Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412), страница 30

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 30)

1=я 1=-з Чтобы выяснить, почему осреднение приводит к сглзживянию, вернемся к рассмотренному примеру. Будем считать, что 1(х) задана ив равномерной сетке мь=-(я~=!Я, 1=0, 1, ..., У, АМ==1), причем 1,=[я=в. Сглаживание по формулам (!9) приводит к функции 6-, + 1, + (з„яя %= = (,+ — /„-,, 1=1, 2, ..., У вЂ” 1, ~рз=й!я=о, (20) т.

е. к осреднению 1(х) по трем соседним точкам. Таким образом, можно сяи тать, что процедура осреднения представляет собой замену сеточной функции 1 155 .душем пункте. Согласно (18) получаем, что мпогочлен <рго(х) наилучшего среднеквадратичного приближения, построенный по значениЯм 1; о ~ь 1,„, имеет вид !р!о (х) 6-~ + 6+ (ы Уы — (~-~ + (х — х;), З йй Лз еточной функцией Т), где Т Е+ — й, Š— единичный оператор, Л вЂ” оператор 3 второй рззностной производной. Будем называть Т оператором осредязния Б и, 5 $4 ч. ! показано, что любую сеточную функцию й для которой 1»=(н О, можно представить в виде разложения Ф-г 1(х) = ~~~ с„р„(х), »~ы», (21) ».=» где р„(х] — собственные фуякцнн оператора Л: Лр»(х) +)»»р» (х) = О.

(22) Собственные функции н сабстненные числа оператора Л важна выписать в явном виде (см. и. 4 $4 ч. 1): 4 н/г з/ 2, па/ г., =, 5!и», 1» (х ) .= рт 51п аз 2М» ' ! М а=1,2,...,У вЂ” 1, 1=0,1,...,У. Применяя к !оператор Т, получим согласно (21), (22) разложение Тг (х) = ~~ сУ»(г„(.г), гг ..г — » где 1» = 1 — — — Х» = 1 — — Пп» вЂ” — собственные значения оператора Т. 3 3 2М Казффнцнент г» в разложения (23) характеризует влвянне оператора осред.

пеняя Т на й-ю гармонику. Для низкочастотных гармоник, когда й(М мало. пгг имеем Мпз —, = О н 1» близко к единице. Для больших й, когда А/Ую!, имеем 2У пй з(пз — = 1 н 11»(=1(3. Таким образом, оператор Т не подавляет ннзкочастот- 2У ные гармоники н уменьшает амплитуду высокочастотных гармоник примерно в трн раза. Этнм н объясняется зффекг сгта»кнеаняя, б 6. Наилучшие приближения в гильбертовом пространстве 1. Постановка задачи. В п. 3 Э 5 рассматривалась задача о приближении функции, заданной таблнчпо. Однако задачу о приближении функций можно сформулировать н в более обшем виде, а нмеппо в терминах теории приближений в линейных нормированных просграпствах.

Пусть дано линейное нормированное пространство Н, может быть бесконечпомерпое, и в пем задана конечная система линейно независимых элементов г~.»ивН, А=О, 1,..., п. (1) Требуется приближенно ззмегппь заданный элемент )епН линейной комбинацией гр= с»гр»+ с,гр, +... + с„тр„.

(2) Элемент ср, определенный согласно (2), называется обоби(енным многочленом, построенным по системе элементов (1). !56 Будем расссматривать задачу о наилучшем приближении, состоящую в том, чтобы для заданного [е=Н среди всех линейных комбинаций вида (2) найти такой обобщенный многочлеи ф, для которого отклонение [~ [- (с.фг+ с,ф, +... + с„(р.) г[ (3) было бы минимальным.

Элемент (р =с,(р, + с,(рч+...+ с„фгн дающий решение эгогг задачи, называется элементом наилучигееп приближения. Известно (см., например, [2)), что прн весьма обигнх предположениях элемент наилучшего приближения существует и единст. вен. В зависимости от выбора пространства Н, нормы,, '° гг и системы (фг)г,.=„хгожгго получить ту плп ппую конкретную задачу о наилучшем приближении.

