Электронный курс лекций (1078552)
Текст из файла
ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÊÓÐÑÓ"ÀËÃÅÁÐÀ"2012/13 ó÷åáíûé ãîäÏðåäìåòîì àëãåáðû áûëî ñíà÷àëà ðåøåíèå óðàâíåíèé. Êâàäðàòíûå óðàâíåíèÿ óìåëè ðåøàòü åùå â Äðåâíåé Ãðåöèè, íî ñïîñîá ðåøåíèÿ óðàâíåíèé òðåòüåé è ÷åòâåðòîé ñòåïåíåé ñòàë èçâåñòåí òîëüêî â XVI âåêå. Ñàì òåðìèí "àëãåáðà" ïîÿâèëñÿ â òðàêòàòå àëü-Õîðåçìè (IX âåê). Ïîä îïåðàöèåé "àëü-äæåáð" ïîíèìàëàñü îïåðàöèÿ ïåðåíåñåíèÿ ÷ëåíà óðàâíåíèÿ â äðóãóþ ñ îáðàòíûì çíàêîì. Ýòîò òåðìèí è ïðåâðàòèëñÿ âïîñëåäñòâèè â íàçâàíèå íàóêè.Áåçóñïåøíûå ïîïûòêè ðåøåíèÿ â îáùåì âèäå óðàâíåíèé áîëåå âûñîêèõ ñòåïåíåé ïðèâåëè ê ïîíèìàíèþ òîãî, ÷òî ñëåäóåòèçó÷àòü íå ñàìè óðàâíåíèÿ, à ñâÿçàííûå ñ íèìè àáñòðàêòíûåàëãåáðàè÷åñêèå ñòðóêòóðû ãðóïïû.
Ýòè ñòðóêòóðû íàøëèâïîñëåäñòâèè ñâîå ïðèëîæåíèå â ðàçëè÷íûõ ðàçäåëàõ ìàòåìàòèêè è ôèçèêè. Î íåêîòîðûõ êîíêðåòíûõ ïðèëîæåíèÿõ, â ÷àñòíîñòè, ê êîìáèíàòîðèêå, ðå÷ü áóäåò èäòè íèæå. Äàëüíåéøåå ðàçâèòèå àëãåáðû øëî ïî ïóòè èçó÷åíèÿ ýòèõ è äðóãèõ ñòðóêòóð,òàêèõ, êàê êîëüöà, ïîëÿ è ò. ä. Îíè òàêæå íàõîäÿò ñâîå ïðèìåíåíèå íà ïðàêòèêå, íàïðèìåð, â âåñüìà àêòóàëüíîé òåîðèè êîäèðîâàíèÿ, ñâÿçàííîé ñ ïðîáëåìàìè çàùèòû èíôîðìàöèè â êîìïüþòåðíûõ ñèñòåìàõ. Íåçàâèñèìî îò ðåøåíèÿ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷ ðàçâèâàþòñÿ è óæå âåñüìà îòâëå÷åííûå ðàçäåëû ñîâðåìåííîé àëãåáðû.
Îäíó èç òàêèõ òåîðèé åå àâòîð íàçûâàåò "àáñòðàêòíàÿ ÷åïóõà", ïðè÷åì ýòîò òåðìèí â ëèòåðàòóðå èñïîëüçóåòñÿâïîëíå ñåðüåçíî. Ìû ýòèìè âîïðîñàìè, ðàçóìååòñÿ, â äàííîìêóðñå çàíèìàòüñÿ íå áóäåì.1ÃËÀÂÀ I. ÎÑÍÎÂÛ ÀËÃÅÁÐÛ1. Ìíîæåñòâà è îòîáðàæåíèÿìíîæåñòâîìýëåìåíòàìèÌíîæåñòâà. Ïîäìû ïîíèìàåì ëþáóþ ñîâîêóïíîñòü îáúåêòîâ, íàçûâàåìûõìíîæåñòâà. Çàïèñüx ∈ X îçíà÷àåò, ÷òî ýëåìåíò x ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó X .Ìíîæåñòâà ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ ìîãóò áûòüîïèñàíû ïóòåì ïåðå÷èñëåíèÿ èõ ýëåìåíòîâ. Íàïðèìåð, J5 ={1, 2, 3, 4, 5} ìíîæåñòâî ïåðâûõ ïÿòè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Ìûáóäåì òàêæå èñïîëüçîâàòü çàïèñüM = {x|P (x)}.Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìíîæåñòâî M ñîñòîèò èç âñåõ ýëåìåíòîâ x,îáëàäàþùèõ ñâîéñòâîì P .Ìû èñïîëüçóåì ñòàíäàðòíûå îáîçíà÷åíèÿ N, Z, Q è R äëÿìíîæåñòâ íàòóðàëüíûõ, öåëûõ, ðàöèîíàëüíûõ è äåéñòâèòåëüíûõ÷èñåë ñîîòâåòñòâåííî.Íàïîìíèì, ÷òî X åñòü ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà Y , X ⊆ Y ,åñëè ëþáîé ýëåìåíò X ïðèíàäëåæèò Y . Ïóñòîå ìíîæåñòâî ∅ñ÷èòàåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ëþáîãî ìíîæåñòâà.
