Электронный курс лекций (1078552), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Ïóñòü âñå ýëåìåíòû i-é ñòðîêè óìíîæàþòñÿ íà c. Êàæäûé ÷ëåí îïðåäåëèòåëÿ ñîäåðæèò ðîâíî îäèíýëåìåíò i-é ñòðîêè. Ïîýòîìó êàæäûé ÷ëåí óìíîæàåòñÿ íà c, àïîòîìó óìíîæàåòñÿ íà c è ñàì îïðåäåëèòåëü. ÏÐÅÄËÎÆÅÍÈÅ 6.6.Îïðåäåëèòåëü, ñîäåðæàùèé äâå ïðîïîðöèîíàëüíûå ñòîðîêè, ðàâåí íóëþ.ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ.
 ñàìîì äåëå, ïóñòü ýëåìåíòû j -é ñòðîêè îòëè÷àþòñÿ îò ñîîòâåòñòâóþùèõ ýëåìåíòîâ i-é ñòðîêè îäíèìè òåì æå ìíîæèòåëåì. Âûíîñÿ ýòîò îáùèé ìíîæèòåëü èçj -é ñòðîêè çà çíàê îïðåäåëèòåëÿ, ìû ïîëó÷èì îïðåäåëèòåëü ñäâóìÿ ðàâíûìè ñòðîêàìè, ðàâíûé íóëþ ââèäó ïðåäëîæåíèÿ 6.4.ÏÐÅÄËÎÆÅÍÈÅ 6.7.iÅñëè âñå ýëåìåíòû -é ñòðîêè îïðåäåëèòåëÿ ïðåäñòàâëåíû â âèäå ñóììû äâóõ ñëàãàåìûõaij = bj + cj ,191 ≤ j ≤ n,òî îïðåäåëèòåëü ðàâåí ñóììå äâóõ îïðåäåëèòåëåé, ó êîòîðûõâñå ñòðîêè, êðîìå i-é òàêèå æå, êàê â èñõîäíîì îïðåäåëèòåëå,à i-ÿ ñòðîêà â îäíîì îïðåäåëèòåëå ñîñòîèò èç ýëåìåíòîâ bj , âäðóãîì èç ýëåìåíòîâ cj .ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Äåéñòâèòåëüíî, êàæäûé ÷ëåí çàäàííîãî îïðåäåëèòåëÿ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåa1σ(1) ...
aiσ(i) ... anσ(n) = a1σ(1) ... (bσ(i) + cσ(i) ) ... anσ(n) =a1σ(1) ... bσ(i) ... anσ(n) + a1σ(1) ... cσ(i) ... anσ(n) .Ñîáèðàÿ âìåñòå ïåðâûé ñëàãàåìûå ýòèõ ñóìì (ñ òåìè æå çíàêàìè,êîòîðûå èìåëè ñîîòâåòñòâóþùèå ÷ëåí â çàäàííîì îïðåäåëèòåëå),ìû ïîëó÷èì, î÷åâèäíî, îïðåäåëèòåëü, îòëè÷àþùèéñÿ îò çàäàííîãî ëèøü òåì, ÷òî â i-é ñòðîêå âìåñòî ýëåìåíòîâ aij ñòîÿò ýëåìåíòû bj . Ñîîòâåòñòâåííî, âòîðûå ñëàãàåìûå ñîñòàâëÿþò îïðåäåëèòåëü, â j -é ñòðîêå êîòîðîãî ñòîÿò ýëåìåíòû cj . Òàêèì îáðàçîì, a11...a1n a11 ...
a1n a11 ... a1n ......... ... ... ... ... ... ... b1 + c1 ... bn + cn = b1 ... bn + c1 ... cn . ... ... ... ... ... ... ... ...... an1...ann an1 ... ann an1 ... ann ÏÐÅÄËÎÆÅÍÈÅ 6.8. Åñëè îäíà ñòðîêà îïðåäåëèòåëÿ åñòüëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ åãî äðóãèõ ñòðîê, òî îïðåäåëèòåëü ðàâåííóëþ.ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ.
