Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412), страница 28
Текст из файла (страница 28)
От функции !(х) будем требовать существования непрерывной на [а, Ь] четвертой производной, 1(х)~С"'[а, Ь]. Кроме того, предположим, что выполнены граничные условия 1" (а)=1" (Ь)=0 и такие же условия для сплайнов. Обозначим ]]й(х)]~1, „= гпах ]д(х)], М4 —— !1~ ~(х) ]]с1,, Пусть з„(х) — кубический сплайн, построенный для функции ! (х) на сетке ые. В следующей теореме приведены оценки погрешно- сти интерполяции для функции )(х) и ее производных 1'(х), 1" (х).
Т е о р е м а !. Для геиС'" [а, Ь] справедливы оценки 3Р(~) гм(~)Ц м~~МЬ" (12) $Е (х) — ' (х)]Ь!.,е)~М йе (! 3) ]]! (х) — зэ (х) !с! э1 (~ М4Й . (14) Из этих оценок следует, что при Ь-~0 (т. е. при )э'- оо) после- довательности з!о(х), 1=0,1,2, сходятся соответственно к функ- циям [ш(х), 1=0, 1, 2. Для доказательства теоремы 1 потребуется следующая лем- ма 1, в которой даны оценки погрешности !'"(х,) — э,,(хд в узлах сетки.
Будем обозначать ]] гэ (х) ]с,,, = шах ] гр (хс) ]. х; мел Лемма 1. Для 1(х)с=С'о[а, Ь] справедливы оценки ] /" (х) — з,, (х) ]],„, ( — 4 Ьэ, (15) Д о к а з а те л ьс т во. Поскольку з,, (х,) =с„где с, — решение системы (11), достаточно получить оценку для погрешности г,= =с; — 1" (х,), 1=1,2,...,й! — !. Подставляя с,=г,+ !'; в (!1), получаем для г, уравнения г,,+4г;+г,.„,=цн, 1=1, 2,..., !у — 1, г,=г„=О, (16) где (17) Оценим решение системы уравнений (16) через правые части ф. Для этого перепишем уравнение (16) в виде 4г,= — г,,— гм,+цэ !44 и воспользуемся неравенствами 4!"1~!"-!+!' !+~'Ф ~~й~!4сэ.)+!~Ф~Ь. >.
Так как это неравенство справедливо при всех 1, оно выполняется н в той точке х,=х., в которой достигается максимум !г,~, т. е. в точке, где М =!! А(.м Поэтому выполняется нерзвенства 4!Щ(„>~2!! ~~с(„,,)+~!Ф1,(„„п т. е. (18) Для того чтобы получить отсюда неравенство (!5), осталось оценить ~$(~< и где ~, определено согласно (17).
Перепишем аь в виде Ф = 5 (1- — 6) — й' Ч")- (! 9) и воспользуемся разложениями (см. и. 1 4 4 ч. 1) а' л ~„-„,.= г; + — 1 (3), $~г= (х; „х;„), !2 ()")„-„, =) (~;), ь; я= (х; „х;„), справедливыми для !(х)енСо'(а, Ь). Тогда из (19) получим Ф. = — !" (э) — П" (ь), 2 т. е. при любом 1=1, 2,..., )э' — 1 справедлива оценка )зф;! = — Й' гпах !1 (х)), 2 ко[ад] или ~;~!!с< и -. 1,55'м„ где М,= шах ~1' (х) ~.
Отсюда и из (18) получаем требуемое не«еыл! равенство (15). Лемма 1 доказана. Перейдем к доказательству теоремы !. Получим сначала оценку (14) погрешности 1" (х) — з", (х), возникающей при ннтерполь ровании !'(х) кубическим сплайном з„(х). Рассмотрим отрезок !х, ь х;], где ! — любое из чисел 1, 2, ..., Ч. На этом отрезке з"„(х)=с,+и',(х — х,) и согласно (4) имеем сэ„(х) =с;+ ' ' (х — х,) а 146 или з„(х) = ась + (1 — и) с; „ где х — х; 1 х,— х а=, 1 — а= (20) ь ь Для сеточных функций о, определенных на сетке ыь, обозначим сьи1 = ас; + (1 — и) с, „ так что з" (х) = с!'"'.