Рассмотрим более подробно задачу о наилучшем приближении в том случае, когда Н вЂ” вещественное гильбертово пространство со скалярным произведением ([, й) „и нормой [[[[[н=у([, [) . Типичным примером гильбертова пространства является пространство 7.,(а, Ь) вещественных функций [(х), интегрируемых с квадратом на [а, Ь), причем Ь э и Гаг.=[г(гг(гг*, '.(г'.=[[(((г('~ ) (4( гг а Пусть зядяиа конечная система линейно независимых элементов ф,енН, у=0,),...,п, В данном случае задача о наилучшем приближении состоит в том, (тобы для заданного элемента [~И найти обобщенный многочлен (5) 'р = счфч -т сгфг .

[ сап для которого отклонение [à — (р,[ =(/ — ф, ) — гр)г'г (6) является минимальным среди всех обобщенных многочлепов вида ф=сафч+ сгф(+... + С„ф„. 2. Сведение к алгебраической задаче о минимуме квадратичного функционала. Покажем, что сформулированная задача имеет единственное решение. Перепишем равенство (6) в виде л л [[) — ф[!й = ~~ слег (<р(ы фг)н — 2 '~г~ сгг (~, ф(г)гг +![~фг.

(7) к( =ч а=а Пусть А=[а„,) — матрица с элементами а„,=(фь ф,), и, (=0 1 н (6) гзт и с, 1 — векторы, с=(с„с„..., с„), 7=(~»,)„...,).)', где 1,= (1, »с,)»о 1=0, 1,..., и. Обозначая через П (и, с) = ~~~ ини ~=а скалярные произведения векторов и и и, можно записать тожде- ство (?) в виде !( ~ — »е !(й = (Ас, с) — 2 (?', с) + $ Ян. (9) Отсюда видно, что задача о нахождении наилучшего приближения в гильбертовом пространстве Н сводится к минимизации функционала Р(с) =(Ас, с) — 2(), с), (10) определенного на множестве вещественных (и+1)-мерных векторов.

Отметим основные свойства матрицы А. Прежде всего, А— симметричная матрица, поскольку а»~= (~р», »р~) ь= (»рь»р»)»=а» Кроме того, А — положительно определенная матрица. Докажем последнее свойство, исходя из тождества (7). Прн )=О из (7) получим 1~» (Ас, с) =~)ср(1~ =~~'Я с»ср» )О »=о и !ва для .чюбого вектора с. Предположим, что (Ау, у)=0 для некоторого у=(у„, у„..., у„)'. Тогда для обобщенного многочлена 7=у»ф»+уЛ + ° +у 'Р » имеем "„~ф =(Ау, у)=-0, следовательно, ср= 'Я уд»=0. Отсюда »=» в силу линейной независимости элементов»р„~р„..., ~р„получим, что у,=у,=...=у„=О. Таким образом, (Ас, с) )О для всех сФО, т. е.

А — положительно определенная матрица. Заметим, что положительно определенными являются и матрицы всех угловых миноров А. Следующая теорема сводит проблему минимизации квадратичного функционала (10) к решению некоторой системы линейных алгебраических уравнений. Т е о р е м а 1. Пусть А — симметричная положительно определенная матрица и 1 — заданный вектор, Тогда функционал (10) имеет единственную точку минимума с. Вектор с удовлетворяет систе.не уравнений Ас=?. Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим прежде всего, что система (11) имеет единственное решение, поскольку А — положительно определенная матрица. Остается доказать, что вектор с минимизирует функционал (10) тогда и только тогда, когда он является решением системы (11).

Докажем сначала достаточность. Для любых векторов о и с имеем г" (с + о) = (А (с + о), с + о) — 2 (~, с + о) = = (Ас, с) — 2 (!, с) + 2 (Ас, о) — 2 (1, о) + (Ао, о), т. е. Р (с + о) = Р (с) + 2 (Ас — ~, о) + (Ао, о), (!2) Предположим, что с является решением системы (11). Тогда из (12) получим с (с+ о) =Е(с) + (Ао, о).

