Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412), страница 34
Текст из файла (страница 34)
е. вместо точного значения получаем приближенное значение у»(х„) =/(х„)+6». Тогда вместо т'„получим сумму л ~.:=~ с»В(х»)+6») =У.+6У., 1(х). Во-вторых, можно попытаться выбрать узлы квадратурной фоРмулы так, чтобы полученная формула имела большую точность, чем формула Ньютона — Котеса с тем же числом узлов. В следующем параграфе рассматривается один из методов, основанных на выборе узлов квадратурной формулы, а именно метод Гаусса. Он приводит к квадратурным формулам с положительными коэффициентами при любых и и существенно более точным, нежели формулы Ньютона — Котеса. $ 3. Метод Гаусса вычисления определенных интегралов 1. Постановка задачи.
В предыдущем параграфе предполагалось, что узлы квадратурных формул заданы заранее. Было показано, что если использовать и узлов интерполяции, то получим квадратурные формулы, точные для алгебраических многочленов степени и — 1. Оказывается, что за счет выбора узлов можно получить квадратурные формулы, которые будут точными и для многочленов степени выше и — 1.
Рассмотрим следующую задачу: построить квадратурную формулу ~ Р(х) ) (х) йх='~~~~ сь1(хь), которая при заданном и была бы точна для алгебраического много- члена возможно большей степени. Обратим внимание, что здесь в отличие от $ 2 для удобства изложения нумерация узлов начинается с и=!. В настоящем параграфе будет показано, что такие квадратурные формулы существуют. Они называются кеадрагурнььми формулами наивысшей алгебраической степени точности или формулами .Гаусса. Эти формулы точны для любого алгебраического многочлена степени 2п — 1.
Итак, потребуем, чтобы квадратурная формула (1) была точна для любого алгебраического многочлена степени т. Это эквивалентно требованию, чтобы формула была точна для функций !(х) = =х, а=О, 1,..., т. Отсюда получаем условия ь ь ~~~~ сьх'"= ~р(х)х" йх, а=О, 1, ..., т, (2) ь=ь ь которые представляют собой нелинейную систему т+ 1 уравнений относительно 2п неизвестных с„сь ..
с ' х, хм . х„. Для того чтобы число уравнений равнялось числу неизвестных, мадо потребовать т=2п — !. В дальнейшем будет показано, что система (2) при т=2п — 1 имеет единственное решение. Однако сначала рассмотрим несколько частных случаев„когда решение системы (2) можно найти непосредственно. 480 Пусть р(х) = — 1, а= — 1, 6=1. Прн п=! получаем пь=! и система (2) принимает вид 1 с, = ~ йх = 2, с,х1 = ~ х йх = О, т. е.
приходим к известной формуле прямоугольников 1 ) 1(х) ах=2)'(0), 1 которая точна для любого многочлена первой степени. При и =2, 1п=З система (2) записывается в виде с,+с,=2, с,х,+с,х1=0, 1 1 2 1 1 с,х, + с,х, = —, с,х„+ с,х, = О. з' Отсюда находим ! ! с,=с,=!, х,= —, х,== т'3 )1 3 т. е. получаем квадратурную формулу 1 ~ ~ (х) ах = )' ~ — —.~ + 1(=), (4) Доказательство. Необходимость.
Пусть формула (1) точна для любого многочлена степени т=2п — 1, Это значит, 13! которая точна для любого алгебраического миогочлена третьей степени. 2. Основная теорема. Возвращаясь к рассмотрению квадратурных формул (1) общего вида, введем многочлен со(х) =(х — х,) (х — х,) ... (х — х„). (3) Будем предполагать, что р(х) >О. Теорема 1.
Квадратурная формула (1) точна для любого многочлена степени т=2п — 1 тогда и только тогда, когда выполнены два условия: 1) многочлен ы(х) ортогонален с весом р(х) любому л1ногочлену ч(х) степени меньше и, т. е. ь ~ р(х) ы(х) а(х) Ых= 0; 2) формула (1) является квадратурной формулой интерполяционного типа, т. е. ь сь = ~ р (х) " " Ых„ А = 1, 2, ..., и. (5) (х — хь) ы'(хь) а что она точна и для многачлена в(х)с(х), имеющего степень не выше 2п — 1, т.
е. ь м ~ р (х) в (к) у (х) ь(х = '~~ сьв (хь) ~) (хь) = О. О ь -1 Требование (5) выполняется в силу теоремы 1 из 5 2 (если квадратурная формула (1) точна для любого многочлена степени и — 1, то она является формулой интерполяционного типа). Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть 1(х) — любой многочлен степени 2п — 1. Согласно теореме о делении многочленов, его можно представить в виде [(х) =в(х) д(х) +г(х), где д(х) и г(х) — многочлены, имеющие степень не выше п — 1. При этом ь ь ь ь ~р(х) )(х)ь(х= ~ р(х) в(х) п(х)с(х+ ~ р(х) г(х)дх=) р(х) г(х)с)х.
