Электронный курс лекций (1078552), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Âû÷èñëèì51Dn = 0...0îïðåäåëèòåëü n-ãî ïîðÿäêà4 0 ... 0 5 4 ... 0 1 5 ... 0 .... ... ... ...0 0 ... 5 Ðàçëîæèâ åãî ïî ïåðâîìó ñòîëáöó, ïîëó÷èì 5 4 0 ... 0 4 0 0 ... 0 1 5 4 ... 0 1 5 4 ... 0 Dn = 5 · 0 1 5 ... 0 − 0 1 5 ... 0 = 5Dn−1 − 4Dn−2 .... ... ...
... ... ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 5 0 0 0 ... 5 25Îòñþäà (ñì. ïðèìåð 1.2) íàõîäèì Dn = C1 + C2 4n . Òàê êàê14D1 = 5, D2 = 21, òî C1 = − , C2 = . Îêîí÷àòåëüíî331Dn = (4n+1 − 1). 3Îáðàòíàÿ ìàòðèöà. Ðàññìîòðèì êâàäðàòíóþ ìàòðèöó.−1Åñëè ñóùåñòâóåò, òîAAdet A det A = det AA = det E = 1.Çíà÷èò, det A ̸= 0.
Òàêèå ìàòðèöû A íàçûâàþòñÿ íåâûðîæäåííûìè. Èòàê, åñëè ó ìàòðèöû A ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ, òî A−1−1íåâûðîæäåíà.Ïîêàæåì, ÷òî âåðíî è îáðàòíîå: ëþáàÿ íåâûðîæäåíàÿ ìàòðèöà îáðàòèìà. Â ñàìîì äåëå, ïåðåìíîæèì ìàòðèöûA11 A21 ... An1a11 a12 ... a1n A12 A22 ... An2 a21 a22 ... a2n ∨. è== ... ... ... ... ... ...
... ... A1n A2n ... Annan1 an2 ... annAAÍà îñíîâàíèè òåîðåìû 6.1 è ñëåäñòâèÿ èç íåå ïîëó÷àåì ìàòðèöó∨= ∨ = det · . Çíà÷èò,AAAAA AA .A = detAÏÐÈÌÅÐ 6.6. Íàéäåì A , ãäå()1 2A= 3 5 .Èìååì det A = 1, A = 5, A = −3, A = −2, A()5 −3A = −2 1 .∨−1−111122122= 1, îòêóäà−1Îòìåòèì, ÷òî îáðàòíóþ ìàòðèöó óäîáíåå îáû÷íî áûâàåò èñêàòü äðóãèì ñïîñîáîì, íî ìû ñåé÷àñ ýòèì çàíèìàòüñÿ íå áóäåì.7. Êîìïëåêñíûå ÷èñëàÊîìïëåêñíûå ÷èñëà ýòî ïàðû (a, b) äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåëñî ñëåäóþùèìè îïåðàöèÿìè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ:(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),26(a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc).Ïàðà (a, b) áóäåò îáîçíà÷àòüñÿ îáû÷íî îäíîé áóêâîé z .Êàê ìîæíî ïðîâåðèòü, äåéñòâèÿ ñ êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìèîáëàäàþò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè.1.
z1 + z2 = z2 + z1 ;2. (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 );3. ñóùåñòâóåò òàêîé ýëåìåíò 0, ÷òî z + 0 = z äëÿ âñåõ å z ;4. äëÿ ëþáîãî z ñóùåñòâóåò òàêîé ýëåìåíò (−z), ÷òî z+(−z) =0;5. z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 ;6 . z1 z2 = z2 z1 ;7. (z1 z2 )z3 = z1 (z2 z3 );8. z.1 = z z ;9. äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà z ̸= 0 ñóùåñòâóåò òàêîé ýëåìåíò z −1 ,÷òî zz −1 = 1.Êîìïëåêñíîå ÷èñëî z = (a, b) îáû÷íî çàïèñûâàþò â âèäå z =a + bi, i = (0, 1) . Êàæäîìó êîìïëåêñíîãî÷èñëó z = a + bi ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèåz̄ = a − bi. Êàê ëåãêî ïðîâåðèòü, ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâàìíèìàÿ åäèíèöàz1 + z2 = z̄1 + z̄2 ,ñîïðÿæåííîå ÷èñëîz1 z2 = z̄1 z̄2Ðàññìîòðèì êîìïëåêñíîå ÷èñëî z = a + bi.
