Главная » Просмотр файлов » Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы

Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412), страница 31

Файл №1078412 Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы) 31 страницаСамарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412) страница 312018-01-10СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 31)

А А. А. Самарский, А. В. Гулиа 1В1 основанные на замене интеграла конечной суммой л /„= '~~~ с»/(х»), (2) !» =а где с,— числовые коэффициенты и х„— точки отрезка [а, /»1, /й =О, 1,..., и. Приближенное равенство Ь л ~ / (х) йх = ~ с4 (х») а »=а называется квадратурной формулой, а сумма вида (2) — квадратурной суммой, Точки х, называются узлами квадратурной формульк а числа с,— козффиииентами квадратурной формулы. Раз- ность При оценке погрешности в приводимых ниже примерах функция 1(х) предполагается достаточно гладкой. Введем на (а, Ь] равномерную сетку с шагом й, т.

е. множество точек ем = (х, = а+ 1й, 1 = О, 1,..., йг, йУ = Ь вЂ” а), и представим интеграл (1) в виде суммы интегралов по частичным отрезкам: ь и г ~ г (х) г(х = ~ ) г (х) г(х. (3) г=т х; Для построения формулы численного интегрирования на всем отрезке 1а, Ь) достаточно построить квадратурную формулу для интеграла х; ~ 1(х) ах (4) ~ ~(х)г(х=~(хг и) й, (5) х г — 1 Рис. В.

Геометрический смысл фор мулы прямоугольииков которая называется формулой прямоугольников на частичном отрезке (х. ь х,). Погрешность метода (5) определяется величиной хь фг = ~ ) (х) с(х — ) (хг и) й, «г — 1 которую легко оценить с помощью формулы Тейлора. Действительно, запишем трг в виде ф;= ~ (Г'(х) — Г'(х и))г(х (6) и воспользуемся разложением 1(х)=)'(хг и)+(х — хг и)1'(х; ...)+ ' и Г'(~г), 2 162 х на частичном отрезке [х, и хг) и воспользоваться свойством (3). 2. Формула прямоугольников. Заменим интеграл (4) выражением 1(х, ь)й, где х, и — — х,— 0,5 й.

Геометрически такая замена означает, что площадь криволинейной трапеции АВС0 заменяется плошадью прямоугольника АВС'0' (см, рис. 5). Тогда получим формулу х; где ь,=ь,(х) ен[х, ь х ), Тогда из (6) получим «; 7 (1;;) с(х. 2 «; 1 Обозначая М»л= шах ))"(х)), оценим ~р; следу1ощим обра. «е1«ь м«ь] «; (х — хьп )' дь )ф,)~М,х ~ — ' (х= Мьп 2 24 Таким образом, для погрешности формулы прямоугольников на частичном отрезке справедлива оценка ьэ ~~;(( — М,п 24 (7) а» ьх 7 (х) их — 7 (хь и) й = — = — м,,п !2»4 « ° м1 Суммируя равенства (5) по ! от 1 до М, получим составную формулу прямоугольников ь У ') ((х) Их = ~~~~ ((х; и) й.

(8) а ь=« Погрешность этой формулы ь и Ф = ) ((х) Ых — у; ~(х! 8) й « 1=1 равна сумме погрешностей по всем частичным отрезкам, н (х — х )» Ч' — '~~ ф;=~ ~,,' и )»(~;)с(х. 1=» ь=ь Е'-! Отсюда, обозначаяМ = шах ))" (х) (, получим «ым.ь! мххкь аь(ь,) М 24 24 (9) т. е. погрешность формулы прямоугольников на всем отрезке есть величина 0(й»). 6» 1ВЗ т. е. формула имеет погрешность 0(й') при й-».О. Заметим, что оценка (7) является неулучшаемой, т. с.

