Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Из условия с, (х, ) = 1 находим ах, +р= (10) (хг — хо) (хг — хо) Условие с,' (х,) = 0 приводит к уравнению (11) (х,— х,) (х,— х,) а+ (ах, + р) (2х,— х,— х,) =О. !38 Из уравнений (10) и (1!) находим 'х,— хэ — хэ ч а=— (хт — х,)' (х, — хз) э Й+ (хг — хэ) (хэ — хэ) (2хэ — хэ — хэ) хэ 1 (хг — хэ) (хэ — хз) / Таким образом, с,(х) = 1!в (х — х„) (х — хз) / (х — хэ) (2х, — хэ — хэ) ) (хэ — ха) (хэ — хэ) (х, — хр) (хэ — хэ) Искомый интерполяционный многочлен Н,(х) имеет впд / (х — х,) (2хэ — хэ — хэ) 1 (х — хэ) (х — хэ) (хг — «э) (х, — х,) ~ (х, — хэ) (х, — хз) + /(х,)+ / (х,).
(х — хэ) (х — хэ)э, (х — хэ) (х — х,) (х — хэ) (хэ — хэ) (хэ — хэ)э 1(хэ — хз) (хэ — хэ) (12) (13) (14) (х — хэ) (х — х,) (х — х,) й (х)= ~ (хэ «э) (хэ хь) (хэ хэ) + (х — хэ) (х — хз) (х — хэ) (хэ — хэ) (хэ — хэ) (хэ — хэ) /(хэ) + (х — х,) (х — х,) (к — хэ) (хэ) + /(хо) + (х„— х,) (х, — хэ) (ха — хэ) (х — хэ) (х хг) (х — хэ) /(хэ). (хз — хэ) (хэ — хй (хз — хэ) (15) Получим многочлен (13) путем предельного перехода в (15). Зафиксируем точки х, хо, хь хэ и устремнлэ хэ и хь Тогда последние два слагаемые перейдут в пределе в выражение (х — х,)' (х — хэ) (х — хэ) (х — х,)э /(х,) +, /(хз).
(16) (хэ — х,) ' (хэ — хз) ',(хэ — х,) (хэ — х,)э Первые два слагаемые в (15) объединим следующим образом: (х хэ) (х — хэ) ~ (х — хг) / (хэ) (х — хэ) / (хэ) хэ — хэ (хэ — хэ) (хэ хз) (хэ хэ) (хэ хэ) Посиольку при указанном предельном переходе величины х,— х, и (х хй / (хэ) (х хэ) / (хэ) (хэ — хэ) (хэ — хэ) (х, — хэ) (х, — хэ) (!7) стремятся и нулю, можно раскрыть неопределенность вида О/О, воспользовав- 139 Согласно (5) погрешность интерполирования в случае много- члена (13) можно записать и виде / (х) — Н,(х) = " (х — х,) (х — х,)'(х — х,), /го (5) 24 где йеи(х„х,). Интерполипионный миогочлен Эрмита можно построить путем предельного перехода в многочленаэ Лагранжа и Ньютона.
Поясним это на том же примере. Нариду с узлами хэ, хь х, введем узел хэ (отличный от хэ, хь х,) н построим по узлам хэ, хь хэ, х, интерполинионный миогочлен Лагранжа шксь правилом Лопнталя. дифференцируя выражение (!7) по хз, получим функцию г (хй (х — хз) (2хз хз хз) зз (х,) . — Г (хз) + (х, — хз) (х, — хз) (хз — х„)з (хз — хз) +, р (хз), (х — хг) (хз — хз) (хз — хз) (мз — хз) (хз — хз) так что 1 (х — х,) (2хг — хз — хз) 1'пп а (х,) = 1— ) (хг) + х х, (хз — хз) (х, — хз) (х, — хз) (х, — хз) + (х — хй р (х,) (х, — хз) (х, — хз) Итак, первые два слагаемые в (15) переходят в пределе в выражение (х — х,) (2х, — хз — хз) 1 (х — хз) (х — хз) ! 1 )(х,)+ (хз — хз) (хз — хз) (хз — хз) (хз — хз) + (х — хз) (х — хз) (х — х ) р (хй.