Ïóñòü, íàïðèìåð, i-ÿ ñòðîêà áóäåò ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé s äðóãèõ ñòðîê, 1 ≤ s ≤ n − 1. Âñÿêèéýëåìåò i-é ñòðîêè áóäåò òîãäà ñóììîé s ñëàãàåìûõ, à ïîòîìó,ïðèìåíÿÿ ïðåäëîæåíèå 6.7, ìû ïðåäñòàâèì íàø îïðåäåëèòåëü ââèäå ñóììû îïðåäåëèòåëåé, â êàæäîì èç êîòîðûõ i-ÿ ñòîêà áóäåòïðîïîðöèîíàëüíà îäíîé èç äðóãèõ ñòðîê. Â ñèëó ïðåäëîæåíèÿ6.6 âñå ýòè îïðåäåëèòåëè ðàâíû íóëþ; ðàâåí íóëþ, ñëåäîâàòåëüíî, è çàäàííûé îïðåäåëèòåëü. ÏÐÅÄËÎÆÅÍÈÅ 6.9.II.ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Ïóñòü ê îïðåäåëèòåëþ ïðèìåíåíî ýëåìåíòàðíîå ïðåîáðàçîâàèå òèïà II.
Íà îñíîâàíèè ïðåäëîæåíèÿ6.7. ïîëó÷åííûé îïðåäåëèòåëü ðàâåí ñóììå èñõîäíîãî îïðåäåëèòåëÿ è îïðåäåëèòåëÿ, äâå ñòðîêè êîòîðîãî ïðîïîðöèîíàëüíû.Îïðåäåëèòåëü íå ìåíÿåòñÿ ïðè ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ ñòðîê òèïà20Ïîñëåäíèé îïðåäåëèòåëü ðàâåí íóëþ íà îñíîâàíèè ïðåäëîæåíèÿ6.6. Òåîðåìû îá îïðåäåëèòåëÿõ. Ïóñòü â äàííîì îïðåäåëèòåëån-ãî ïîðÿäêà âûáðàíû ïðîèçâîëüíûå k ñòðîê è k ñòîëáöîâ.
Ýëåìåíòû, ñòîÿùèå íà ïåðåñå÷åíèè âûáðàííûõ ñòðîê è ñòîëáöîâ,îáðàçóþò êâàäðàòíóþ ìàòðèöó k -ãî ïîðÿäêà. Åå îïðåäåëèòåëüíàçûâàåòñÿk -ãî ïîðÿäêà èñõîäíîãî îïðåäåëèòåëÿ.Ïóñòü aij ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò ìàòðèöû. Íàçîâåì ìèíîðîì Mij ýòîãî ýëåìåíòà îïðåäåëèòåëü, êîòîðûé ïîëó÷àåòñÿ èçäàííîãî âû÷åðêèâàíèå i-é ñòðîêè è j -ãî ñòîëáöà. Íàçîâåìýëåìåíòà aij ÷èñëî Aij = (−1)i+j Mij .ÒÅÎÐÅÌÀ 6.1 (î ðàçëîæåíèè îïðåäåëèòåëÿ ïî ñòðîêå).ìèíîðîìðàè÷åñêèì äîïîëíåíèåìåò ìåñòî ôîðìóëàdet A = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + ... + ain Ain .àëãåáÈìå-ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ.
Ðàññìîòðèì ýëåìåíò a11 .  ðàçëîæåíèè îïðåäåëèòåëÿ (6.1) âñòðå÷àåòñÿ (n − 1)! ñëàãàåìîå âèäàε(σ)a11 a2σ(2) ... anσ(n) ,îòâå÷àþùåå ïîäñòàíîâêå σ . Ðàññìîòðèì ïîäñòàíîâêó()23...n′σ =.σ(2) σ(3) ... σ(n)ßñíî, ÷òî ε(σ) = ε(σ ′ ). Ïîýòîìó êîýôôèöèåíò ïðè a11 ñîâïàäàåòñ ìèíîðîì M11 .Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò aij . Ìåíÿÿ ìåñòàìè ñîñåäíèå ñòðîêè è ñòîëáöû, ïåðåìåñòèì ýòîò ýëåìåíò â ïåðâóþ′ñòðîêó è ïåðâûé ñòîëáåö. Ìèíîð ýòîãî ýëåìåíòà M11ñîâïàäàåòñ Mij .
Îïðåäåëèòåëü ïðè ïåðåñòàíîâêàõ ïîìåíÿë çíàê (i − 1) +(j − 1) ðàç. Ïîýòîìó â ðàçëîæåíèè îïðåäåëèòåëÿ êîýôôèöèåíòïðè aij ðàâåí Aij . Ýòîò êîýôôèöèåíò íå ñîäåðæèò ýëåìåíòîâ i-éñòðîêè. Ïðè äðóãèõ ýëåìåíòàõ aik êîýôôèöèåíò òî÷íî òàê æåðàâåí Aik è ìû ïîëó÷àåì òðåáóåìóþ ôîðìóëó. ÑËÅÄÑÒÂÈÅ (î ðàçëîæåíèè îïðåäåëèòåëÿ ïî ÷óæîé ñòðîêå).i ̸= jÏðèèìååìai1 Aj1 + ai2 Aj2 + ... + ain Ajn = 0.ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ.