Åãî ìîæíî èçîáðàçèòü òî÷êîé íà ïëîñêîñòè, äåêàðòîâû êîîðäèíàòû êîòîðîé ñóòü(a, b). Ýòà æå òî÷êà ìîæåò áûòü çàäàíàñâîèìè ïîëÿðíûìè√22êîîðäèíàòàìè (ρ, φ). Çäåñü ρ = |z| = a + b êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z , φ = Argz åãî. Åñëè z ̸= 0, òîàðãóìåíò φ îïðåäåëåí ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî, êðàòíîãî 2π .Óñëîâèìñÿ ïèñàòü φ = argz , åñëè 0 ≤ φ < 2π . Òàêèì îáðàçîì,ìû èìååìz = ρ(cos φ + i sin φ).àðãóìåíòìîäóëüòðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà êîìïëåêñíîãîÝòî òàê íàçûâàåìàÿ÷èñëà.Ïîëîæèì ïî îïðåäåëåíèþeiφ = cos φ + i sin φ.Òîãäà ìû ïîëó÷èìïîêàçàòåëüíóþ ôîðìó êîìïëåêñíîãî ÷èñëàz = ρeiφ .27Ïóñòü z1 = ρ1 eiφ1 , z2 = ρ2 eiφ2 .
Òîãäà ëåãêî ïðîâåðèòü, èñïîëüçóÿôîðìóëû òðèãîíîìåòðèè, ÷òîz1 z2 = ρ1 ρ2 ei(φ1 +φ2 ) .Ìû âèäèì, òàêèì îáðàçîì, ÷òî ïðè óìíîæåíèè ìîäóëè ïåðåìíîæàþòñÿ, à àðãóìåíòû ñêëàäûâàþòñÿ, àíàëîãè÷íî ïðè äåëåíèè.Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, âûòåêàåò ôîðìóëà Ìóàâðà(ρ(cos φ + i sin φ))n = ρn (cos nφ + i sin nφ),n ∈ N.Îñòàíîâèìñÿ â çàêëþ÷åíèå íà âîïðîñå îá èçâëå÷åíèè êîðíåéèç êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Íàïîìíèì, ÷òî äëÿ êîðíåé èç âòîðîéñòåïåíè èç äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ââîäèòñÿ ïîíÿòèå àðèôìåòè÷åñêîãî êîðíÿ: (−x)2 = x2 , íî â êà÷åñòâå êîðíÿ áåðåòñÿ òî èçäâóõ ÷èñåë x, −x, êîòîðîå íåîòðèöàòåëüíî. Òàê êàê â ïîëå C íåòïîíÿòèÿ ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà, òî íåò âîçìîæíîñòè âûäåëèòüèç äâóõ çíà÷åíèé îäíî. Ïîýòîìó â ïîëå C èçâëå÷åíèå êîðíÿîïðåäåëÿåòñÿ êàê ìíîãîçíà÷íàÿ îïåðàöèÿ.