существует функция )(х), для которой (7) выполняется со знаком равенства. Действительно, для )'(х) = (х — х, в)' имеем М,,=2, )(х, ь) =Ои В этом случае говорят, что квадратурная формула имеет второй порядок точности. Замечание. Возможны формулы прямоугольников и при ином расположеняи узлов, например такие формулы: ь ь и ) 1(х)г(х= Я Ь/(х,,), ) )(х)лх ~~~ Ь/(хс). с — 1 з=ь Однако из-за нарушения симметрии погрешность таких формул является вели- чиной 0(й).

3. Формула трапеций. На частичном отрезке эта формула имеет вид х; (10) и получается путем замены подьштегральной функции 1(х) интерноляционным многочленом первой степени, построенным по узлам х, „хь т. е. функцией Цл(х) = ~ ((х — х;,)1(хг) — (х — х;))(хс,)). й Для оценки погрешности достаточно вспомнить (см, и 1 $ 2 гл, 3), что (х — х; ,) (х — х,.) ((х) — Е,л(х)= ' ' ' )" (~;(х)). 2 Отсюда получим 1 (х;,) + 1 (х,) Ф= 1 1(х)йх — '-',' ' Ь= а хь-1 х, хь = ~ ()(х) — 1.ыг(х))с(х= ~ ' ' ' )" (г".г(х))с(х х.

ыь х, ь и, следовательно, д( лз ! фг) =- (11) Оценка (11) неулучшаема, так как в ней достигаетсн равенство, например, для 1(х) = (х — х,)'. Составная формула трапеций имеет вид ь ) (хь) + ) (хт,) 2 г=х = й (0,5("а + 1з + + )н-з + 0 5~а) (12) где),=)(х),1=0, 1,..., М, пМ=(г — а. ьИ Погрешность этой формулы оценивается следующим образом: [Ч'[( М„М,= шах [)" (х)[.

ш хермь1 Таким образом, формула трапеций имеет, так же как и форму- ла прямоугольников, второй порядок точности, ~1'=0(п'), но ее по- грешность оценивается величиной в два раза большей (см. (9)). 4. Формула Симпсона. Прн аппроксимации интеграла (4) заме- ним функцию )(х) параболой, проходящей через точки (х„((х,)), 1=! — 1, ! — 0,5, 1, т. е. представим приближенно!(х) в виде 1(х) =1х,(х), хен[х, „х;[, где Еьл(х) — интерполяционный многочлен Лагранжа второй сте- пени, 2 Е,л (х) =- — ((х — х; и) (х — х ) (;,— Ьь — 2(х — х;,)(х — х;))~ и+(х — х,)(х — х; ь)Ц.

(13) Проводя интегрирование, получим Х~ Ц,л(х)йх= " (~;, +4~, и+1;), 5=х; — х;,. б к. ! — 1 Таким образом, приходим к приближенному равенству л; 1 ) (х) йх= — Й-1+ 41-и+1), (14) к которое называется формулой Симпсона или формулой парабол. На всем отрезке [а, 6) формула Симпсона имеет вид ь 1 (х) йх с" — ()ь, + 4~~ н + ),) = Ь б й 1=1 Ь = — К+ Ь + 2 Дь+ )ь -г- . + Ь-1) + 4 Ди + ~ ь+ ° + Ь-~)~. б Чтобы не использовать дробных индексов, можно обозначить х;=а+0,551, [,=[(х,), 1=0, 1,...,2У, 5%=6 — а и записать формулу Симпсона в виде ь ~ (х) йх — [~ь + ~ьн + 2 Дь+ ~4+ ... + [ьн ь) + бй ь +4(~,+1ь+ ... +Ь,м )1.

(15) Прежде чем переходить к оценке погрешности формулы (14), заметим, что она является точной для любого многочлена третьей 1бб степени, т. е. имеет место точное равенство «; 1 (х) г(х = — ();, + 4~; и + ~,), а 6 «; если 1(х) =а,+а,х+а,х'+а,х'. Это утверждение нетрудно прове- рить непосредственно, что и предоставляется сделать читателю. Для оценки погрешности формулы Симпсона воспользуемся интерполяционным многочленом Эрмнта. Построим многочлен третьей степени Н,(х) такой, что Н (х- )=1( ), Н (х.-м) =Их-и), Н (х и) =~ (х н), Н (х) =~(х~).