Çàìåíèì â äàííîì îïðåäåëèòåëåj -þ ñòðîêó i-é. Òîãäà ïîëó÷èì îïðåäåëèòåëü ñ äâóìÿ ðàâíûìè21ñòðîêàìè. Îí ðàâåí íóëþ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ðàçëîæèâ ýòîòîïðåäåëèòåëü ïî j -é ñòðîêå, ïîëó÷èì çíà÷åíèå ýòîãî îïðåäåëèòåëÿ. Îòìåòèì, ÷òî â ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 6.1 âñå ðåçóëüòàòû, ñïðàâåäëèâûå äëÿ ñòðîê îïðåäåëèòåëÿ, ñïðàâåäëèâû è äëÿ åãî ñòîëáöîâ.Ìîæíî, ñëåäîâàòåëüíî, ãîâîðèòü î ðàçëîæåíèè îïðåäåëèòåëÿ ïîñòîëáöó è ò. ä.ÒÅÎÐÅÌÀ 6.2 (îá îïðåäåëèòåëå ñ íóëåâûì óãëîì).ëèòåëü ìàòðèöû(A C) ,0 Bãäå A è B êâàäðàòíûå ìàòðèöû, ðàâåí det A det B.Îïðåäå-ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Äîñòàòî÷íî ðàçëîæèòü îïðåäåëèòåëüïî ïåðâîìó ñòîëáöó è ïðèìåíèòü èíäóêöèþ ïî ïîðÿäêó ìàòðèöû.
Ðàññìîòðèì ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, â êîòîðîé ÷èñëîóðàâíåíèé ðàâíî ÷èñëó íåèçâåñòíûõ:a11 x1 + ... + a1n xn = b1 ,............................a x + ... + a x = b .n1 1nn n1AÏðåäïîëîæèì äîïîëíèòåëüíî, ÷òî îïðåäåëèòåëü d ìàòðèöû ñèñòåìû îòëè÷åí îò íóëÿ. Ïðè ýòîì ïðåäïîëîæåíèè ìû äîêàæåì,÷òî ñèñòåìà èìåò åäèíñòâåîå ðåøåíèå è ïîëó÷èì ÿâíûå ôîðìóëûäëÿ çíà÷å-íèé íåèçâåñòíûõ.Äîïóñòèì, ÷òî ñèñòåìà èìååò ðåøåíèå è α1 , ..., αn îäíî èçåå ðåøåíèé.
Òîãäàa11 α1 + ... + a1n αn = b1 ,(6.3)............................a α + ... + a α = b .n1 1nn n1Ïóñòü j ëþáîå èç ÷èñåë 1, ..., n. Óìíîæèì îáå ÷àñòè i-ãîðàâåíñòâà (6.3) íà Aij è ïðîñóììèðóåì ïî âñåì i. Ìû ïîëó÷èì(a11 A1j + ... + an1 Anj )α1 + ... + (a1j A1j + ... + anj Anj )αj ++(an1 Anj + ... + an1 Anj )αn = b1 A1j + ... + bn Anj .22Íà îñíîâàíèè òåîðåìû 6.1 è ñëåäñòâèÿ èç íåå, ëåâàÿ ÷àñòü ýòîãîðàâåíñòâà ðàâíà d, à ïðàâàÿ îïðåäåëèòåëþ a11 ...
b1 ... a1n dj = ... ... ... ... ... ,an1 ... bn ... ann êîòîðûé ïîëó÷àåòñÿ èç d çàìåíîé j -ãî ñòîëáöà íà ñòîëáåö ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ. Òàêèì îáðàçîì, åñëè èñõîäíàÿ ñèñòåìà èìååò ðåøåíèå, òî ýòî ðåøåíèå åäèíñòâåííî. Îíî ìîæåò áûòü íàéäåíî ïî:ïðàâèëó Êðàìåðàα1 =d1d2dn, α2 = , ... α1 = .ddd(6.4)Îáðàòíî, íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ôîðìóëû (6.4) äàþò ðåøåíèåèñõîäíîé ñèñòåìû.ÏÐÈÌÅÐ 6.3.