(хз — х,) (% — х,) Отсюда и из (1б) получаем многочлен (10]. б 4. Интерполирование сплайнами Интерполирование многочленом Лагранжа нли Ньютона на всем отрезке !а, Ь) с использованием большого числа узлов интерполяции часто приводит к плохому приближению, что объясняется силы<ым накоплением погрешностей в процессе вычислений. Кроме того, из-за расходимости процесса интерполяции увеличение числа узлов не обязано приводить к повышению точности.
Для того чтобы избежать больших погрешностей„весь отрезок [а, Ь) разбивают на частичные отрезки и на каждом из частичным отрезков приближенно заменяют функцию )(х) мпогочленолг невысокой степени (так называемая кусочно-полиномиальная интерполяция). Одним из способов интерполирования на всем отрезке является интерполирование с помощью сплайн-функций. Сплайн-функцией илн сплайном называют кусочно-полиномиальную функцию, определенную на отрезке (а, Ь) и имеющую на атом отрезке некоторое число непрерывных производных.
Слово «сплайн» (английское зр(!пе) означает гибкую линейку, используемую для проведения гладких кривых через заданные точки плоскости. Мы не будем придавать слову «сплайн» какого-либо определенного технического смысла. Преимуществом сплайнов перед обычной интерполяцией является, во-первых, пх сходимость и, во-вторых, устойчивость процесса вычислений. В этом параграфе будет рассмотрен частный, но распространенный в вычислительной практике случай, когда сплайн определяется с помощью миогочлепов третьсй степени (кубический снлайн).
140 гх,— лзз тл~ — лззсзт ты з ~ Гзт, з з зз— 138 1. Построение кубического сплайна. Пусть на [а, Ь1 задана непрерывная функция )(х). Введем сетку а=х,<х,«...х,<хн=Ь и обозначим 1,=!'(х,), 1=О, 1,..., Лг. Сплайном, соответствующим данной функции 1(х) и данным узлам(х;) „называется функция з(х), удовлетворяющая следую- щим условиям: а) на каждом сегменте (х,.
ь х,), 1=1, 2, ..., Л', функция з(х) является многочленом третьей степени; б) функции з(х), а также ее первая и вторая производные не- прерывны на (а, Ь); в) з(х,) =!(х,), 1=0, 1,..., М. Последнее условие называется условием интерполирования, а сплайн, определяемый условиями а) — в), называется такнсе ин- терполяционным кубическим сплайном, Докажем существование и единственность сплайна, определяе- мого перечисленными условиями. Приведенное ниже доказатель- ство содержит также способ построения сплайна. На каждом из отрезков (х, „х,), 1=1, 2, ..., Л~, будем искать функцию з(х) =з,(х) в виде многочлена третьей степени с,.
э4(х)=а~+Ь;(х — хД+ — '(х — х)'+ — (х — х)', (!) 2 б х;,<х<х„1=1, 2,..., У, где аь Ьь сь й; — коэффициенты, подлежащие определению. Поясним смысл введенных коэффициентов. Имеем а;(х) =Ь;+ с;(х — хД+ — '(х — х,)', 2 з; (х) =с4+йг(х — х), з; (х) =йи поэтому а~=зг(х), Ь;=зс(хс), с =зс(х;), а4=з~ (хс). Из условий интерполирования з(х,) =!(х,), 1=1, 2,..., Лг, получаем, что а;=!(х,), 1=1, 2, ..., Л'. Доопределим, кроме того, а„=!(х,).