Из $3 гл. 3 известно, что такой многочлен существует и единствен. Он построен в явном виде в примере из п, 2 5 3 гл. 3. Однако нам даже не потребуется явный вид многочлена Н,,(х). Вспоминая, что формула Симпсона точна для любого многочлепа третьей степени, получим «; а Н,(х)г(х= (Н,(х;,)+4Н,(х; и)+Н,(х,))— «~ = — (~;, + 41'; и + Ц. (18) Представим теперь 1(х) в виде 1(х) =Н,(х) +г,(х), хен[х; „ х;], (12) где г,(х) — погрешность интерполирования многочленом Эрмита Н,(х). Интегрируя (17) и учитывая (16), получим «; «; 1(х)ох — — (~;,+4~; и+1;)= ) г,(х)Ых. (!8) 6 «; д «у ~ Согласно (14) из 5 3 гл. 3 имеем 1'~ Кй ьч(х) = ' (х — х) (х — хс;,)'(х — х;,), 24 поэтому из (18) для погрешности ф; формулы (14) получаем оценку «; )ф~ ( " ( (х — х;)(х — х; и)'(х — х;,)Ых, 24 где М,,; = епр )Г (х)).

«ь[«;,«д Вычисляя интеграл, приходим окончательно к оценке Ь~ 44,,ь 2880 166 Погрешность составной формулы Симпсона (!5) оценивается так: 1„= 1+ с ! — ) +(1(й ). Отсюда получим, что ! 3 1 — — 1 = — 1+ 0 (й4) и1з 4 4 т. е. выражение 4 1 1ь = З М З 1ь совпадает с интегралом! с точностью до величин 0(й4). В данном примере не обязательно проводить расчет на двух сетках, так как можно построить износ выражение для суммы 1ь.

Дейстнителшю, Аг+ (г-. 4'л(з — 1ь= Х (7! г+% у,+Уй — Х !=1 2 + 41! и+(г 6 и 1=„Я~ г=г Таким образом, снова получим квадратурную формулу Симпсона. !87 [Чг~( й (й ') М йЛ!=Ь вЂ” а М = я!р [игр(х)[. 2880 хщ1э,э! Отсюда видно, что формула Симпсона существенно точнее, чем формулы прямоугольников и трапеций. На частичном отрезке она имеет точность 0(й') „а на всем отрезке — 0(й') . Приведем вывод формулы Симпсона, основанный на методе экстраполяции. Метод экстраполяции состоит в следующем. Проведем дна расчета по формуле трапеций (!2), первый расчет с шагом й, когда вычисляется сумма 71+!- 1ь —— ~>~ й, 1' = 1(х;), хг = а+ 1й, г=х й= (Ь вЂ” а) 1й(, н второй расчет — с шагом О,бй, когда вычисляется сумма [[Р-,еэп) [э- е! )~ у 'р~ (1! + 21; ...

+7!) —, 7! у =1(х; — 0,5й). 1=г Используя разложение по формуле Тейлора, можно показать, что для до- статочно гладкой функции ((х) справедливо равенство 1л = 1+ сгйз+ О (й4), где! — исходный интеграл (!) и сз — постоянная, не зависящая от й. Точно так же 5. Апостериорная оценка погрешности методом Рунге. Автома- тический выбор шага интегрирования. Величина погрешности чис- ленвого интегрирования зависит как от шага сетки ]], так и от глад- кости подынтегральной функции 1(х). Например, в оценку (]]), наряду с ]И входит величина ]И,х= шах ]1" (х)[, «и[«;,«]] которая может сильно меняться от точки к точке и, вообще говоря, заранее неизвестна. Если величина погрешности велика, то ее можно уменьшить путем измельчения сетки на данном отрезке [х, „ х,). Для этого прежде всего надо уметь апостериорно, т.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
6,53 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее