Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Рассмотрим интеграл з ) /(х) лх ь и выберем в качестве узлов точки хо=О, хз ОД хз !. Квадратуриая формула иитерполяциоииого типа, построенная по заданным узлам, совпадает с формулой Симпсона 1 ! ( (х) Нх — — (( (О) + 4( (05) + ( (1)). б е 173 где х,е=(а, Ь] н с,— числа, у=О, 1,..., п. В отличие от предыдущего параграфа, не будем разбивать отрезок (а, Ь] на частичные отрезки, а получим квадратурные формулы путем замены ((х) интерполяционным миогочленом сразу на всем отрезке (а, Ь]. Полученные таким образом формулы называются квадратурнглми формулами интерполяционного типа.
Как правило, точность этих формул возрастает с увеличением числа узлов интерполирования. Рассмотренные в ~ 1 формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона являются частными случаями квадратурных формул интерполяциониого типа, когда п=О, 1, 2, р(х) — = 1. Получим выражения для коэффициентов квадратуриых формул интерполяциоиного типа. Пусть на отрезке (а, Ь] заданы узлы интерполирования хь„я=О, !, ..., п. Предполагается, что среди этих узлов нет совпадающих, в остальном они могут быть расположены как угодно на (а, Ь]. Заменяя в интеграле (1) функцию ((х) интерполяционным многочленом Лагранжа (7» !(х) = й„(х) +и„+,(х), где Е„(х) — интерполяциопный многочлен для ((х), построенный по узлам х„х„..., х„и г„ь,(х) — погрешность интерполирования. Тогда получим ь ь ь 1 р (х) / (х) ссх .= ( р (х) еа (х) ссх + ( р (х) г„(х) ссх = а ь = ~~ сь! (хь) + ( р (х) г„ , [х)с)х Таким образом, погрешность ф„+, квадратурной формулы (2), (4) ранна ь ф„„= ) р (х) г„„(х) с(х, (8) а где г„+, (х) — погрешность интерполирования.
Вспоминая выражение для погрешности интерполирования (см. (3) из $2гл. 3) г„.х (х) = сп (х), с а и ( ь ( х ) ) (а+ 1)1 получаем ф„„= ) р(х)ш(х)г'" м(п(х))с(х. (9) (л+ 1)1,) а Отсюда приходим к следующей оценке погрешности квадратурной формулы интерполяционного типа: ь !ф„„)( "" ( р(х))со(х))с(х, (и+!)1,) (10) а где М„„= шах 11~""н(х)). Из формулы (10) вядно, что справедхе[а,Ь] лино следующее утверждение.
174 Заменим теперь в (5) функцию !(х) миогочлеиом ф(х) наилучшего среднеквадратичиого приближения первой степени. Согласно (18) иэ й 5 гл. 3 этот миогочлеи имеет вид 1 ср (х) = (! (! ) — ! (О)) (х — 0,5) + — (! (0) + ) (0,5) + ) ( Ц]. 3 Отсюда приходим к квадратуриой формуле 1 =з 1 Г (х) с!х — — !/ (О) + ! (0,5) + ! (1)), о ие совпадающей с (6). 2. Оценка погрешности. Получим выражение для погрешности квадратурной формулы интерполяционпого типа.
Представим функцию ((х) в виде Квадратурная формула интерполяционного типа, построенная по и+ 1 узлу х„х„..., х, является точной для любого многочлена степени и, т, е. если 1(х) — многочлен степени и и с,— коэффициенты, вычисленньсе согласно (4), то имеет место точное равенство ь л ) р (х) 1 (х) дх = '~~' с»1 (х»). » »=» Справедливо и обратное утверждение.
Т е о р е м а 1, Если квадратурная формула ь » ) р(х) ~(х)дх=~ д»1(х») (12) имеющие степень п, и вычислим интегралы 1» = ( р(х) сг»(х) »1х. а По условию теоремы справедливы точные равенства л )» =;~,' дгр» (х1). »=о Поскольку /гФ1, а=1, 10, ф»(хд = ~ получаем 1„=д„, я=О, 1,..., п. С другой стороны, согласно (4) имеем ь !» = ~р(х) ь» (х) =ем (х — х»)»ь' (х») » Таким образом, д„=с„, )»=-0, 1,..., п, что и требовалось.