Ìíîæåñòâà X èY íàçûâàþòñÿ, åñëè X ⊆ Y è Y ⊆ X .äâóõ ìíîæåñòâ X è Y íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîðàâíûìèÏåðåñå÷åíèåìX ∩ Y = {x|x ∈ X è x ∈ Y },à èõîáúåäèíåíèåì ìíîæåñòâîX ∪ Y = {x|x ∈ X èëè x ∈ Y }.Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ïåðåñå÷åíèå è îáúåäèíåíèå ïðîèçâîëüíûõ ñîâîêóïíîñòåé ìíîæåñòâ.Ñêàæåì, ÷òî ñèñòåìà Yα (α ∈ A) ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà Xîáðàçóåò åãî, åñëè∪X=Yα , Yα ∩ Yβ ïðè (α ̸= β).ðàçáèåíèåα∈AÏóñòü X è Y ìíîæåñòâà. ÌíîæåñòâîX × Y = {(x, y) | x ∈ X, y ∈ Y }2ïðÿìûìóïîðÿäî÷åííûõ ïàð ýëåìåíòîâ èç X è Y íàçûâàåòñÿ(èëè)ýòèõ ìíîæåñòâ.Îòîáðàæåíèÿ.f : X → Y ìíîæåñòâà Xâ ìíîæåñòâî Y íàçûâàåòñÿ ïðàâèëî, ñîïîñòàâëÿþùåå êàæäîìóýëåìåíòó x ∈ X ýëåìåíò f (x) ∈ Y . Ìíîæåñòâîäåêàðòîâûì ïðîèçâåäåíèåìÎòîáðàæåíèåìf (X) = {f (x)|x ∈ X} ⊆ Yîáðàçîì îòîáðàæåíèÿ f .
Îòîáðàæåíèå f : X → Yñþðúåêòèâíûì, åñëè f (X) = Y . Îíî íàçûâàåòñÿèíúåêòèâíûì, åñëè èç x ̸= x′ ñëåäóåò f (x) ̸= f (x′). Íàêîíåö,f : X → Y áèåêòèâíî, êîãäà îíî îäíîâðåìåííî ñþðúåêòèâíî èíàçûâàåòñÿíàçûâàåòñÿèíúåêòèâíî.ÏÐÈÌÅÐ 1.1. Ïóñòü X = {1, 2, 3}, Y = {1, 2, 3, 4}. Îòîáðàæåíèå f , çàäàííîå ôîðìóëîé f (i) = i + 1, i = 1, 2, 3 èíúåêòèâíî,íî íå ñþðúåêòèâíî. Îòîáðàæåíèå g : Y → X , äëÿ êîòîðîãîf (i) = i, i = 1, 2, 3 è f (4) = 3, ñþðúåêòèâíî, íî íå èíúåêòèâíî.Îòîáðàæåíèå h : X → X , ãäå h(1) = 2, h(2) = 3, h(3) = 1,áèåêòèâíî.
.Îòîáðàæåíèÿ f : X → X íàçûâàþòñÿìíîæåñòâà X . Ïðåîáðàçîâàíèå, çàäàííîå ôîðìóëîé idX (x) = x äëÿâñåõ x ∈ X , íàçûâàåòñÿ.(èëè) îòîáðàæåíèé f : X → Yè g : Y → Z íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå g ◦ f : X → Z , çàäàííîåôîðìóëîé(g ◦ f )(x) = g(f (x)), x ∈ X.Ïðîèçâåäåíèåìïðåîáðàçîâàíèÿìèòîæäåñòâåííûìêîìïîçèöèåéßñíî, ÷òî äëÿ ëþáîãî f : X → Y èìååìf ◦ idX = f,idY ◦ f = f.Ïóñòü f : X → Y, g : Yîòîáðàæåíèÿ. ÒîãäàÒÅÎÐÅÌÀ 1.1.→ Z, h : Z → Vh ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f.ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Èìååì(h ◦ (g ◦ f ))(x) = h((g ◦ f )(x)) = h(g(f (x)) == (h ◦ g)(f (x) = ((h ◦ g) ◦ f )(x).
