x), òî ax = bx, îòêóäà a = b. Èòàê, f îòîáðàæàåòG èçîìîðôíî íà ïîäãðóïïó f (G) ⊂ n . ÇÀÄÀ×À 1.11. Ïóñòü f è g àâòîìîðôèçìû ãðóïïû G.Äîêàæèòå, ÷òî f ◦ g è f −1 òîæå àâòîìîðôèçìû.ÇÀÄÀ×À 1.12 ïîêàçûâàåò, ÷òî àâòîìîðôèçìû ãðóïïû G îáðàçóþò ïîäãðóïïó â ãðóïïå S(G). Ýòà ãðóïïà îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåçAut G.SS2. Ïîðîæäàþùèå ìíîæåñòâàÊàê ëåãêî âèäåòü, ïåðåñå÷åíèå ëþáîãî ìíîæåñòâà ïîäãðóïï ïîäãðóïïà. Ïóñòü G ãðóïïà è M ⊆ G ïîäìíîæåñòâî.Ïåðåñå÷åíèå âñåõ ïîäãðóïï ãðóïïû G, ñîäåðæàùèõ M , íàçûâàåòñÿ ïîäãðóïïîé, ïîðîæäåííîé ìíîæåñòâîì M , à ñàìî M ïîðîæäàþùèì ìíîæåñòâîì ïîäãðóïïû < M >.ÏÐÈÌÅÐ 2.1.
Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ñèììåòðè÷åñêàÿ ãðóïïàn ïîðîæäàåòñÿ âñåâîçìîæíûìè òðàíñïîçèöèÿìè (ij). Òàê êàêS(ij) = (1j)(1i)(1i),òîSïîðîæäàåòñÿ äàæå òðàíñïîçèöèÿìè (12), (13), ..., (1n).ÏÐÈÌÅÐ 2.2. Çíàêîïåðåìåííàÿ ãðóïïà n ïîðîæäàåòñÿ âñåâîçìîæíûìè òðîéíûìè öèêëàìè (ijk), òàê êàê ÷åòíàÿ ïîäñòàíîâêà åñòü ïðîèçâåäåíèå ÷åòíîãî ÷èñëà òðàíñïîçèöèé èAn(ij)(ik) = (ikj),(ij)(kl) = (jkl)(ilj).Ïîäãðóïïà < a >, ïîðîæäåííàÿ îäíèì ýëåìåíòîì a, íàçûâàåòñÿ. Ýëåìåíò a íàçûâàåòñÿýòîé ãðóïïû.ÏÐÈÌÅÐ 2.3. Ãðóïïà Z = (Z, +) öèêëè÷åñêàÿ.ÏÐÈÌÅÐ 2.4. Ãðóïïà Zn öèêëè÷åñêàÿ.ÒÅÎÐÅÌÀ 2.1.ZZnÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Ïóñòü G áåñêîíå÷íàÿ öèêëè÷åñêàÿãðóïïà, è g åå îáðàçóþùàÿ.
Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå f : G →Z, îïðåäåëåííîå ôîðìóëîé f (g n ) = n, n ∈ Z. Ëåãêî âèäåòü, ÷òîöèêëè÷åñêîéîáðàçóþùåéËþáàÿ áåñêîíå÷íàÿ öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà èçîìîðôíà ãðóïïå . Ëþáàÿ öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà êîíå÷íîãî ïîðÿäêàèçîìîðôíà ãðóïïå .33ýòî îòîáðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì ãðóïïû G íà ãðóïïóZ.Ïóñòü òåïåðü G êîíå÷íàÿ öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà è g ååîáðàçóþùàÿ. Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå f : G → Zn , îïðåäåëåííîåôîðìóëîé f (g k ) = [k], ãäå [k] îçíà÷àåò êëàññ âû÷åòîâ ïî ìîäóëþn ÷èñëà k . Ýòî îòîáðàæåíèå êîððåêòíî îïðåäåëåíî è, êàê ëåãêîïðîâåðèòü, ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì ãðóïïû G íà ãðóïïó Zn . ÒÅÎÐÅÌÀ 2.2.ëè÷åñêàÿ.Ëþáàÿ ïîäãðóïïà öèêëè÷åñêîé ãðóïïû öèê-ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ.
Ïóñòü G öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà ïîðÿäêà n ñ îáðàçóþùåé g è H åå íååäèíè÷íàÿ ïîäãðóïïà. Ïóñòü k íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî ñî ñâîéñòâîì g k ∈ H . Èìååìn = kl + r, 0 ≤ r < k . Òîãäà g r ∈ H , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò âûáîðó÷èñëà k . Çíà÷èò, k åñòü äåëèòåëü ÷èñëà n.Ïîäãðóïïà H ñîäåðæèò öèêëè÷åñêóþ ïîäãðóïïó, ïîðîæäåííóþ ýëåìåíòîì g k . Ïóñòü îíà ñîäåðæèò åùå ýëåìåíò g m è m =kl + r, 0 < r < k .