3. Симметричные формулы. Для некоторых квадратурных формул оценка погрешности (10) является грубой, так как оиа не учитывает симметрии формул. Рассмотрим, например, формулу Симпсона 1 ~ (х) дх .= — Д ( — 1) + 4~ (0) + )' (1)) 3 -1 17з точна для любого многочлена степени и, то она является квадратурной формулой интерполяционного типа. Доказательство. Достаточно показать, что д,=с„, где с„ определены согласно (4), я=О, 1, ..., п. Рассмотрим многочлены <р»(х) =,, А=О, 1, „и, (х — х»)»»' (х») для функции ((х) =х'. В данном случае имеем п=2, ['"+о(х) =6, поэтому согласно (9) погрешность можно представить в виде 1 фа=~ ы(х)ах, -1 где от(х) =х(х' — 1).
Благодаря симметричному расположению узлов имеем ф,=0. В то же время правая часть неравенства (10), равная 1 ( ы (х) [йх = —, -1 отлична от нуля. Таким образом, оценка (!О) не является точной для формулы Симпсона. Квадратурная формула (2) назь|вается симметричной, если 1) и четно; 2) узлы расположены симметрично относительно середины отрезка [а, Ь1, т, е.
а+Ь о+Ь вЂ” — ха=х„а — —, (с=О, 1, ..., п(2; 2 2 (Пй является нечетной функнней относительна точки х„п= (а+6)(2. Имеем л(а-1 м (х) = (х — х„) !~~ (х — ха) (х — х„а), а=о откуда, учитывая условия (14), получим ч(3-1 ге(х) = (х — х„,) ~ [ 1(х — «„,)' — (хл — ха~а)ч!. л=е Пв) 176 3) с„=с„„, (с=0, 1, ..., п(2. Свойство (16) коэффициентов квадратурной формулы определяется не только симметричным расположением узлов, но и симметрией весовой функции р(х). Говорят, что р(х) — четная функция относительно середины отрезка [а, Ь[, если р( — +х) =р( — — х) (16) для всех хек[0, (Ь вЂ” а)/2).
Л е м м а 1. Если с„определены согласно (4) и и четно, то соотношения (16) являются следствием условий (14), (16). Доказательство. Покажем сначала, что ч о>(х) = Ц (х — ха) Следовательно, при любом / Л/2-1 12(хл/ +/) = / [ [ [Р— (хь — хл )'] = — ы(х„/2 — 2), 2 —.-2 т. е. функция ы(х) нечетяа относительно точни х,ы. Из формулы (18) следует также, что ы'(х) — четная функция относительно ТОЧКИ»п/2 ПОЭТОМУ ы'(х „2) = ы'(хл) .
(19) Рассмотрим тецерь разность ь с2 — сл ь —— ~ Р (х) ы (х) Р (х) 2(х, О (20) где ь ( р (х) (х — х„/,)л" 2(х = О л вследствие нечетности подынтегральной функции, необходимо доказать, что л 1л= 'Я с4(хь) =О. 2=2 Представим 1„в виде суммы 10/-]- 1,"1, где л/2-1 1'„'= '~ с*(ха — х„/2)"", 2 2 л 1," ,= '~~~ с» (ха — х,/,)" ". а=л/221 1ут 1 1 и (х)— (» — Ха)Ы'(Хь) (Х вЂ” Хл 2)Ы' (Хл 2) Учитывая (19) видим, что 1 хп хл-ь 1 Хь — Х р (х) ы' (»2) (» — ха)(х — хл е) ы'(хь) [(х — хл„)2 в (хп/2 — ха)'] откуда следует четность м(х) относительно точки х„/2.
Таким образом,иодынтергаль~ая функция в (20) нечетна относительно середины отрезка [а, ь], н, следовательно, интеграл равен нулю. Лемма 1 доказана. Покажем теперь, что наличие симметрии повышает точность квадратурных формул. Справедлива Т е о р е м а 2. Пусть р(х) — четная функция относительно точки (а+Ь)12 и пусть выполнены условия (14), где и — четное число. Тогда, если квадратурная фор/нула интерполяционного типа (2) точна длл любого многочлена степени и, то она точна и для любого /нногочлена степени и+ ]. Доказательство. Достаточно показать, что формула точна для многочлена ](х) = (х — х.„)"+', х„„=0,5(а+Ь).