3Ïóñòü f : X → Y è g : Y → X îòîáðàæåíèÿ. Îïðåäåëåíûèõ êîìïîçèöèè f ◦ g è g ◦ f . Åñëèf ◦ g = idY ,g ◦ f = idX ,(1.1)âçàèìíî îáðàòíûìèòî îòîáðàæåíèÿ f è g íàçûâàþòñÿ.Íå êàæäîå îòîáðàæåíèå èìåò îáðàòíîå. Íî åñëè îòáðàòíîåîòîáðàæåíèå ñóùåñòâóåò, òî îíî åäèíñòâåííî.  ñàìîì äåëå,ïóñòü h åùå îäíî îòîáðàæåíèå, îáðàòíîå ê f . Òîãäàf ◦ h = idY ,h ◦ f = idX .(1.2)Èç ðàâåíñòâ (1.1) è (1.2) ñ ïîìîùüþ òåîðåìû 1 ïîëó÷àåìh = idX ◦ h = (g ◦ f ) ◦ h = g ◦ (f ◦ h) = g ◦ idY = g.Îòîáðàæåíèå, îáðàòíîå ê f , îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç f −1 .ÒÅÎÐÅÌÀ 1.2.f : X → YÎòîáðàæåíèåòîãäà è òîëüêîòîãäà èìååò îáðàòíîå, êîãäà îíî áèåêòèâíî.ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ.
Äëÿ ëþáîãî y ∈ Y îïðåäåëåí ýëåìåíòf (y) = x ∈ X . Çíà÷èò, f (x) = y , ò. å. f ñþðúåêòèâíî. Åñëèf (x) = f (x′ ), òî x = f −1 (f (x)) = f −1 (f (x′ )) = x′ è f èíúåêòèâíî.Îáðàòíî, ïóñòü f áèåêòèâíî.  ñèëó ñþðúåêòèâíîñòè f äëÿëþáîãî y ∈ Y íàéäåòñÿ òàêîé x ∈ X , ÷òî f (x) = y ; â ñèëóèíúåêòèâíîñòè òàêîé ýëåìåíò ðîâíî îäèí. Ïîëîæèì g(y) = x.Ìû ïîëó÷èëè îòîáðàæåíèå g : Y → X .
Òàê êàê f (g(y)) = f (x) =y , òî f ◦ g = idY . Òàê êàê g(f (x)) = g(y) = x, èìååì g ◦ f = idX .Çíà÷èò, îòîáðàæåíèÿ f è g âçàèìíî îáðàòíû. ÑËÅÄÑÒÂÈÅ.f : X → Y−1f−1Èç áèåêòèâíîñòè îòîáðàæåíèÿâûòåêàåò áèåêòèâíîñòü , ïðè÷åì(f −1 )−1 = f.Ïóñòü, äàëåå, f : X → Y, h : Y → Z áèåêòèâíûå îòîáðàæåíèÿ.Òîãäà áèåêòèâíà è èõ êîìïîçèöèÿ h ◦ f , ïðè÷åì(h ◦ f )−1 = f −1 ◦ h−1 .(1.3)ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Ïî òåîðåìå 1.2 áèåêòèâíîñòü f âëå÷åòñóùåñòâîâàíèå f −1 . Ïî òîé æå òåîðåìå ïðåîáðàçîâàíèå f −1 èìååòîáðàòíîå.
Ðàâåíñòâà (1.1) ïîêàçûâàþò, ÷òî (f −1 )−1 = f . Èçðàâåíñòâ(h ◦ f ) ◦ (f −1 ◦ h−1 ) = ((h ◦ f ) ◦ f −1 ) ◦ h−1 =4= h ◦ (f ◦ f −1 ) ◦ h−1 = h ◦ h−1 = idZ ,(f −1 ◦ h−1 ) ◦ (h ◦ f ) = f −1 ◦ (h−1 ◦ h) ◦ f −1 == f −1 ◦ idY ◦ f = f −1 ◦ f = idX .âûòåêàåò, ÷òî f −1 ◦ h−1 ïðåîáðàçîâàíèå, îáðàòíîå ê h ◦ f . Ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè. Ïóñòü X ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà N, îáëàäàþùåå äâóìÿ ñâîéñòâàìè:1) 1 ∈ X ;2) n ∈ X ⇒ n + 1 ∈ X .Òîãäà ìíîæåñòâî X ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì N âñåõ íàòóðàëüíûõ÷èñåë. Ýòî óòâåðæäåíèå èçâåñòî êàê.Íà ýòîé àêñèîìå îñíîâàí òàê íàçûâàåìûé ìåòîä äîêàçàòåëüñòâïî èíäóêöèè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû õîòèì äîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòüíåêîòîðîãî óòâåðæäåíèÿ P (n) äëÿ âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë n.Ïóñòüàêñèîìà ìàòåìàòè÷åñêîéèíäóêöèèX = {n ∈ N|P (n)}.Òàêèì îáðàçîì, X ýòî ìíîæåñòâî òåõ íàòóðàëüíûõ n, äëÿêîòîðûõ ñïðàâåäëèâî äàííîå óòâåðæäåíèå.