ь Воспользовавшись тождеством !" (х) =(1,)' + (!'(х) — 1;) представим погрешность !"(х) -з„'(х) в виде !" (х) — зь (х) = (Г'; — с,)' ' + Ц" (х) — ),)'"', т. е. ! ((; — с;) еи ( ( — 'з .И,й'. 4 (22) Далее, рассмотрим выражение ()" (х) — 1;) ии = и (Г" (х) — (;) + (! — и) ()" (х) — ~хи). По формуле Тейлора имеем (х — «,!' ~,р 1" (х) — 1~ =(х — х;) !" (х) —, Г (Ь), (х — х;,)ь !" (х) — 1,,=(х — х;,)!'"(х) — ' ' !' (й), 2 где $., Ь;ен(х, „х;). Отсюда н нз (20) получим (!" (х) — 1,)'"'=[а(х — х) +(1 — а)(х — хьвЦ)' !(х)— — — [а(х — х;)'!"' (е,) + (1 — и) (х — х;,)')' ф)) = 2 — [(х; — х) ) (к,)+ (х — х;,) ) (ь,)), 2Ь !46 Отсюда получаем неравенство (!" (х) — хь(х)((((); — с,)кв(+)()" (х) — (;)'"'(, (21) справедливое для любого хен[х, „х,). Оценим отдельно каждое из двух слагаемых в правой части неравенства (2!).
Для первого слагаемого, учитывая лемму 1, имеем (й — с,)' ') = / и(!'; — сс) + (! — а) (!';, — си,) ! = ( а /! /" (х) — зь (х) !!с<„,,1 + (1 — а) !~ у'" (х) — хь (х) (с«.ь1 ~ — д4~д*, так что !дх(Х) — я'")~( 1 ( щах ((х х»-») (х» х)] ( И» (х» х) + М» (х хе-~)] 2Л х; „<х~х» = 0,5)4» — = — '' 4 8 Итак, нторое слагаемое в правой части неравенства (21) оце- нивается следующим образом: !(Г( ) -6)'"'1(Т (23) Подставляя оценки (22) и (23) в неравенство (21), получим )/'(х) — з„"(х) ) ~' — '' (24) для любого хе=(х; „х,].
Поскольку неравенство (24) справедливо для любого»=1, 2,..., У, из него следует оценка (14). Докажем теперь оценку (13). Рассмотрим на отрезке (х, „х,) функцию г(х)=1(х) — з,(х). По определению сплайна имеем г(хьч)=г(х;)=О, следовательно, найдется точка йен(х, „х;), в ко- торой г'(й) =О. Поэтому )г'(х) $ = )г'(х) — г'($) ! = )г"(ь)(х — 4) ! ( /г"(ь) )Й, где Ьен(х, „х,). Таким образом, )1'(х) — з,',(х) (~)1" (Ь) — з„(~) ~л, и, учитывая (14), получим неравенство "-(и) ) х,И ь» из которого следует оценка (! 3). Осталось получить оценку (12).
Пусть х — любая точка из ин- тервала (х; „х,). Введем функцию йЯ=1(1) — з„(1) — К(1 — х,,) (1 — х,), (25) где »е=(х, „ х;) и К вЂ” постоянная, выбираемая из условия а(х) =О. т, е. 7'(х) — »х (х) К= (х — х;,) (х — х;) Имеем р(х,,)=п(х)=а(х)=0. Поэтому найдется хотя бы одна точка 3ен(х, „х,), в которой д" ($) =О.
Поскольку у (») =7 (Π— зий — 2К. получим ~" Ф вЂ” з„%=2К, т. е. К 13) — »ь К) 1(х) — зх (х) = ' (х — х;,) (х — х,) . 2 147 Отсюда и из (14) получаем неравенство ! ч м»4 4 Ь которое н приводит к оценке (12). Теорема 1 доказана. й 5.
Другие постановки задач интерполирования н приближения функций 1. Примеры. Во многих случаях возникает необходимость приближенной замены данной функции другими, более простыми функциями. Одним нз способов такой замены является интерполяция алгебраическими многочленами, подробно рассмотренная в предыдущих параграфах. Однако пе всякую функцию целесообразно приближать алгебраическими многочленамн. Отметим в виде примеров несколько других способов интерполирования.
