Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412), страница 29

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

Явные выражении для коэффициентов а, Ь, с нетрудно найти из условий интерполирования и(хз,у,) =и,. Действительно, из условия и(х„у,)=и, получаем, что с=и,. Далее, решая систему а(хз — х,) + Ь(у,— уд =.=и,— и„ а (хз — х ) + Ь (Уз — У ) = из — изо получим ! )из — из у,— у,~ Ь ! хз — х, из — из Л ! и, — и, уз — у, ! гГ ~ хз — х, и, — и, ~ (8) где х, — х, уз — уз зз — хз Уз Уз! Выражения (8) и задают искомые приближения к производным ди)дх, ди/ду. Определитель Л данной системы не равен нулю, так как по условию точки А„А„А, не лежат па одной прямой.

Заметим, что соотношения (7), (8) можно записать в виде ! и — из х — х, у — у( из — и, х,— хз уз — у, =О, из — из хз — хз Уз — Уз !50 причем а, Ь,— а,=й (х; „, + х,,) (х;(х,, + хз+хз ы) + хзых,,). Следовательно, приближение 1(х) с помощью функции (4) невозможно вблизи точки х= — Ь,=х;,+х,+х, Кроме того, условие и,Ьз — а,эиО приводит к следующим ограчпзчениям на расположение узлов интерполирования: х,,-!- хз,тзО, х;(х,,+х,+х;„,)+х„,х,,ФО. т. е. в виде уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки (хь оь щ), (= 1, 2, 3. 2. Общая постановка задачи интерполирования. Пусть на отрезке [а, Ь] задана система функций ~р,(х), ср,(х),..., <р„(х) (О) .и введена сегка (10) а<х,<х,«...

х„<Ь. Образуем линейную комбинацию ср(х) =с,ср,(х) + с,ср,(х) +...+ с р„(х) (11) с числовыми коэффициентами с„с„..., с„. Задача интерполирования функции [(х) системой функции (9) на сетке (!0) состоит в ,нахождении коэффициентов о„с„., ., с„, для которых выполнены условия ср(х,) =[(х,), 1'=О, 1,..., п.

(12) Интерполирование алгебраическими многочленами является частным случаем сформулированной задачи, когда ~р„(х) =х', Й= =О, 1,..., и. Возникает вопрос о существовании и единственности решения общей задачи интерполирования. Запишем систему (12) более подробно: с,~р (х,)+сд,(х,) + ... + с„~р„(х„) =)(х,), с"р. (х1) + с1 р~ (х1) + . + г.'р.

(хз) = )'(х1), слр„(х„) + с, р, (х„) + ... + с,гр„(х„) = [ (х„). Для того чтобы эта система имела единственное решение, необходимо н достаточно, чтобы определитель матрицы Фо (Х0) ЧЧ (гж) ... ~Р„(хп) чч(л,) ~р, (л,) ... т„(х,) (13) ЧЧ (х~) Чч (х„) . 'Р„(л„) был отличен от нуля. Более того, поскольку узлы х„х„..., х„могут быть как угодно расположены на [а, Ь], лишь бы среди них не было совпадающих, необходимо потребовать, чтобы бе(АФО при любом расположении узлов. Выполнение или невыполнение этого требования зависит от выбора системы функций (чь(х))к=,.

Система функций ~~ри(х))," называется системой Чебышева на [а, Ь], если определитель матрицы (13) отличен от нуля при любом расположении узлов х,~[а, Ь], я=О, 1,, п, когда среди этих узлов нет совпадающих. Таким образом, общая задача интерполирования однозначно разрешима, если (~рд(х))~=, чебышевская система функций. Функция <р(х), определенная согласно (!1) и удовлетворяющая условиям интерполяции (12), называется обобщенным ингерноллционным многочленом по системе (Ч~л (х)) к=~.