Ðåøèì ïî ïðàâèëó Êðàìåðà ñèñòåìó óðàâíåíèéx1 + 2x2 + 3x3 = 1,2x1 + 3x2 + x3 = 6,3x + x + 2x = 5.123Èìååì1 2 31 2d = 2 3 1 = −18, d1 = 6 33 1 25 1 1 1 31d2 = 2 6 1 = −18, d3 = 2 3 5 2331 = −36,22 13 6 = 18,1 5îòêóäà x1 = 2, x2 = 1, x3 = −1. ÒÅÎÐÅÌÀ 6.3.=det = det det .C AB. ÒîãäàÏóñòü A è B ìàòðèöû ðàçìåðà n × n èCA BÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Ðàññìîòðèì âñïîìîãàòåëüíóþ ìàòðèöó23ðàçìåðà 2n × 2n:b11 b21 ...bn100 ...0...
b1n... b2n... ...... bnn... 0... 0... ...... 0−10...0a11a21...an10−1...0a12a22...an2........................00 ... −1 .a1n a2n ... annÍà îñíîâàíèè òåîðåìû îá îïðåäåëèòåëå ñ íóëåâûì óãëîì åå îïðåäåëèòåëü ðàâåí det = det det . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðèáàâèìê (n + 1)-é ñòðîêå ïåðâóþ ñòðîêó, óìíîæåííóþ íà a11 , âòîðóþñòðîêó, óìíîæåííóþ íà a12 è ò. ä. Çàòåì ê (n + 2)-é ñòðîêåïðèáàâèì ïåðâóþ, óìíîæåííóþ íà a21 , âòîðóþ, óìíîæåííóþ íàa22 è ò. ä.
Ïðîäîëæàÿ àíàëîãè÷íî, ìû ïîëó÷èì ìàòðèöób11 ... b1n −1 0 ... 0 b21 ... b2n 0 −1 ... 0 ... ... ... ... ... ... ... 0 ... −1bn1 ... bnn 0.0 ... 0 c11 ... c1n 0c0 ... 0 21 ... c2n 0 ... ... ... ... ... ... ... cn1 ... cnn 00 ... 0CABñ òåì æå îïðåäåëèòåëåì. Ïåðåñòàâëÿÿ ñòîëáöû, ïðèäåì ê ìàòðèöå−1 0 ... 0 a11 ... a1n 0 −1 ...
0 a21 ... a2n ... ... ... ... ... ... ... 0 ... −1 an1 ... ann 0.0 ... 0 c11 ... c11 000 ... 0 c21 ... c2n ... ... ... ... ... ... ... 00 ... 0 cn1 ... cnnÏðè ïåðåñòàíîâêå ñòîëáöîâ çíàê èçìåíèòñÿ n2 ðàç, ò. å. îïðåäå2ëèòåëü óìíîæèòñÿ íà (−1)n .Îïðåäåëèòåëü ïîñëåäíåé ìàòðèöûîïÿòü æå íà îñíîâàíèè òåîðåìû îá îïðåäåëèòåëå ñ íóëåâûì óãëîì24C2ðàâåí (−1)n det . Òàê êàê (−1)n (−1)n = (−1)n(n+1) = 1, òåîðåìàäîêàçàíà. Ïðèìåðû âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëèòåëåé. Äëÿ âû÷èñëåíèÿîïðåäåëèòåëåé ïðèìåíÿþòñÿ ðàçëè÷íûå ïðèåìû. Ïðîäåìîíñòðèðóåì èõ íà ïðèìåðàõ.Çàìåòèì, âî-ïåðâûõ, ÷òî äëÿ îïðåäåëèòåëÿ âåðõíåé òðåóãîëüíîé ìàòðèöû èìååò ìåñòî ôîðìóëàa11 a12 ...
... a1n 0 a22 ... ... a2n 00 a33 ... a3n = a11 a22 ... ann .(6.7) ... ... ... ... ... 00 ... ... ann Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íàäî ïîñëåäîâàòåëüíî ðàñêëàäûâàòü ýòîòîïðåäåëèòåëü ïî ïåðâîìó ñòîëáöó.Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîëüíîãî îïðåäåëèòåëÿ äîñòàòî÷íîïðèâåñòè åãî ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè I-ãî è II-ãî òèïîâê âåðõíåìó òðåóãîëüíîìó âèäó, à çàòåì âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé (6.7).ÏÐÈÌÅÐ 6.4. Âû÷èñëèì îïðåäåëèòåëü 1 2 3 1 23 1 23 2 3 1 = 0 −1 −5 = 0 −1 −5 = 1 · (−1) · 18 = 18. 3 1 2 0 −5 −7 0 0 18 ÏÐÈÌÅÐ 6.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