Поскольку Из условий (14) получим л 1„'') = 'Я с«(к«н — к -«)"" «=«Мы или л(«-) «(«-« («) ««1 «ы 1« = ~~' с«((х«м х() = — ~~ с«-«(х« — х«(«) (=а «=-« Последнее равенство справедливо в силу того, что и — четное число. Таким образом, получаем л('«-« 1„= 1(') + 1(') = ~~ (с« — с„«) (х« — х«м) ". «=а Согласно лемме 1 имеем с,=с„,, Ь=О, 1, ..., п/2 — 1, т.
е. 1.=0, что н завершает доказательство теоремы 2. 4. Формулы Ньютона — Котеса. Численная устойчивость ква- дратурных формул. Формулами Ньютона — Котгса называются квадратурные формулы интерполяционного типа, построенные на равномерной сетке, когда х,— х«,=й, (г=1, 2,..., и. Различают два типа формул Ньютона — Котеса: формулы замк- нутого типа и формулы открытого типа, В формулах замкнутого типа х„=а и х„=Ь, а в форл(улах открытого типа хотя бы один из узлов х, или х„не совпадает с соответствующей граничной точкой отрезка (а, Ь). Для простоты изложения рассмотрим лишь случай формул замкнутого типа, когда х„=а+И(), 1=0„1,..., п, йп=Ь вЂ” а.
В случае равномерной сетки можно упростить выражения для коэффициентов квадратурных формул. В формуле (4) сделаем за- мену к=а+(1), 0(1«=п, Простые выкладки, которые мы опускаем, показывают, что в результате замены формула (4) примет вид с« = (Ь вЂ” а) Ь,'"), где л ((и) ( — )] / ) ( 1()) ( (( — )) ° ° (( и) Ц( (21) И (и — ((1( ), и,) ( — () й Отметим, что формулы Ньютона — Котеса с п~!0 редко используются из-за нх численной неустойчивости, приводящей к резкому возрастанию вычислительной погрешности.
Причиной такой неустойчивости является то, что коэффициенты формул Ньютона— Котеса при больших и имеют различные знаки, а именно при и) )10, р(х) =1 существуют как положительные, так и отрицательные коэффициенты. Остановимся подробнее на значении знакопостоянства коэффициентов для устойчивости вычислений. Рассмотрим квадратурную сумму « 1„= 'Я с«1 (х(,), «=о 178 где 67, = ч~~ с»6». »=а (23) Поскольку квадратурная формула (2), (4) точна для )(х) = — 1, имеем л ь э' с» = ') р (х)»(х, »=ь л т.
е. при р(х) )О сумма л 'Я с» =,И »=ь (24) ограничена числом М)0, не зависящим от н. Предположим теперь, что все коэффициенты с„неотрицательны. Тогда из (23), (24) получим оценку л л /67„/('~~ /с»/ /6»/='Я с»/6»/ =(шах /6»/) М, »=о »=-О ь~»~л которая означает, что при больших и погрешность в вычислении квадратурной суммы (22) имеет тот же порядок, что и погрешность в вычислении функции. В этом случае говорят, что сумма (22) вычисляется устойчиво. Если коэффициенты с„ имеют различные знаки, то может оказаться, что сумма л '~~~ /с»/ не является равномерно ограниченной по и и, следовательно, погрешность в вычислении 1„ неограниченно возрастает с ростом п. В этом случае вычисления по формуле (22) будут неустойчивы и пользоваться такой формулой при больших п нельзя.
Таким образом, если необходимо сосчитать интеграл (1) более точно, то имеются две возможности. Во-первых, можно разбить весь отрезок /а, 6) на несколько частичных отрезков и на каждом нз частичных Отрезков применить формулу Ньютона — Котеса с небольшим числом узлов. Полученные таким образом формулы называются составными квадритурными формулами. Они часто применяьотся на практике, хотя и не являются достаточно экономнчнымн, поскольку требуют многократного вычисления значений функции г79 Предположим, что значения функции 1(х) вычисляются с некоторой погрешностью, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
