Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412), страница 31
Текст из файла (страница 31)
А А. А. Самарский, А. В. Гулиа 1В1 основанные на замене интеграла конечной суммой л /„= '~~~ с»/(х»), (2) !» =а где с,— числовые коэффициенты и х„— точки отрезка [а, /»1, /й =О, 1,..., и. Приближенное равенство Ь л ~ / (х) йх = ~ с4 (х») а »=а называется квадратурной формулой, а сумма вида (2) — квадратурной суммой, Точки х, называются узлами квадратурной формульк а числа с,— козффиииентами квадратурной формулы. Раз- ность При оценке погрешности в приводимых ниже примерах функция 1(х) предполагается достаточно гладкой. Введем на (а, Ь] равномерную сетку с шагом й, т.
е. множество точек ем = (х, = а+ 1й, 1 = О, 1,..., йг, йУ = Ь вЂ” а), и представим интеграл (1) в виде суммы интегралов по частичным отрезкам: ь и г ~ г (х) г(х = ~ ) г (х) г(х. (3) г=т х; Для построения формулы численного интегрирования на всем отрезке 1а, Ь) достаточно построить квадратурную формулу для интеграла х; ~ 1(х) ах (4) ~ ~(х)г(х=~(хг и) й, (5) х г — 1 Рис. В.
Геометрический смысл фор мулы прямоугольииков которая называется формулой прямоугольников на частичном отрезке (х. ь х,). Погрешность метода (5) определяется величиной хь фг = ~ ) (х) с(х — ) (хг и) й, «г — 1 которую легко оценить с помощью формулы Тейлора. Действительно, запишем трг в виде ф;= ~ (Г'(х) — Г'(х и))г(х (6) и воспользуемся разложением 1(х)=)'(хг и)+(х — хг и)1'(х; ...)+ ' и Г'(~г), 2 162 х на частичном отрезке [х, и хг) и воспользоваться свойством (3). 2. Формула прямоугольников. Заменим интеграл (4) выражением 1(х, ь)й, где х, и — — х,— 0,5 й.
Геометрически такая замена означает, что площадь криволинейной трапеции АВС0 заменяется плошадью прямоугольника АВС'0' (см, рис. 5). Тогда получим формулу х; где ь,=ь,(х) ен[х, ь х ), Тогда из (6) получим «; 7 (1;;) с(х. 2 «; 1 Обозначая М»л= шах ))"(х)), оценим ~р; следу1ощим обра. «е1«ь м«ь] «; (х — хьп )' дь )ф,)~М,х ~ — ' (х= Мьп 2 24 Таким образом, для погрешности формулы прямоугольников на частичном отрезке справедлива оценка ьэ ~~;(( — М,п 24 (7) а» ьх 7 (х) их — 7 (хь и) й = — = — м,,п !2»4 « ° м1 Суммируя равенства (5) по ! от 1 до М, получим составную формулу прямоугольников ь У ') ((х) Их = ~~~~ ((х; и) й.
(8) а ь=« Погрешность этой формулы ь и Ф = ) ((х) Ых — у; ~(х! 8) й « 1=1 равна сумме погрешностей по всем частичным отрезкам, н (х — х )» Ч' — '~~ ф;=~ ~,,' и )»(~;)с(х. 1=» ь=ь Е'-! Отсюда, обозначаяМ = шах ))" (х) (, получим «ым.ь! мххкь аь(ь,) М 24 24 (9) т. е. погрешность формулы прямоугольников на всем отрезке есть величина 0(й»). 6» 1ВЗ т. е. формула имеет погрешность 0(й') при й-».О. Заметим, что оценка (7) является неулучшаемой, т. с.