Òîãäà g r ∈ H , ÷òîü ïðîòèâîðå÷èò âûáîðó k .Çíà÷èò H =< g k >.Äëÿ áåñêîíå÷íîé öèêëè÷åñêîé ãðóïïû G äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî. ÇÀÄÀ×À 2.3. Íàéòè ãðóïïû Aut Z3 , Aut Z4 , Aut Z5 .3. Íîðìàëüíûå ïîäãðóïïû. ÔàêòîðãðóïïûÏóñòü G ãðóïïà èZ(G) = {x ∈ G | ax = xa äëÿ âñåõ a ∈ G}.öåíòðîìÒîãäà Z(G) íàçûâàåòñÿãðóïïû G. Êàê ëåãêî âèäåòü,Z(G) ïîäãðóïïà ãðóïïû G.ÏÐÈÌÅÐ 3.1. Åñëè G àáåëåâà, òî åå öåíòð ñîâïàäàåò ñ G.ÇÀÄÀ×À 3.1.
Êàêîâ öåíòð ãðóïïû(n, R)?Ïîäãðóïïà H ãðóïïû G íàçûâàåòñÿ,åñëè äëÿ âñåõ g ∈ G è âñåõ h ∈ H èìååìGLíîðìàëüíîé ïîäãðóïïîéghg −1 ∈ H.ÇÀÄÀ×À 3.2. Äîêàçàòü, ÷òî öåíòð íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà.ÇÀÄÀ×À 3.3. Äîêàçàòü, ÷òî ëþáàÿ ïîäãðóïïà àáåëåâîé ãðóïïû íîðìàëüíà.34AÇÀÄÀ×À 3.4. Äîêàçàòü, ÷òî n åñòü íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïàâ n.Ïóñòü f : G → G′ ãîìîìîðôèçì, è ïóñòü H = Ker f . Åñëèh ∈ H è x ∈ G, òî f (xhx−1 ) = e è xhx−1 ∈ H . Çíà÷èò, H íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà â G. Òàêèì îáðàçîì, ÿäðî ãîìîìîðôèçìà íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî âåðíî è îáðàòíîå ëþáàÿ íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà ñëóæèò ÿäðîì íåêîòîðîãî ãîìîìîðôèçìà.
Ýòî ìû óñòàíîâèì ïîçæå.Ïóñòü G ãðóïïà è H åå ïîäãðóïïà. ÏîëîæèìSgH = {gh | h ∈ H}.ëåâûìè ñìåæíûìè êëàññàìèÌíîæåñòâà gH íàçûâàþòñÿãðóïïûG ïî ïîäãðóïïå H . Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ïðàâûå ñìåæíûåêëàññû. Êàæäûé ýëåìåíò êëàññà íàçûâàåòñÿ ïðåäñòàâèòåëåìýòîãî êëàññà. Ëåãêî âèäåòü, ÷òîaH = bH ⇐⇒ a−1 b ∈ H,Ha = Hb ⇐⇒ ab−1 ∈ H.Ýòî ïîçâîëÿåò äðóãèì ïóòåì ïîäîéòè ê ïîíÿòèþ ñìåæíûõ êëàññîâ. À èìåííî, ñ ïîäãðóïïîé H ñâÿæåì îòíîøåíèå ëåâîé ñìåæíîñòè, ïîëàãàÿ ïî îïðåäåëåíèþa ∼ b ⇐⇒ a−1 b ∈ H.Êàê ëåãêî âèäåòü, ìû ïîëó÷èëè îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè,ïðè÷åì êëàññàìè ýêâèâàëåíòíîñòè ñëóæàò â òî÷íîñòè ëåâûå ñìåæíûå êëàññû. Äëÿ ïðàâûõ êëàññîâ àíàëîãè÷íî.ÏÐÈÌÅÐ 3.1.
