Электронный курс лекций (1078552), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Àíàëîãè÷íî, P1 ⊆ P0 , è P0 ⊆ P1 , ò. å. P0 = P1 .Çíà÷èò, ïðîñòîå ïîäïîëå åäèíñòâåííî.Ïîäïîëå P0 ñîäåðæèò 1 è âñå êðàòíûå n · 1 = 1 + ... + 1. Êàêëåãêî âèäåòü, îòîáðàæåíèå f : Z → P0 , îïðåäåëåííîå ôîðìóëîéf (n) = n · 1 åñòü ãîìîìîðôèçì êîëåö. Åãî ÿäðî èäåàë â Z èïîòîìó èìååò âèä Ker f = nZ (çàäà÷à 2.6).
Åñëè n = 0, òî f èçîìîðôèçì è äðîáè s · 1/t · 1 îáðàçóþò ïîäïîëå P0 , èçîìîðôíîåQ.Ïóñòü n > 0. Òîãäà îòîáðàæåíèå f ∗ : Zn → P , îïðåäåëåííîåïðàâèëîìf ∗ ([k]) = f (k),áóäåò, î÷åâèäíî, èçîìîðôíûì âëîæåíèåì. Ïî òåîðåìå 3.1 ýòîâîçìîæíî òîëüêî òîãäà, êîãäà n = p ïðîñòîå ÷èñëî. Çíà÷èò,f ∗ (Zp ) ïðîñòîå ïîäïîëå â P . Ãîâîðÿò, ÷òî ïîëå P èìååò, char P = 0,åñëè åãî ïðîñòîå ïîäïîëå P0 èçîìîðôíî Q, P ïîëå(èëè) õàðàêòåðèñòèêè, p, char P = p, åñëè P0 ∼= Zp .Ïîëå Zp îáîçíà÷àþò ÷àñòî ÷åðåç Fp .ÇÀÄÀ×À 3.3.
Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèéõàðàêòåðèñòèêó íóëüêîíå÷íîéx + 2z = 1,y + 2z = 2,ïðîñòîé2x + z = 1.â ïîëå F3 ; â ïîëå F5 .Åäèíñòâåííîñòü ïîëÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Íàïîìíèì,÷òî âûøå ìû ââåëè êîìïëåêñíûå ÷èñëà.ÇÀÄÀ×À 3.4. Ðàññìîòðèì â 2 (R) ìíîæåñòâî ìàòðèö âèäà()a b.−b aMÄîêàçàòü, ÷òî îíî îáðàçóåò ïîëå îòíîñèòåëüíî îáû÷íûõ îïåðàöèéñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ ìàòðèö.ÇÀÄÀ×À 3.5. Ìàòðèöû èç çàäà÷è 3.4, ó êîòîðûõ b = 0,îáðàçóþò ïîäïîëå, èçîìîðôíîå ïîëþ R.Ââîäÿ îáîçíà÷åíèÿ()()a 00 1a=, i=,0 a−1 058âèäèì, ÷òî ëþáîé ýëåìåíò ïîëÿ èç çàäà÷è 3.4. ìîæíî ïðåäñòàâèòüâ âèäå a + bi è îïåðàöèè çàäàþòñÿ ôîðìóëàìè(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i,ab− 2i, a2 + b2 ̸= 0.2+ba + b2Ïîñòðîåííîå ïîëå íàçûâàåòñÿè îáîç2íà÷àåòñÿ ÷åðåç C.