Ìû ïèøåì√nz = {w ∈ C|wn = z},√ò. å. n z åñòü íå îäíî ÷èñëî, à ñîâîêóïíîñòü (èç n êîìïëåêñíûõ÷èñåë).√ÏÐÈÌÅÐ 7.1. Âû÷èñëèì 3 8. Çàïèøåì êîìïëåêñíîå ÷èñëî 8â ïîêàçàòåëüíîé ôîðìå:8 = 82πki . êà÷åñòâå k ìîæíî âçÿòü ëþáîå öåëîå ÷èñëî. Òîãäà√2πki2πki38 = {2e 3 , k ∈ Z} = {2e 3 , k = 0, 1, 2}.Èçîáðàçèòå ýòî ìíîæåñòâî íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè.28ÃËÀÂÀ II. ÃÐÓÏÏÛ1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ãðóïïÌíîæåñòâî G ñ áèíàðíîé îïåðàöèåé (çàïèñûâàåìîé ìóëüòèïëèêàòèâíî) íàçûâàåòñÿ, åñëè:1) îïåðàöèÿ àññîöèàòèâíà, ò. å. (ab)c = a(bc) äëÿ ëþáûõa, b, c ∈ G;2) â G ñóùåñòâóåò åäèíèöà, ò.
å. òàêîé ýëåìåíò e, ÷òî ea =ae = a äëÿ âñåõ a ∈ G;3) äëÿ êàæäîãî a ∈ G ñóùåñòâóåò îáðàòíûé ýëåìåíò a−1 , ò. å.òàêîé, ÷òî aa−1 = a−1 a = e.Åñëè îïåðàöèÿ êîììóòàòèâíà, òî ãðóïïà íàçûâàåòñÿèëè.Êàê ïîêàçûâàåò çàäà÷à 4.1, åäèíèöà îïðåäåëåíà îäíîçíà÷íî.ÇÀÄÀ×À 1.1. Äîêàæèòå, ÷òî îáðàòíûé ýëåìåíò a−1 åäèíñòâåííûé.
Óêàçàíèå: ýòî äîêàçûâàåòñÿ òî÷íî òàê æå, êàê åäèíñòâåííîñòü îáðàòíîé ìàòðèöû.ÏÐÈÌÅÐ 1.1. Ïóñòü M íåïóñòîå ìíîæåñòâî, G = S(M ) ìíîæåñòâî áèåêòèâíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ìíîæåñòâà M . ÒîãäàG ãðóïïà îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè êîìïîçèöèè. Åäèíè÷íûìýëåìåíòîì G ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå idM . Ýëåìåíòû ãðóïïû íàçûâàþòñÿìíîæåñòâà M . Â÷àñòíîñòè, åñëè M = {1, 2, ..., n}, òî ãðóïïà G íàçûâàåòñÿè îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç n .ÏÐÈÌÅÐ 1.2. Ìíîæåñòâî êâàäðàòíûõ ìàòðèö ïîðÿäêà n ñäåéñòâèòåëüíûìè ýëåìåíòàìè è íåíóëåâûì îïðåäåëèòåëåì åñòüãðóïïà îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè óìíîæåíèÿ ìàòðèö. Ýòà ãðóïïàîáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç(n, R). ÏÐÈÌÅÐ 1.3.
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî Zn êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè [0], [1], ..., [n − 1] èç ïðèìåðà 3.2 ãë. I. Ââåäåì â ýòîììíîæåñòâå îïåðàöèþ, ïîëàãàÿ [k] + [l] = [k + l]. Ýòî îïðåäåëåíèåêîððåêòíî, òàê êàê åñëè [k1 ] = [k], [l1 ] = [l], òî [k1 + l1 ] = [k +l]. Ââåäåííàÿ îïåðàöèÿ ïðåâðàùàåò ìíîæåñòâî Zn â ãðóïïó.Ïðîâåðèì, íàïðèìåð, àêñèîìó àññîöèàòèâíîñòè:ãðóïïîéòàòèâíîéêîììó-àáåëåâîéïîäñòàíîâêàìèSòðè÷åñêîé ãðóïïîéGL([k] + [l]) + [m] = [k + l] + [m] = [(k + l) + m] == [k + (l + m)] = [k] + ([l] + [m]).29ñèììå-Îñòàëüíûå äâå àêñèîìû ïðîâåðüòå ñàìîñòîÿòåëüíî.