×òîáû äîêàçàòü, ÷òîX = N, äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü ñëåäóþùåå:Áàçèñ èäóêöèè. P (1).Èíäóêòèâíûé ïåðåõîä. P (k) ⇒ P (k + 1).Âîçìîæíû è íåêîòîðûå î÷åâèäíûå âàðèàíòû ýòîãî ìåòîäà,Îáðàòèìñÿ ê ïðèìåðó.ÏÐÈÌÅÐ 1.2. Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü a1 , a2 , ..., an , ...,çàäàííóþ ðåêóððåíòíî:a1 = −2,a2 = 1,an+2 = 9an+1 − 14an .(1.4)Ïî óêàçàííûì ôîðìóëàì ìîæíî ïîëó÷èòü ëþáîé ÷ëåí ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
Îêàçûâàåòñÿ, ñóùåñòâóåò ñïîñîá ïîëó÷åíèÿôîðìóëû äëÿ îáùåãî ÷ëåíà. Äëÿ ýòîãî íàäî ðåøèòü êâàäðàòíîåóðàâíåíèåλ2 − 9λ + 14 = 0,(1.5)îòâå÷àþùåå ðåêóððåíòíîé ôîðìóëå (1.4). Îòâåò äàåòñÿ ôîðìóëîé(1.6)an = C1 λn1 + C2 λn2 ,5ãäå λ1 è λ2 êîðíè óðàâíåíèÿ (1.5), à êîíñòàíòû C1 è C2 íàõîäÿòñÿ èç íà÷àëüíûõ óñëîâèéC1 λ21 + C2 λ22 = a2 .C1 λ1 + C2 λ2 = a1 ,(1.7) ñëó÷àå êðàòíûõ êîðíåé âìåñòî ôîðìóëû (1.6) ñëåäóåò âçÿòüan = λn1 (C1 + nC2 ). íàøåì ñëó÷àå λ1 = 2, λ2 = 7, ñèñòåìà (1.7) ëåãêî ðåøàåòñÿ,è ìû ïîëó÷àåìan = −3 · 2n−1 + 7n−1 ,n = 1, 2, ...(1.8)Äàííûé ðåöåïò ðåøåíèÿ ðåêóððåíòíûõ óðàâíåíèé óêàçàííîãîâèäà ïðèâåäåí áåç äîêàçàòåëüñòâà. Òåì íå ìåíåå, ôîðìóëó (1.8)ëåãêî äîêàçàòü ïî èíäóêöèè.Áàçèñ èíäóêöèè.
Ïðè n = 1, 2 ôîðìóëà (1.8) äàåò, î÷åâèäíî,a1 = −2, a2 = 1.Èíäóêòèâíûé ïåðåõîä. Ïóñòü äëÿ an è an+1 ôîðìóëà (1.8)ñïðàâåäëèâà. Ïîêàæåì, ÷òî îíà âåðíà è äëÿ an+2 . Èìååì, íàîñíîâàíèè (1.4):an+2 = 9an+1 − 14an = 9(−3 · 2n + 7n ) − 14(−3 · 2n−1 + 7n−1 ) == −12 · 2n−1 + 49 · 7n−1 = −3 · 2n+1 + 7n+1 ,êàê è òðåáîâàëîñü. êîíå÷íûìÊîíå÷íûå ìíîæåñòâà. Ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ,åñëè ñóùåñòâóåò åãî áèåêòèâíîå îòîáðàæåíèå íà îäíî èç ìíîæåñòâ Jn = {1, 2, ..., n}. ×èñëî ýëåìåíòîâ êîíå÷íîãî ìíîæåñòâàM áóäåò îáîçíà÷àòüñÿ ÷åðåç |M |.Ïóñòü M è N êîíå÷íûå ìíîæåñòâà, |M | = m, |N | = n.Òîãäà ÿñíî, ÷òî|M × N | = mn,|M ∪ N | = m + n − |M ∩ N |.Ïóñòü R è M êîíå÷íûå ìíîæåñòâà. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâîR âñåõ îòîáðàæåíèé f : M → R.ÒÅÎÐÅÌÀ 1.3.
MR = |R||M | .MÈìååò ìåñòî ôîðìóëàÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî M = Jm , R = Jq .Îòîáðàæåíèå f : R → M ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå ýëåìåíòó i ∈ M6ýëåìåíò f (i) ∈ R. Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî RM íàõîäèòñÿ âáèåêòèâíîì ñîîòâåòñòâèè ñ ìíîæåñòâîì öåëî÷èñëåííûõ âåêòîðîâ(y1 , y2 , ..., ym ), ãäå yi = f (i) è yi ïðèíèìàåò îäíî èç çíà÷åíèé1, 2, ..., q . Òàêèõ âåêòîðîâ, êàê ëåãêî âèäåòü, q m .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