Ðàññìîòðèì ðàçëîæåíèå ãðóïïû 3 íà ëåâûå èïðàâûå ñìåæíûå êëàññû ïî ïîäãðóïïå < (12) >:SS = {e, (12)} ∪ {(13), (123)} ∪ {(23), (132)};S = {e, (12)} ∪ {(13)(132)}, ∪{(23), (123)}.33Ìû âèäèì, ÷òî ðàçëîæåíèÿ íà ïðàâûå è ëåâûå ñìåæíûå êëàññûìîãóò íå ñîâïàäàòü. Òàê êàê ñîîòâåòñòâèå, ïðè êîòîðîì êëàññó gH îòâå÷àåò êëàññHg −1 , áèåêòèâíî, òî ìîùíîñòü ìíîæåñòâà ëåâûõ ñìåæíûõ êëàññîâ ðàâíà ìîùíîñòè ìíîæåñòâà ïðàâûõ ñìåæíûõ êëàññîâ. Îíàíàçûâàåòñÿïîäãðóïïû H â G è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç(G : H).èíäåêñîì35S AÇÀÄÀ×À 3.1. ×åìó ðàâíî ( n : n )?Ìíîæåñòâî ëåâûõ ñìåæíûõ êëàññîâ ãðóïïû G ïî ïîäãðóïïåH îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç G/H .ÒÅÎÐÅÌÀ 3.1(Ëàãðàíæà).HG,|G| = |H|.(G : H).ãðóïïûòîÅñëè ïîäãðóïïà êîíå÷íîéÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ.
Êàæäûé ëåâûé ñìåæíûé êëàññ ïî ïîäãðóïïå H ñîäåðæèò |H| ýëåìåíòîâ, à ÷èñëî ñìåæíûõ êëàññîâðàâíî |G/H|. ÑËÅÄÑÒÂÈÅ.Ïîðÿäîê ïîäãðóïïû äåëèò ïîðÿäîê ãðóïïû. Ïîðÿäîê ëþáîãî ýëåìåíòà äåëèò ïîðÿäîê ãðóïïû. Ãðóïïà ïðîñòîãîïîðÿäêà âñåãäà öèêëè÷åñêàÿ è ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà åäèíñòâåííàÿ. Äëÿ ëþáûõ äâóõ ïîäìíîæåñòâ A, B ⊆ G îïðåäåëèì èõ ïðîèçâåäåíèåAB = {ab | a ∈ A, b ∈ B}.ÇÀÄÀ×À 3.2. Åñëè A è B ïîäãðóïïû, òî AB íå îáÿçàòåëüíî ïîäãðóïïà.ÇÀÄÀ×À 3.3.
Åñëè A è B ïîäãðóïïû, ïðè÷åì A íîðìàëüíà,òî AB è BA ïîäãðóïïû.ÇÀÄÀ×À 3.4. Åñëè A è B íîðìàëüíûå ïîäãðóïïû, òî AB òàêæå íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà.Ïóñòü òåïåðü H íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà â G. Òîãäà â ìíîæåñòâå ñìåæíûõ êëàññîâ G/H ìîæíî åñòåñòâåííûì îáðàçîì îïðåäåëèòü ñòðóêòóðó ãðóïïû.
 ñàìîì äåëå, èìååò ìåñòî ëåãêî ïðîâåðÿåìàÿ ôîðìóëà(xH)(yH) = xyH.Òàêèì îáðàçîì, îïðåäåëåíî ïðîèçâåäåíèå íà ìíîæåñòâå ñìåæíûõêëàññîâ. Ýòî îïðåäåëåíèå êîððåêòíî, ò. å. åñëè x′ H = xH, y ′ H =yH , òî x′ y ′ H = xyH . Îïåðàöèÿ, î÷åâèäíî, àññîöèàòèâíà, èìååòåäèíèöó êëàññ eH = H è äëÿ êëàññà xH ñóùåñòâóåò îáðàòíûé êëàññ x−1 H .Ïîñòðîåííàÿ ãðóïïà G/H íàçûâàåòñÿãðóïïûG ïî íîðìàëüíîé ïîäãðóïïå H .ÏÐÈÌÅÐ 3.2. Ôàêòîðãðóïïà n / n ∼= Z2 .
ÇÀÄÀ×À 3.6. Äîêàçàòü, ÷òî ïîäãðóïïà H íîðìàëüíà â Gòîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà xH = Hx äëÿ ëþáîãî x ∈ G.ôàêòîðãðóïïîéS A36ÇÀÄÀ×À 3.7. Äîêàçàòü, ÷òî ëþáàÿ ïîäãðóïïà èíäåêñà 2 íîðìàëüíà.6. Ïðÿìûå ïðîèçâåäåíèÿ ãðóïïÏóñòü G1 , ..., Gn ãðóïïû. Ðàññìîòðèì ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèåìíîæåñòâ G1 × ... × Gn , ò. å. ìíîæåñòâî íàáîðîâ (g1 , ..., gn ), ãäågi ∈ Gi . Îïðåäåëèì â ýòîì ìíîæåñòâå îïåðàöèþ(g1 , ..., gn )(h1 , ..., hn ) = (g1 h1 , ..., gn hn ).Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ïðè ýòîì ìû ïîëó÷àåì ãðóïïó. Îíà îáîçíà÷àåòñÿ òàêæå ÷åðåç G1 × ... × Gn è íàçûâàåòñÿ (âíåøíèì)ãðóïï G1 , ..., Gn .Çàìåòèì, ÷òî îòîáðàæåíèå fi : Gi → G, îïðåäåëåííîå ôîðìóëîéfi (gi ) = (e, ..., e, gi , e, ..., e),ïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåìåñòü èçîìîðôèçì ãðóïïû Gi íà åå îáðàç â G = G1 ×...×Gn . Òàêèìîáðàçîì, ãðóïïû Gi ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïîäãðóïïû â G.ÇÀÄÀ×À 6.1.