Äëÿ êîíå÷íîé ãðóïïû G íàçîâåì ÷èñëî |G| åå. êîíå÷íîé ãðóïïå îïåðàöèþ ìîæíî çàäàâàòü ïðè ïîìîùèòàáëèöû Êýëè.ÏÐÈÌÅÐ 1.4. Ïóñòü G = {e, a} è òàáëèöà Êýëè èìååò âèäïîðÿäêîìÒÀÁËÈÖÀ 1.1..eaeeaaaeÎ÷åâèäíî, ÷òî ìû äåéñòâèòåëüíî ïîëó÷èëè ãðóïïó, ò. å. àêñèîìûãðóïïû âûïîëíåíû. Ïóñòü G ãðóïïà.
Ïîäìíîæåñòâî H ⊆ G íàçûâàåòñÿ åå, åñëè1) x ∈ H ⇒ x−1 ∈ H ;2) x, y ∈ H ⇒ xy ∈ H .ßñíî, ÷òî ïîäãðóïïà ñàìà ÿâëÿåòñÿ ãðóïïîé.Îòìåòèì, ÷òî åñëè N ïîäãðóïïà â H , à H ïîäãðóïïà âG, òî N ïîäãðóïïà â G.ÏÐÈÌÅÐ 1.5. Ìíîæåñòâî n âñåõ ÷åòíûõ ïîäñòàíîâîê èçn ýëåìåíòîâ îáðàçóåò ïîäãðóïïó ãðóïïû n . Îíà íàçûâàåòñÿ.ÏÐÈÌÅÐ 1.6. Ïîäìíîæåñòâî(n, R) âñåõ ìàòðèö ñ îïðåäåëèòåëåì 1 åñòü ïîäãðóïïà ãðóïïû(n, R).Ïóñòü G è G′ ãðóïïû. Îòîáðàæåíèå f : G → G′ íàçûâàåòñÿãðóïï, åñëèïîäãðóïïîéAçíàêîïåðåìåííîé ãðóïïîéSSLGLãîìîìîðôèçìîìf (xy) = f (x)f (y)èçîìîðàâòîìîðôèç-äëÿ âñåõ x, y ∈ G.
Áèåêòèâíûé ãîìîìîðôèçì íàçûâàåòñÿ. Èçîìîðôèçì ãðóïïû íà ñåáÿ íàçûâàåòñÿ.ÇÀÄÀ×À 1.2. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè f : G → G′ ãîìîìîðôèçì,òî1) f (e) = e′ :2) f (x−1 ) = [f (x)]−1 ;3) f (G) åñòü ïîäãðóïïà â G′ .Ïóñòü f : G → G′ ãîìîìîðôèçì. ÅãîKer f íàçûâàåòñÿôèçìîììîìÿäðîìKer f = {g ∈ G | f (g) = e′ }.30ßñíî, ÷òî ÿäðî ãîìîìîðôèçìà ïîäãðóïïà â G (ïðîâåðüòå).Åñëè Ker f = {e}, òî f íàçûâàåòñÿ. Êàê ëåãêîâèäåòü, f ìîíîìîðôèçì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îí èíúåêòèâåí.Ïîäãðóïïà f (G) â G′ íàçûâàåòñÿãîìîìîðôèçìà f èîáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç Im f .