В силу положительной определенности матрицы А отсюда следует неравенство Поскольку с — точка минвмума функционала г" (с), прн любых у н Л выполняется неравенство Р(с+Лу) )у(с), т. е. с(Л) )д(0). Таким образом, Л=О является тачкой минимума у(Л) и, следовательно, д'(0) =О. Отсюда получаем, что д' (0) = 2 (Ас — )т, у) = 0 и в силу произвольности вектора у приходим к выводу, что Ас — 1= =О. Теорема 1 доказана. 3.

Следствия. Более подробно систему (11) можно записать в виде ~ с~ (7ы <0)н = К 'р )и !=о я=0,1, ...,и. (! 3) Таким образом, элемент наилучшего приближения в пространстве Н имеет вид (5), где коэффициенты сь й=О, 1,..., л, отыскиваются г (с+ о) >Г (с) для любога ненулевого вектора о. Это и означает, что с — точка минимума функционала г(с).

Докажем необходимость условия (11). Надо показать, что если с — точка минимума функционала (10), то выполнено уравнение (11). Для этого воспользуемся тождеством (12), в котором положим о=Лу, где Л вЂ” действительное число и у — произвольный вектор. Тогда получим Г (с + Лу) = г (с) + 2Л (Ас — т", у) + Л' (Ад, у). Рассмотрим выражение в правой части этого тождества как функцию Л и обозначим И (Л) = Л' (Ау, у) + 2! (Ас — ), у) + Г(с) из системы (13). Из сказанного выше ясно, что алгоритм построе- ния элемента наилучшего приближения в гильбертовом простран- стве состоит в следующем: 1) вычисление элементов ав=(фь, ф,)ю й,1=0, 1,..., и, матри- цы А; 2) вычисление правых частей (1', ф,)н, й=О, 1,..., и; 3) решение системы (13); 4) вычисление суммы ф= 'Я сьфь.

а=о Как правило, каждый из этапов этого алгоритма осуществля- ется приближенно, с помощью численных методов. Например, в случае пространства Е, необходимо уметь вычислять интегралы ь (ьрьь р) ы = ') фь (х) ) (х) ь(х, а что можно сделать, вообще говоря, лишь приближенно. Оценим теперь отклонение Ц-ф~„, которое получается в ре- зультате использования наилучшего приближения в гильбертовом пространстве. Докажем сначала, что справедлива Л е и м а 1.

Если ф — элемент наилучшеео ириблиясения в Н, то (14) т. е. погрешность 1 — ф ортогональна элементу наилучшего прибли- жения. Д о к а з а т ел ь ст в о. Из (11) имеем (Ас, с) =(г, с). Как показано ранее, (Ас, с)=(ф)й. Далее, л ! а (~, с) = ~ сь(Г, фь)н = ~), 7, сьфь ) = ()', ф)н. ь=а ь= ун Таким образом, приходим к тождеству (). гр) и — — !! йй, совпадающему с (14). Следствие. Если ф — элемент наилучшего приближения в Н, то 1) — ф 1'й =!Лй — )%~й.

(! 5) Доказательство следует из тождества $Р— Мй=йй — 2(Р, ф)н+Ж~н и равенства (14). Наиболее часто среднеквадратичные приближения используются и том случае, когда система (фь)ь=ь ортонормирована, т. с. 1О, и э~1, (ЧЪ, фг)н = ~ Д=Е 160 Тогда система (13) решается в явном виде, са=(/, ф„) „, /4=0, 1,..., п, (16) а погрешность приближения определяется формулой а 1/ — ст)а =1Пн — ~» с».

Числа с„определенные согласно (16), называются козффиииентами Фурье элемента /ено по ортонормировапной системе (ср»)»,, а обобщенный многочлен л сг= Я с»ср» »=-и называется многочленом Фурье. ГЛАВА 4 ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ й 1. Примеры формул численного интегрирования !. Введение. В настоящем параграфе рассматриваются способы приближенного вычисления определенных интегралов ь / = ~ / (х) йх, а Ч'„= ~ /(х) йх — '~а„с»/ (х») называется погрешностью квадратурной формулы, Погрешность зависит как от расположения узлов, так и от выбора коэффициентов.

Характеристики

Список файлов книги