Òàê êàê i = −1, â ýòîì ïîëå ðàçðåøèìîóðàâíåíèå x2 + 1 = 0.ÒÅÎÐÅÌÀ 3.3.P,:1) PK,R;2) Px2 + 1 = 0;3) P,1) 2).P ∼=CÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî K = R. Ïóñòüj ∈ P òàêîé ýëåìåíò, ÷òî j 2 + 1 = 0. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâîF ýëåìåíòîâ èç P âèäà a + bj , ãäå a, b ∈ R. Çàìåòèì, ÷òî èçaa + bj = 0 ñëåäóåò j = − ∈ R, à â R íåò ýëåìåíòà ñî ñâîéñòâîìbj 2 + 1 = 0. Ïîýòîìó b = 0, à òîãäà è a = 0. Ôîðìóëû(a + bi)−1 =a2ïîëåì êîìïëåêñíûõ ÷èñåëÏóñòü ïîëå îáëàäàþùåå ñëåäóþùèìèñâîéñòâàìèñîäåðæèò ïîäïîëå èçîìîðôíîå ïîëþâ ðàçðåøèìî óðàâíåíèåíå ñîäåðæèò ñîáñòâåííûõ ïîäïîëåé óäîâëåòâîðÿþùèõóñëîâèÿì èÒîãäà.(a + bj) + (c + dj) = (a + c) + (b + d)j,(a + bj)(c + dj) = (ac − bd) + (ad + bc)j,ab−j, a2 + b2 ̸= 02222a +ba +bïîêàçûâàþò, ÷òî F ïîäïîëå ïîëÿ P , èçîìîðôíîå ïîëþ C.Ïîëå F óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì 1) è 2) òåîðåìû. Çíà÷èò, â ñèëóóñëîâèÿ 3), P = F . (a + bj)−1 =4.
Ìíîãî÷ëåíûÏóñòü A ïðîèçâîëüíîå êîììóòàòèâíîå êîëüöî ñ åäèíèöåé.Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî B òàêèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé,f = (f0 , f1 , f2 , ...),59fi ∈ A,÷òî âñå fi , êðîìå êîíå÷íîãî ÷èñëà, ðàâíû 0. Îïðåäåëèì â ýòîììíîæåñòâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ, ïîëàãàÿf + g = h, hk = fk + gk ,f g = l,lk = fk g0 + fk−1 g1 + ... + f1 gk−1 + f0 gk .ßñíî, ÷òî â ðåçóëüòàòå ýòèõ äåéñòâèé ìû ñíîâà ïîëó÷èì ýëåìåíòû èç B . Óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî B êîëüöî. Ïðîâåðêà âñåõ àêñèîìýëåìåíòàðíà, ñëîæíåå ïðîâåðÿåòñÿ òîëüêî àññîöèàòèâíîñòü óìíîæåíèÿ.Ïóñòüf = (f0 , f1 , ...),g = (g0 , g1 , ...),h = (h0 , h1 , ...) ïðîèçâîëüíûå ýëåìåíòû èç B . Ïîëîæèì d = f g , òîãäà∑fi gj , l = 0, 1, ...,dl =i+j=là (f g)h = e, ãäå∑ ∑∑fi gj )hk =(dl hk =es =l+k=s∑(fi gj )hk ,s = 0, 1, ...i+j+k=sl+k=s i+j=lÂû÷èñëåíèå f (gh) äàåò òîò æå ðåçóëüòàò.
Èòàê, B êîììóòàòèâíîå êîëüöî ñ åäèíèöåé (1, 0, 0, ...).Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (a, 0, 0, ...) ñêëàäûâàþòñÿ è óìíîæàþòñÿòàê æå, êàê ýëåìåíòû êîëüöà A. Ýòî ïîçâîëÿåò îòîæäåñòâèòüòàêèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ýëåìåíòàìè èçA. Òåì ñàìûì A ñòàíîâèòñÿ ïîäêîëüöîì êîëüöà B . Îáîçíà÷èìýëåìåíò (0, 1, 0, ...) ÷åðåç X è íàçîâåì Xíàä A. Èñïîëüçóÿ ââåäåííóþ â B îïåðàöèþ óìíîæåíèÿ, óáåæäàåìñÿ, ÷òîX n ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñ 1 íà n-ì ìåñòå è0 íà îñòàëüíûõ ìåñòàõ.