существует функция )(х), для которой (7) выполняется со знаком равенства. Действительно, для )'(х) = (х — х, в)' имеем М,,=2, )(х, ь) =Ои В этом случае говорят, что квадратурная формула имеет второй порядок точности. Замечание. Возможны формулы прямоугольников и при ином расположеняи узлов, например такие формулы: ь ь и ) 1(х)г(х= Я Ь/(х,,), ) )(х)лх ~~~ Ь/(хс). с — 1 з=ь Однако из-за нарушения симметрии погрешность таких формул является вели- чиной 0(й).
3. Формула трапеций. На частичном отрезке эта формула имеет вид х; (10) и получается путем замены подьштегральной функции 1(х) интерноляционным многочленом первой степени, построенным по узлам х, „хь т. е. функцией Цл(х) = ~ ((х — х;,)1(хг) — (х — х;))(хс,)). й Для оценки погрешности достаточно вспомнить (см, и 1 $ 2 гл, 3), что (х — х; ,) (х — х,.) ((х) — Е,л(х)= ' ' ' )" (~;(х)). 2 Отсюда получим 1 (х;,) + 1 (х,) Ф= 1 1(х)йх — '-',' ' Ь= а хь-1 х, хь = ~ ()(х) — 1.ыг(х))с(х= ~ ' ' ' )" (г".г(х))с(х х.
ыь х, ь и, следовательно, д( лз ! фг) =- (11) Оценка (11) неулучшаема, так как в ней достигаетсн равенство, например, для 1(х) = (х — х,)'. Составная формула трапеций имеет вид ь ) (хь) + ) (хт,) 2 г=х = й (0,5("а + 1з + + )н-з + 0 5~а) (12) где),=)(х),1=0, 1,..., М, пМ=(г — а. ьИ Погрешность этой формулы оценивается следующим образом: [Ч'[( М„М,= шах [)" (х)[.
ш хермь1 Таким образом, формула трапеций имеет, так же как и форму- ла прямоугольников, второй порядок точности, ~1'=0(п'), но ее по- грешность оценивается величиной в два раза большей (см. (9)). 4. Формула Симпсона. Прн аппроксимации интеграла (4) заме- ним функцию )(х) параболой, проходящей через точки (х„((х,)), 1=! — 1, ! — 0,5, 1, т. е. представим приближенно!(х) в виде 1(х) =1х,(х), хен[х, „х;[, где Еьл(х) — интерполяционный многочлен Лагранжа второй сте- пени, 2 Е,л (х) =- — ((х — х; и) (х — х ) (;,— Ьь — 2(х — х;,)(х — х;))~ и+(х — х,)(х — х; ь)Ц.
(13) Проводя интегрирование, получим Х~ Ц,л(х)йх= " (~;, +4~, и+1;), 5=х; — х;,. б к. ! — 1 Таким образом, приходим к приближенному равенству л; 1 ) (х) йх= — Й-1+ 41-и+1), (14) к которое называется формулой Симпсона или формулой парабол. На всем отрезке [а, 6) формула Симпсона имеет вид ь 1 (х) йх с" — ()ь, + 4~~ н + ),) = Ь б й 1=1 Ь = — К+ Ь + 2 Дь+ )ь -г- . + Ь-1) + 4 Ди + ~ ь+ ° + Ь-~)~. б Чтобы не использовать дробных индексов, можно обозначить х;=а+0,551, [,=[(х,), 1=0, 1,...,2У, 5%=6 — а и записать формулу Симпсона в виде ь ~ (х) йх — [~ь + ~ьн + 2 Дь+ ~4+ ... + [ьн ь) + бй ь +4(~,+1ь+ ... +Ь,м )1.
(15) Прежде чем переходить к оценке погрешности формулы (14), заметим, что она является точной для любого многочлена третьей 1бб степени, т. е. имеет место точное равенство «; 1 (х) г(х = — ();, + 4~; и + ~,), а 6 «; если 1(х) =а,+а,х+а,х'+а,х'. Это утверждение нетрудно прове- рить непосредственно, что и предоставляется сделать читателю. Для оценки погрешности формулы Симпсона воспользуемся интерполяционным многочленом Эрмнта. Построим многочлен третьей степени Н,(х) такой, что Н (х- )=1( ), Н (х.-м) =Их-и), Н (х и) =~ (х н), Н (х) =~(х~).