15! Система алгебраических многочлепов <р,(х) =х', й=О, 1, ..., п, является чебышевской системой на лк>бом отрезке [а, Ь]. Система тригонометрических мпогочленов тр,(х) (см. пример 1) является чсбышсвской системой на отрезке периодичности. Привелем примеры систем функций, не являющихся чебышевскими. Пусть на отрезке [ — 1, 11 задана система фуакцнй )О, — 1 х О, 1м(х) 1, ! ЬО = 1 ' 1х, о < К ч.!. 3 например, точки ха =— 4 Если п качестве узлов иатерполиронания взять 1 х, —..= — —, то получим ') т.

е. данная система не является чебышевской иа 1 — 1, 11. Менее тривиальным является пример системы )рч(х) = 1, Ч)>(х) хт †!/4, хш [ — 1, 1]. Выбрав в качестве узлов интерполирования корпи функции Ч))(х), т. е. точки хо= — 0,5, х)=0,5, придем к той же самой матрипе А. Вообще, из (13) видно, что если какая-либо из функций )рм )р„..., 4>„обращается на отрезке [а, Ь] в нуль более чем и раз, то система не является чебышевской. Действительно, если, например, )р,(х,) =0 для некоторого 1 и для )т=О, 1,..., и, то, выбирая точки х„,х„...,х„в качестве узлов интерполирования, получим, что )тй столбец матрицы А содержит только нулевые элементы.

д4о)кпо доказать, что справедливо следующее утверждение (см., например, [4]). Для того чтобы система [)ра(х)Д=„была чебышевской на [а, Ь], необходимо и достаточно, чтобы любой обобщенный многочлен по этой системе, у которого хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, имел на [а, Ь] не более и нулей. Иногда это свойство принимается за определение чебышевской си.

стемы. 3. Наилучшее приближение функции, заданной таблично. Пусть значения функции [(х) и функций )р,(х), 1=0,1,...,п, из системы (9) известны в точках х,а=[а, Ь], й=О, 1, ..., и>. Если пт>п, то задача интерполирования становится переопределенной. В этом случае можно рассматривать задачу о наилучшем приближении, которая формулируется следующим образом. Введем обобщенный мпогочлен (11) и будем рассматривать его значения только в узлах х„ т. с. тР (хх) =со)Р) (х)) + с)<Р) (ха) +...

+ сч)Р (ха), п=О, 1,..., пт. Образуем разности Гь=ф(хь) — [(хь), Й=О, 1, ..., гп, характеризующие отклонение в узлах х, точного значения функ- 152 ции )(х) от ее приближенного значения, полученного с помощью обобшенпого многочлепа (11). Для вектора погрешностей г=(г„г„..., г )' можно внести ту нли иную норму, например, )) г (! = ( ~ га ~ = ~ 'Я (ар (ха) — 1 (ха) )о ~ ~а-.о г' аа=о (! 4) или т. е, к задаче интерполирования. П р и м е р 1. Построим паилучшсе среднеквадратичное приближение для слу аая и=1, и>=2, когда заданы ~,=((х,), )=О, 1, 2. Обозначим й,=х,— х„й,=х,— х, и будем искать обобщенный многочлеи гр(х) в виде ф(х)=с,+с,(х — х,). Тогда для г(х)=~р(х) — 1(х) получим, что )~г))а=Р(с„с,), где Р(с., с ) =(с.— с й.— 1.)*+(с.— 1,)'+ (с.+с й;1.)'.

Точку минимума Е(с„с,) найдем из условий Р,,=Р„=О, которые приводят к системе уравнений Зг., + (й, — й ) с, = )а + ), + 1„ (й> — йо) со+ (йа + й~) с> = й>)'а — йа1о. Отсюда получим со= аха1а+ (1 — цо аг) )>+ аара, с, =р — ''+(1 — (>) ' Ь> йо где аа (йо+ й>) йо (за+ а~) о 61 (2)Ч+ йа) сао = 2 ("о + й~ + йА) 2 (йо + )>а + ~чйо) ~ (йо + а~ + Гила) Вводя обозначения й=0,5(й,+й,), )=)н (,=()а — ),)!й, 153 )(г))= >пах ) га) = шах )<ра — 1(ха) ).