Êðîìå òîãî, ââèäó âêëþ÷åíèÿ A ⊂ Bèìååì(0, 0, ..., 0, a, 0, ...) = aX n .ïåðåìåííîéÅñëè an ïîñëåäíèé îòëè÷íûé îò íóëÿ ÷ëåí ïîñëåäîâàòåëüíîñòè(a0 , a1 , ..., an , 0, 0, ...), òî â íîâûõ îáîçíà÷åíèÿõ(a0 , a1 , ..., an , 0, ...) = a0 + a1 X + ... + an X nè òàêîå ïðåäñòàâëåíèå åäèíñòâåííî.60(4.1)Ââåäåííîå âûøå êîëüöî B îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç A[X] è íàçûâàåòñÿAX , à åãîýëåìåíòû . Åñëè â (4.1) an ̸= 0, òî an íàçûâàþò,ànè ïèøóòdeg f = n. Íóëåâîìó ìíîãî÷ëåíó ïðèïèñûâàþò ñòåïåíü −∞.ÒÅÎÐÅÌÀ 4.1.AA[X]ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ.
Ïóñòü deg f = n, deg g = m. Èìååìêîëüöîì ìíîãî÷ëåíîâ íàä îäíîé ïåðåìåííîéìíîãî÷ëåíàìèñòàðøèì êîýôôèöèåíòîìñòåïåíüþ ìíîãî÷ëåíàÏóñòü îáëàñòü öåëîñòíîñòè. Òîãäà òàêæå îáëàñòü öåëîñòíîñòè.f g = f0 g0 + (f0 g1 + f1 g0 )X + ... + fn gm X n+m .Òàê êàê fn ̸= 0, gm ̸= 0, à A îáëàñòü öåëîñòíîñòè, òî è fn gm ̸= 0,ò.
å. f g ̸= 0. Îòìåòèì, ÷òî åñëè A îáëàñòü öåëîñòíîñòè, òîdeg(f g) = deg f + deg g.ÒÅÎÐÅÌÀ 4.2.åâêëèäîâî.ÏóñòüP ïîëå. Òîãäà êîëüöî(4.2)P [X]ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Ïîëîæèì δ(f ) = deg f . Òîãäà δ(f g) ≥δ(f ) (f, g ̸= 0). Ýòî ñëåäóåò èç (4.2). Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òîñòàðøèå êîýôôèöèåíòû ìíîãî÷ëåíîâ f è g ðàâíû 1. Ïóñòüf = X n + an−1 X n−1 + ... + a1 X + a0 ,g = X m + am−1 X m−1 + ... + b1 X + b0 , g ̸= 0.Ìû äîëæíû ïîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóþò òàêèå ìíîãî÷ëåíû q è r,òîf = qg + r, deg r < deg q.Ïðèìåíèì èíäóêöèþ ïî n. Åñëè n = 0 è m = deg g > deg f =0, òî ïîëîæèì q = 0, r = f , à åñëè n = m = 0, òî r = 0 èq = 1. Äîïóñòèì, ÷òî òåîðåìà äîêàçàíà äëÿ âñåõ ìíîãî÷ëåíîâñòåïåíè ≤ n (n ≥ 0).
Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ñ÷èòàåì m ≤ n,ïîñêîëüêó â ïðîòèâíîì ñëó÷àå âîçüìåì q = 0 è r = f . Ðàç ýòîòàê, òîf = X n−m g + f1 ,ãäå deg f1 < n. Ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè ìîæíî íàéòè òàêèåq1 è r, äëÿ êîòîðûõ f1 = q1 g + r, ïðè÷åì deg r < m. Ïîëîæèâq = X n−m g + q1 ,61ìû ïðèäåì ê ïàðå ìíîãî÷ëåíîâ ñ íóæíûì ñâîéñòâîì. ÑËÅÄÑÒÂÈÅ.PP [X]Ïðîñòûå ýëåìåíòû êîëüöà P [X] íàçûâàþòñÿìíîãî÷ëåíàìè.ÇÀÄÀ×À 4.1.
Äîêàçàòü, ÷òî ôàêòîðêîëüöî [X]/J , ãäå J èäåàë, ñîñòîÿùèé èç ìíîãî÷ëåíîâ, êðàòíûõ X 2 + 1, èçîìîðôíîïîëþ C.Âçÿâ â êà÷åñòâå îñíîâíîãî êîëüöà êîëüöî A = P [X], ìû ìîæåìîáðàçîâàòü êîëüöî ìíîãî÷ëåíîâ A[Y ] = P [X, Y ]. Îíî íàçûâàåòñÿêîëüöîì ìíîãî÷ëåíîâ îò äâóõ ïåðåìåííûõ.