П р и м е р 1. Тригонометрическая интерполяция. Если 1(х)— периодическая функция с периодом 1, то естественно строить приближения с помощью функций л»х . л»х ср» (х) = а» соз — '+ Ь» сбп '- —, й = О, 1, ..., и. 1 Таким образом, тригонометрическая интерполяция состоит в замене)1(х) тригонометрическим многочленом х х л»» л»х т Т„(х) = с~~ гс»(х) = а, + '~~~ (а» соя — +Ь»гйп ---~, »=» »=» ' коэффициенты которого отыскиваются из системы уравнений Т (х,)=)(х,), 1'=1,2,...,2п+1, где х,(х,(...
(х,„»„х»„.»,— х,=1. П р и м ер 2. Приближение рациональными функциями. Пусть значения функции 1(х) заданы в точках х,<х,«...х„. Требуется построить функцию а»х" + а »х» ' + ... + а» ч», (х) = х~+ 6|,х '+ ... + 6» (я, 1 — заданы), для которой ф, (х~) =1(х;), 1=0, 1, ..., и.
(2) Уравнения (2) представляют собой систему из и+1 уравнения относительно /г+1+1 неизвестного а„а„..., а„Ь„Ь„..., Ь,, Будем требовать, чтобы число уравнений равнялось числу неизвестных, т. е. п=й+1. Тогда придем к системе линейных уравнений » '~~ а,х' — ~;'~', Ь;х',.=),х'., 1.=0, 1, ..., Ь+1, (3) Е=» 1=.0 148 в которой неизвестными являются величины а„(=0, 1,..., я, Ьь (=6, 1,..., ( — !. П р и м е р 3. Дробно-линейная ингерполяциа Пусть значения функции 1(х) заданы в трех узлах, а именно в точках х.
о хг, х;„„ причем х,,<х,<х,+,. Построим функцию г (х) = ' г (4) х -1- Ьх для которой чг(х,) =1(х,), 1'=г-1, (, г+1. Данная задача является частным случаем задачи, сформулированной в предыдущем примере, когда й=(=-1. Поэтому для определения коэффициентов а„а„Ь, можно воспользоваться системой уравнений (3), которая в данном случае примет вид а„ + а„хг, — Ь„)г, = хг г1г „ а, + агхг — Ь,~г = хД (5) игг+ а,хог — Ьгг1г„=хг г~ Найдем в явном виде решение этой системы. Обозначим (гг = хг — х, „(ггг.г = х;„— хг, гн = 0,5 (Ьг „, + Ьг), 6л =Ь вЂ” 1 )1(гь 1. =(6.
— Й(ног, ~хх г (гх ' гх г) Применяя последовательное исключение неизвестных„приведем систему (5) к треугольному виду а,+ а,хг — Ь,~г=хх1г, аг — Ь,~-„г =. (х1)„- н (6) Если ~-„„-г ~ О, то нз (6) последовательно найдем (.х1)-- з1„-л1,л Ь„= — *', а, =-1,— 1„-; г зх;1- 1„г — 1; (х1)- ох = х«Л При проведении вычислений по этим формулам может оказаться полезным тождество (х()„-„-,. = хг1-,„-г + 1г.г — 1г-г Используя приближение с помощью рациональных функций, необходимо следить за тем, чтобы па отрезке интерполирования знаменатель выражения (!) не обращался в нуль.
Другой опасностью является такой неудачный выбор узлов интерполирования, при котором числитель выражения (!) делится без остатка па зна- (ла мснатсль. В последнем случае дробно-линейная функция (4) вы- рождается в константу. В качссзне примера рассмотрим функцию 1(х)=/гхз, ггФО. Для нее 1„-„- =2!г~О н система (6) имеет единственное решение Ь, = — (х,, + х. + х;„), а, = — Й (х;,х, + хг,х;„+ хгхгзз), а„=. Ьх;,хгхг„„ !Тр и м ер 4.
Двух!ерная интерполлг(ил. На плоскости хОу заданы три точки А,(х„у;), г=(,2,3, не лежащие на одной прямой. Требуется, используя значения и,=и(х„у,) функции и(х,у) в этих точках, построить аппроксимацию производных ди/дх, ди)ду. Для решения этой задачи воспользуемся линейной интерполяцией, т. е. будем считать, что и(х, у) =а(х — х,) +Ь(у — у,) + с. (7) Тогда получим, что ди/дх=а, ди/ду=Ь, т. е. при интерполяции функции и(х, у) с помощью линейной функции производные заменя!озся константами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