Последнее равенство справедливо в силу предполом<ення (4). Далее, поскольку г(х) — многочлен степени не выше п — 1 и формула (!) является формулой интерполяционного типа, она точна для г(х), т. е. ь л л и ~ р(х)г(х)дх= ',„,' сьг(х)=;г с,(((хь) — в(хь)г)(х)) ='; сьг(х). Таким образом, ~ Р (х) ~ (х) с(х = 'Я сь( (хь), т.
е. формула (1) точна для любого многочлена степени 2п — !. Тео рема 1 доказана. Отметим, что использование теоремы 1 существенно упрощает построение формул Гаусса. Условие (4) эквивалентно требованиям ь ~ р(к) в(х) х с(к=О, а=О, 1, ..., п — 1, (6) которые представляют собой систему п уравнений относительно п неизвестных х„х„..., х„, Таким образом, для построения формул Гаусса достаточна найти узлы х„х„..., х„из соотношений ортогональностн (6) и затем вычислить коэффициенты с„согласно (5). Теорема 1 не гарантирует существования и единственности решения системы (6). Надо доказать еще существонание и единственность многочлена в(х) степени и, ортогонального всем многочленам степени меньшей и, а такгке убедиться в том, что все корни такого многочлена расположены на отрезке [а, Ц.
1В2 3. Существование и единственность квадратурных формул наивысшей алгебраической степени точности. Представим искомый многочлен (3) в виде га(х) =а,+а,х+...+а„,х -'+х". (7) Тогда условия ортогональности (6) примут внд ь ~ р (х) (а, + а,х + ... + а„,х'-' + х") х ч(х = О, а (8) а=0,1,...,п — 1. Условия (8) представляют собой систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов а„а„..., а„,. Покажем, что соответствующая однородная система уравнений ь ~ р (х) (аа + а,х + ... + а„,ха-') х" с(х = О, (9) а и=О, 1,..., и — 1, имеет единственное решение а,=а,=...=а„,=О. Для этого умножим уравнение (9) на а и просуммируем по всем а.
Тогда получим Ь / а-р ь Га-р л-р т, 1 (р р,р х а;] *.р — (р р*р [ х т,аа,*] р*= о. а=а а ь=а Р а=-р ь — -а т. е. ь (ры~~.,а] =р. (! 0) а и=а Если хотя бы один из коэффициентов а„1=0, 1, ..., и — 1, отличен от нуля, то функция Тем самым неоднородная система (8) имеет единственное решение. Следовательно, существует единственный многочлен ар(х) степени и со старшим коэффициентом 1, ортогональный с весом р(х)>0 любому многочлену степени п — 1. Теорем а 2. Если ьь(х) — многочлен степени и, оргогональный на (а, Ь) с весом р(х) >О любому многочлену степени меньше и, то все его корни различны и расположены на (а, Ь).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что многочлен а (х) имеет гп)0 различных корней нечетной кратности на (а, Ь). Очевидно, !83 может обратиться в нуль на [а, Ь) лишь в конечном числе точек. Отсюда и из условия р(х) >О следует, что равенство (10) возможно лишь в случае а,=а,=...=а„,=О. — многочлен степени меньше и и по условию теоремы имеем (=О. Следовательно, т=и, что и доказывает теорему 2. Из теорем 1 и 2 следует, что для любого и существует, притом единственная, квадратурная формула, точная для любого много- члена степени 2и — 1. 4.
Свойства квадратурных формул Гаусса. Нетрудно показать, что 2и — 1 — наивысшая точность формулы Гаусса, т. е. что существует многочлен степени 2и, для которого эта формула не является точной. Действительно, для многочлена (3) имеем ') р (х) оР (х) с(х ) О, а но х ~~', схоР(хх) =О. 1=1 Докажем теперь, что при любом и коэффициенты с„формул Гаусса положительны. Рассмотрим многочлены в (х) ~ (х — х,) в'(х,) ) ' 1=1, 2... „и, имеющие степень 2и — 2 и обладающие свойством в;(х„) =б„. Так как для этих многочленов формула Гаусса точна, справедливы равенства ~ р(х) <р~(х) дх='Я схч, (хД =сь а х=1 откуда и следует, что с;>0,1= 1, 2,..., и.
184 что т<и. Теорема 2 будет доказана, если покажем, что а=и. Обозначая эти корни через $„$в..., $„, представим в(х) в виде св (х) = (х — ь1) (х — $2) ... (х — $,ц) г (х), где а„ав..., а — нечетные числа и функция г(х) не меняет знак на [а, 6]. Вычислим интеграл ь 1 = ~ р (х) в (х) (х — Е,) ... (х — 3„,) с(х = =$р(х)(х — Еч)""'... (х — $ ) г(х)((х. (11) Р Поскольку и,+1, ..., а +1 четные числа и г(х) знакопостоянна на (а, 6), интеграл (11) отличен от нуля. С другой стороны, если и<и, то В п, 4 5 2 отмечалось, что свойство положительности коэффициентов чрезвычайно важно для устойчивости вычислений и позволяет использовать формулы с большим числом узлов п. На практике применяются формулы Гаусса с числом узлов до!00. Для погрешности формул Гаусса справедливо представление л ф„(г') = — ~ р (х) ы' (х) !'н"! ($) Их, (12) О (14) (17) где $еэ(а, 6), Не приводя доказательства (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