Из $3 гл. 3 известно, что такой многочлен существует и единствен. Он построен в явном виде в примере из п, 2 5 3 гл. 3. Однако нам даже не потребуется явный вид многочлена Н,,(х). Вспоминая, что формула Симпсона точна для любого многочлепа третьей степени, получим «; а Н,(х)г(х= (Н,(х;,)+4Н,(х; и)+Н,(х,))— «~ = — (~;, + 41'; и + Ц. (18) Представим теперь 1(х) в виде 1(х) =Н,(х) +г,(х), хен[х; „ х;], (12) где г,(х) — погрешность интерполирования многочленом Эрмита Н,(х). Интегрируя (17) и учитывая (16), получим «; «; 1(х)ох — — (~;,+4~; и+1;)= ) г,(х)Ых. (!8) 6 «; д «у ~ Согласно (14) из 5 3 гл. 3 имеем 1'~ Кй ьч(х) = ' (х — х) (х — хс;,)'(х — х;,), 24 поэтому из (18) для погрешности ф; формулы (14) получаем оценку «; )ф~ ( " ( (х — х;)(х — х; и)'(х — х;,)Ых, 24 где М,,; = епр )Г (х)).
«ь[«;,«д Вычисляя интеграл, приходим окончательно к оценке Ь~ 44,,ь 2880 166 Погрешность составной формулы Симпсона (!5) оценивается так: 1„= 1+ с ! — ) +(1(й ). Отсюда получим, что ! 3 1 — — 1 = — 1+ 0 (й4) и1з 4 4 т. е. выражение 4 1 1ь = З М З 1ь совпадает с интегралом! с точностью до величин 0(й4). В данном примере не обязательно проводить расчет на двух сетках, так как можно построить износ выражение для суммы 1ь.
Дейстнителшю, Аг+ (г-. 4'л(з — 1ь= Х (7! г+% у,+Уй — Х !=1 2 + 41! и+(г 6 и 1=„Я~ г=г Таким образом, снова получим квадратурную формулу Симпсона. !87 [Чг~( й (й ') М йЛ!=Ь вЂ” а М = я!р [игр(х)[. 2880 хщ1э,э! Отсюда видно, что формула Симпсона существенно точнее, чем формулы прямоугольников и трапеций. На частичном отрезке она имеет точность 0(й') „а на всем отрезке — 0(й') . Приведем вывод формулы Симпсона, основанный на методе экстраполяции. Метод экстраполяции состоит в следующем. Проведем дна расчета по формуле трапеций (!2), первый расчет с шагом й, когда вычисляется сумма 71+!- 1ь —— ~>~ й, 1' = 1(х;), хг = а+ 1й, г=х й= (Ь вЂ” а) 1й(, н второй расчет — с шагом О,бй, когда вычисляется сумма [[Р-,еэп) [э- е! )~ у 'р~ (1! + 21; ...
+7!) —, 7! у =1(х; — 0,5й). 1=г Используя разложение по формуле Тейлора, можно показать, что для до- статочно гладкой функции ((х) справедливо равенство 1л = 1+ сгйз+ О (й4), где! — исходный интеграл (!) и сз — постоянная, не зависящая от й. Точно так же 5. Апостериорная оценка погрешности методом Рунге. Автома- тический выбор шага интегрирования. Величина погрешности чис- ленвого интегрирования зависит как от шага сетки ]], так и от глад- кости подынтегральной функции 1(х). Например, в оценку (]]), наряду с ]И входит величина ]И,х= шах ]1" (х)[, «и[«;,«]] которая может сильно меняться от точки к точке и, вообще говоря, заранее неизвестна. Если величина погрешности велика, то ее можно уменьшить путем измельчения сетки на данном отрезке [х, „ х,). Для этого прежде всего надо уметь апостериорно, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