(15) а~ам аца©а Задача о наилучшем приближении функции )(х), заданной таблично, состоит в нахождении коэффициентов с„с„..., с„, минимизирующих норму вектора г. В зависимости от выбора нормы получим различные задачи. Так, норме (14) соответствует задача о наилучшем среднеквадратичном приближении, а норме (15)— задача о наилучшем равномерном приближении функции, заданной таблично. Если и>=гг, то независимо от выбора нормы решение с= (с„ с„ ..., с„)' задачи о наилучшем прибли>кении совпадает с решением задачи интерполирования. Действительно, в этом случае требование )~г!~=0 приводит к условиям ч> (х„) =) (х,), й=О, 1,..., п, со = — (г'о+)'т+ г'о) с = — ", ! Й 1о (! 8) = А гго)(йо* )," = К вЂ” ~„-)/Л, можно записать коэффициентьх с, и с, в виде Л,Л Ло (16) Л,' + Л', + Л,Ло с1 = ((2Л1 + йо) ЛД+ (2йо+ Ло) Л ~-) (17)' 2(Л'+ Л'„+ Л,Л,) Если й,=йо=й, то Оценим погрешность полученного приближения.

Проводя эле- ментарные выкладки, получим с учетом (16), (17), что г,=с,— (,= Л1Лоа Л„ '+ Л, '1- Л,Л, Л, г'о =со — СА — 1о = — —,го 2Л Ло г, = с, — с,й, - — )о = — — г,. 2Л Отсюда имеем Л, + Л', + Л,Ло Л,Лон )(г1'=г', + г,'1+ г",= ' ' го= ' " () -)о, 2Л' " г(Л,'+ Л',+ Л,Л,) следовательно, (~'г) =(1 — ог1= 12 (ло+ ло 4 л л 1)и Согласно (6) из 6 2 существует точка ье=(х„х,), для которой Г'„-„- =-1" (г). Поэтому окончательно можно записать 1' 2 (Ло+ Ло+ Лоао) В частности, па равномерной сетке, когда й,=й,=й, получим 11 — оГ(= =)~" (~)), )' б т. е. погрешность имеет второй порядок по Ь. 4.

Сглаживание сеточных функций. Пусть имеется таблица значений ()г); о функции )(х), полученная, например, путем измерения некоторой физической величины или с помощью численных расчетов. Может оказаться, что 1(х) сильно меняется на отдельных участках. В этом случае иногда целесообразно применить процедуру сглаживания, т. е. приближенно заменить ((х) другой, более гладкой функцией д(х).

Для построения сглаженных функций можно воспользоваться среднеквадратичными приближениями, рассмотренными в преды- !54 причем Доопределим грпо (х,) =~м ф!и'(х„) =1 и обозначим <р,=грп'(х,), 1=0,1,...,У. Процедура сглаживания по формулам (19) состоит в замене сеточной фУпкЦии (1!)!=я сеточной фУпкЦией (!Р!), „, опРеДеленной согласно (19). То, что такая замена действительно осуществляет сглаживание, можно иллюстрировать примером, приведенным в таблице. 9 ~ !о 1 1 ' 0 11 12 о о б о о 3 4 о о о ш ~ !о 2 3 1О 1 3 — о з з о о Здесь функция 1, имеет две особенности: разрыв при 1=-3 и выброс при 1=8.

Сглаживание приводит к размазыванию разрыва, а также к размазыванию выброса и уменьшению его амплитуды. На участкак гладкости 1(х) функция !р(х) также остается гладкой. Для наглядности читателю предлагается построьюь графики функций 1(х) и <р(х). В рассмотренном случае сглаживание свелось к осреднению функции 1(х) по трем соседним точкам. Можно проводить осреднение и по большему числу точке, например по пяти точкам, когда тр! = '~~ а!~о!, ~~„а! = 1.

Характеристики

Список файлов книги