Åãî ýëåìåíòû ýòîìíîãî÷ëåíû, òàêèå, êàê, íàïðèìåð, X 5 + X 3 Y 6 + 2XY .Îòìåòèì, ÷òî êîëüöî P [X, Y ] ôàêòîðèàëüíî, íî íå ÿâëÿåòñÿåâêëèäîâûì. Äîêàçûâàòü ìû ýòîãî íå áóäåì.Îïðåäåëèì äåéñòâèå ãðóïïû n íà ìíîæåñòâå P [X1 , ..., Xn ]ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïîëîæèì äëÿ f ∈ P [X1 , ..., Xn ] è σ ∈ nÅñëè ïîëå, òî êîëüöîôàêòîðèàëüíî.íåïðèâîäèìûìèSS(σf )(X1 , ..., Xn ) = f (Xσ−1 (1) , ..., Xσ−1 (n) ).Êàê ìû çíàåì, ýòî â ñàìîì äåëå äåéñòâèå.
Åñëè σf = f äëÿ âñåõσ ∈ n , òî ìíîãî÷ëåí f íàçûâàåòñÿ.Ïóñòü n = 3. Íàçîâåììíîãî÷ëåíûSìíîãî÷ëåíàìèñèììåòðè÷åñêèìýëåìåíòàðíûìè ñèììåòðè÷åñêèìèσ1 = X1 + X2 + X3 , σ2 = X1 X2 + X1 X3 + X2 X3 , σ3 = X1 X2 X3 .Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ýëåìåíòàðíûå ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû ïðè ëþáîì n. Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå, êîòîðîå ìû ïðèâåäåì áåç äîêàçàòåëüñòâà.ÒÅÎÐÅÌÀ 4.3.nËþáîé ñèììåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí îò ïåðåìåííûõ âûðàæàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêè ÷åðåç ýëåìåíòàðíûå ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû σ1, σ2, ..., σn, ïðè÷åì åäèíñòâåííûìîáðàçîì.
ÏÐÈÌÅÐ 4.1. Âûðàçèì ñèììåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåíf = x21 x2 + x1 x22 + x21 x2 + x1 x22 + x21 x2 + x1 x22÷åðåç ýëåìåíòàðíûå ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû. Èìååìx21 x2 + x1 x22 = x1 x2 (x1 + x2 + x3 ) − x1 x2 x3 = x1 x2 σ1 − σ3 .Òåïåðü ÿñíî, ÷òî f = σ2 σ1 − 3σ3 .
625. Àëãåáðàè÷åñêèå ðàñøèðåíèÿ ïîëåéÏóñòü P ïîëå, è k åãî ðàñøèðåíèå, ò. å. P ⊆ k . Ýëåìåíòa ∈ K íàçûâàåòñÿíàä P , åñëè ñóùåñòâóåò òàêîéìíîãî÷ëåí f (X) ∈ P [X], ÷òî f (a) = 0. Åñëè ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíàf ìèíèìàëüíà ñðåäè ñòåïåíåé âñåõ òàêèõ ìíîãî÷ëåíîâ g , ÷òîg(a) = 0 è, êðîìå òîãî, ñòàðøèé êîýôôèöèåíò f (X) ðàâåí 1, òîf (X) íàçûâàåòñÿýëåìåíòà a. Åñëèâñå ýëåìåíòû ïîëÿ k àëãåáðàè÷íû íàä P , òî ðàñøèðåíèå íàçûâàåòñÿíàä P .√ÏÐÈÌÅÐ 5.1. Ðàñøèðåíèå Q ⊂ Q( 2) ÿâëÿåòñÿàëãåáðàè÷åñ√êèì.