Åñëè ãîìîìîðôèçì ñþðúåêòèâåí, ò. å.Im f = G′ , òî îí íàçûâàåòñÿ.Äëÿ a ∈ G îáîçíà÷èì ÷åðåç laíà ýëåìåíò a:ìîíîìîðôèçìîìîáðàçîìýïèìîðôèçìîìëåâûé ñäâèãx ∈ G.la (x) = ax,Ýòî îòîáðàæåíèå la : G → G.ÇÀÄÀ×À 1.3. Îòîáðàæåíèå la áèåêòèâíî.Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿra . Ýòî òàêæå áèåêòèâíîå îòîáðàæåíèå. ÷àñòíîñòè, åñëè ãðóïïà G êîíå÷íà, òî èç áèåêòèâíîñòè la rañëåäóåò, ÷òî êàæäîé ñòðîêå è êàæäîì ñòîëáöå åå òàáëèöû Êýëèâñå ýëåìåíòû ðàçëè÷íû.ÏÐÈÌÅÐ 1.7. Íàéäåì âñå, ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà,ãðóïïû ïîðÿäêà 2. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî G = {e, a}, ãäå e åäèíèöà. Òîãäà e2 = e, ea = ae = a è îñòàåòñÿ âû÷èñëèòüòîëüêî a2 , ò. å. çàïîëíèòü ïîñëåäíþþ êëåòêó â òàáëèöå 1.1. ñèëó ïîñëåäíåãî çàìå÷àíèÿ äîëæíî áûòü a2 = e, ò. å.
ãðóïïàîïðåäåëåíà îäíîçíà÷íî. Òàê êàê ãðóïïà Z2 èìååò ïîðÿäîê 2, òîG∼= Z2 . ÏÐÈÌÅÐ 1.8. Íàéäåì âñå, ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà,ãðóïïû ïîðÿäêà 3. Ïóñòü G = {e, a, b}, ãäå e åäèíèöà. Òîãäàòàáëèöà Êýëè èìååò âèäïðàâûé ñäâèãÒÀÁËÈÖÀ 1.2.eabeeabaa**bb**è íàäî çàïîëíèòü íåäîñòàþùèå êëåòêè. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî â êàæäîéñòðîêå è êàæäîì ñòîëáöå âñå ýëåìåíòû ðàçëè÷íû, âèäèì, ÷òî ýòîìîæíî ñäåëàòü îäíîçíà÷íî: ba = e è òîãäà b2 = a, ab = e, a2 = b.Çíà÷èò, G = {e, a, a2 } è ýòî, î÷åâèäíî, ãðóïïà.
Îíà àáåëåâà èèçîìîðôíà, êàê ëåãêî âèäåòü, ãðóïïå Z3 . 31ÇÀÄÀ×À 1.3. Îïèñàòü âñå, ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà,ãðóïïû ïîðÿäêà 4. Îòâåò: òàêèõ ãðóïï äâå. Èõ òàáëèöû ÊýëèñóòüÒÀÁËÈÖÀ 1.3ÒÀÁËÈÖÀ 1.4eabceeabcaabcebbceacceab..eabceeabcaaecbbbceaccdfeÝòè ãðóïïû àáåëåâû. ÇÀÄÀ×À 1.4. Óáåäèòåñü, ÷òî ãðóïïà, çàäàííàÿ òàáëèöåé 1.3,èçîìîðôíà Z4 .Äëÿ îïðåäåëèì ïðåîáðàçîâàíèå Ig : G → G ôîðìóëîéIg (x) = gxg −1 .Äðóãèìè ñëîâàìè, Ig = lg ◦ rg−1 = rg−1 ◦ lg .
Ýëåìåíòû x è gxg −1íàçûâàþòñÿ.ÇÀÄÀ×À 1.5. Ig àâòîìîðôèçì ãðóïïû g .ÇÀÄÀ×À 1.6. Îòíîøåíèå ñîïðÿæåííîñòè åñòü îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè.ÇÀÄÀ×À 1.7. Ðàñïðåäåëèòü ýëåìåíòû ãðóïïû 3 ïî êëàññàìñîïðÿæåííûõ ýëåìåíòîâ.Íàçîâåìo(x) ýëåìåíòà x ãðóïïû íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå n ñî ñâîéñòâîì xn = e.ÏÐÈÌÅÐ 1.9.  ãðóïïå, çàäàííîé òàáëèöåé 1.3, èìååì o(a) =o(c) = 4, o(b) = 2. Ïîðÿäêè âñåõ íååäèíè÷íûõ ýëåìåíòîâ ãðóïïû,çàäàííîé òàáëèöåé 1.4, ðàâíû 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