Gi åñòü íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà â G.ÏÐÈÌÅÐ 6.1. Ïóñòü G1 = Zp è G2 = Zq öèêëè÷åñêèåãðóïïû ïîðÿäêîâ p è q , ïðè÷åì p è q ïðîñòûå ÷èñëà. Òîãäàãðóïïà G1 × G2 öèêëè÷åñêàÿ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç a è b îáðàçóþùèå äàííûõ ãðóïï. Òîãäà (ab)pq = e. Åñëè (ab)p = e, òî bp = e.Èç bq = e ñëåäóåò òîãäà, ÷òî b = e, ÷òî íåâåðíî.  ñàìîì äåëå,ââèäó âçàèìíîé ïðîñòîòû ÷èñåë p è q ñóùåñòâóþò òàêèå öåëûåu è v , ÷òî pu + qv = 1 (ñì. òåîð. 2.5. ãë. II).
Çíà÷èò, b = bpu+qv =e. Àíàëîãè÷íî, íåâîçìîæíî è ðàâåíñòâî (ab)q = e. Ïîðÿäîêýëåìåíòà ab äåëèò ïîðÿäîê ãðóïïû G = G1 × G2 , ðàâíûé pq èðàâåí, ñëåäîâàòåëüíî, pq . Çíà÷èò, ãðóïïà G öèêëè÷åñêàÿ. ÇÀÄÀ×À 6.2. Äîêàçàòü óòâåðæäåíèå ïðèìåðà 6.1 â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî p è q âçàèìíî ïðîñòûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà.ÇÀÄÀ×À 6.3. Ðàññìîòðèì ÷åòâåðíóþ ãðóïïó ÊëåéíàV4 = {e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} ⊂S.4Äîêàçàòü, ÷òî V4 ∼= Z2 × Z2 .ÇÀÄÀ×À 6.4.
Ïóñòü G = G1 × G2 . Äîêàçàòü, ÷òîG/G1 ∼= G2 .(6.1)Åñëè èìååò ìåñòî (6.1), ýòî íå îçíà÷àåò, ÷òî G ∼= G1 × G2 .37ÏÐÈÌÅÐ 6.2.  ñèëó ïðèìåðà 6.1. èìååì Z6 ∼= Z3 × Z2 .Ðàññìîòðèì ãðóïïó G = 3 . Îíà ñîäåðæèò íîðìàëüíóþ ïîäãðóïïó G1 = 3 ∼= Z3 . ßñíî, ÷òî G/G1 ∼= Z2 , â òî âðåìÿ êàê ãðóïïû3 è Z6 íåèçîìîðôíû. ÒÅÎÐÅÌÀ 6.1. Ïóñòü G ãðóïïà, A è B åå íîðìàëüíûåïîäãðóïïû, ïðè÷åì G = AB è A ∩ B = {e}. Òîãäà G ∼= A × B.ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Èç ðàâåíñòâà G = AB ñëåäóåò, ÷òîëþáîé ýëåìåíò g ∈ G çàïèñûâàåòñÿ â âèäå g = ab, ãäå a ∈ A, b ∈−1B .
Åñëè ab = a1 b1 , a1 ∈ A, b1 ∈ B , òî a−1∈ A ∩ B.1 a = b1 bÇíà÷èò, a1 = a, b1 = b è çàïèñü g = ab îäíîçíà÷íà. Äàëåå, òàêêàê ïîäãðóïïà B íîðìàëüíà, èìååìSAS((a−1 b−1 a)b = b′ b ∈ Bè àíàëîãè÷íî [a, b] ∈ A. Òàê êàê A ∩ B = {e}, ýòî çíà÷èò, ÷òîab = ba.Îïðåäåëèì òåïåðü îòîáðàæåíèå f : G → A×B , ïîëàãàÿ f (g) =(a, b) äëÿ ëþáîãî g = ab. Èìååìf (gg ′ ) = f (aba′ b′ ) = f (aa′ bb′ ) = (aa′ , bb′ ) = (a, b)(a′ , b′ ) = f (g)f (g ′ ),ò. å. f ãîìîìîðôèçì ãðóïï.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