Ìèíèìàëüíûì ìíîãî÷ëåíîì ýëåìåíòà √ 2 ñëóæèò f (X) =X 2 − 2. Ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí ýëåìåíòà 2 + 1 åñòü g(X) =(X − 1)2 − 2 = √X 2 − 2X√− 3. Âîîáùå, ìèíèìàëüíûì ìíîãî÷ëåíîìýëåìåíòà a + b 2 ∈ Q( 2) ñëóæèò ìíîãî÷ëåí (X − a)2 − 2b2 . Ïóñòü, îáðàòíî, çàäàí ìíîãî÷ëåí f (X) ∈ P [X]. Ñóùåñòâóåòëè ðàñøèðåíèå P ⊂ k è ýëåìåíò a ∈ k ñî ñâîéñòâîì f (a) =0? ßñíî, ÷òî ìíîãî÷ëåí f (X) ìîæíî ñ÷èòàòü íåïðèâîäèìûì.Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî îòâåò íà ýòîò âîïðîñ óòâåðäèòåëüíûé.ÒÅÎÐÅÌÀ 5.1.Pf (X) ∈ P [X]P,àëãåáðàè÷åñêèììèíèìàëüíûì ìíîãî÷ëåíîìàëãåáðàè÷åñêèìÏóñòü ïîëå, íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí.
Ñóùåñòâóåò ðàñøèðåíèå ïîëÿ â êîòîðîìýòîò ìíîãî÷ëåí èìååò êîðåíü.ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Ðàññìîòðèì ôàêòîðêîëüöîk = P [X]/(f (X)).Óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî k ïîëå. Äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü òîëüêî,÷òî ëþáîé íåíóëåâîé ýëåìåíò êîëüöà k èìååò îáðàòíûé. Ïóñòü(f (X)) = J è g(X) + J íåíóëåâîé ýëåìåíò êîëüöà k , ò. å.f (X) è g(X) âçàèìíî ïðîñòû. Òàê êàê êîëüöî P [X] åâêëèäîâî,ñóùåñòâóþò òàêèå ìíîãî÷ëåíû u(X) è v(X), ÷òîg(X)u(X) + f (X)v(X) = 1.Îòñþäà(g + J)(u + J) = 1 + J,ò. å.
u + J = (g + J)−1 . Èòàê, k ïîëå.ßñíî, ÷òî ýëåìåíòû âèäà a + J , ãäå a ∈ P , îáðàçóþò ïîäïîëåâ k , èçîìîðôíîå ïîëþ P è ìû ìîæåì ïèñàòü P ⊆ k .Òåïåðü ïîêàæåì, ÷òî ìíîãî÷ëåí f (X) èìååò êîðåíü â k . Âñèëó ñêàçàííîãî, f (X) ∈ k[X]. Ðàññìîòðèì ýëåìåíò X + J ∈ k .63Èìååìf (X + J) = f (X) + J = J = 0,êàê è òðåáîâàëîñü. Çàìåòèì, ÷òî ñóùåñòâóåò öåïî÷êà âêëþ÷åíèé ïîëåéP ⊆ k ⊆ K ⊆ P̄ ,ãäå K ïîëå, â êîòîðîì ìíîãî÷ëåí f (X) ðàçëàãàåòñÿ íà ëèíåéíûåìíîæèòåëè (f (X)), à P̄ ïîëå, âêîòîðîì íà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè ðàçëàãàåòñÿìíîãî÷ëåíèç P [X] (P ). Äîêàçàòåëüñòâî ìûïðèâîäèòü íå áóäåì.ïîëå ðàçëîæåíèÿ ìíîãî÷ëåíààëãåáðàè÷åñêîå çàìûêàíèå ïîëÿëþáîéËèòåðàòóðà[1] ÊÎÑÒÐÈÊÈÍ À.
È. Ââåäåíèå â àëãåáðó. Ì.: Íàóêà, 1977.[2] ÊÓÐÎØ À. Ã. Êóðñ âûñøåé àëãåáðû. Ì.: Íàóêà, 1965.[3] ËßÏÈÍ Å. Ñ., ÀÉÇÅÍØÒÀÒ À. ß., ËÅÑÎÕÈÍ Å. Ñ.Óïðàæíåíèÿ ïî òåîðèè ãðóïï. Ì.: Íàóêà, 1967.[4] ÍÅÔÅÄΠÂ. Í., ÎÑÈÏÎÂÀ Â. À. Êóðñ äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè. Ì.: Èçä-âî ÌÀÈ, 1992.64.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