Далее, требование непрерывности функции з(х) приводит к условиям з,(х,) =з„,(х,), 1=1, 2, ..., Л'- — !. Отсюда, учитывая выражения для функций з,(х), получаем при 1=0, 1,..., М вЂ” 1 уравнения а; = а ь, + Ь;„(х; — х; „) + —" (х; — х; „)' + — ' —" (х, — х;„)'. 441 Обозначая й,=х,— х, „перепишем эти уравнения в виде а2 1л йЬ,— — 'с;+ — 'А=); — 7; „1=1,2, ..., Х. (2) Условия непрерывности первой производной з~(х;)=з;„(х;), 1=1, 2, „, Дà — 1, приводят к уравнениям 2 (3) Из условия непрерывности второй производной получаем уравнения д,й,=с; — с, „1=2, 3,...,ДГ.
(4) л,-'. йап — — 'А = Ь; — Ь,-о а лг лз й;Ь1 — —,' с; + — ' А = 7 — 6 о (б) 1=1,2, ..., Ф. (7) Убедимся в том, что эта система имеет единственное решение. Исключим из (5) — (7) переменные Ьь Н„1=1, 2, ..., М вЂ” 1, и получим систему, содержашую только с„1=1, 2,..., Ьà — 1. Для зтого рассмотрим два соседних уравнения (7): л; а,'. Ь,=- — 'с,— — 'А+ 2 6 а; а. а' 1-! 1-1 ° ~ — 2 Ь,,=:с,, —:гй, + 2 6 а; и вычтем второе уравнение из перВОГО.
1ОГда ПОлучим Ь; — Ь;,= 1 = — (й,с~ — й;,с~,) — — (lп4 — Й~- ф; — ) + 142 Объединяя (2) — (4), получим систему ЗФ вЂ” 2 уравнений относя. тельно ЗМ неизвестных Ьь с„г(„1=1, 2,..., 7т'. Два недостаюших уравнения получают, задавая те или иные граничные условия для з(х). Предположим, например, что функция 1'(х) удовлетворяет условиям 1'"(а)=1'"(Ь) =О. Тогда естественно требовать, чтобы з" (а) =з" (Ь) =О. Отсюда получаем з,(х,) =О, зл(х,)=О, т. е. с,— г),й,— — О, с„=О. Заметим, что условие с,— д,й,=О совпадает с уравнением (4) при 1=1, если положить с,=О, Таким образом, приходим к замкнутой системе уравнений для определения коэффициентов кубического сплайна; Ь,Л,=с,— с, ь 1=1, 2,..., Дг, с,=с~=О, (5) Подставляя найденное выражение для Ь,— Ь,, в правую часть уравнения (6), получим Ля 2а,'.
/ [Л 1'1-1 1'1-1 — 11-2 Ь1сг+Ьг тсг,— — '' е(г1 — — 1А=2 ~ —, ). (8) Лт й,т Далее, нз уравнения (5) получаем Й,'А = Ь1 (сг — с1 2), 6~1 1211, = 61, (сг 1 — с;,) и, подставляя эти выражения в (8), приходим к уравнению 11 11-1 11-1 11-2 йг,с,, + 2 (Ьг 1+ Ь2) ся, + Ь1с, = 6 ~- Ьг йг, Окончательно для определения коэффициентов с, получаем систему уравнений / !1, — !1 71 — 11, '1 Ьгся, + 2 (Ья + Ьг 1) о, + Л1 21с„1 = 6 —, (9) 1=1, 2,... Дг — 1, с,=с„=0, В силу диагонального преобладания система (9) имеет единственное решение.
Так как матрица системы трехдиагональная, решение легко найти методом прогонки, которая в данном случае устойчива (см. п. 7 $4 ч. !). По найденным коэффициентам сг коэффициенты Ь, и А определяются с помощью явных формул дг Ь,е Ь1 = — ~~ — — ' А+ 2 6 Д; 1=1,2,..., Ж. Ет Г1-1 А= л,. (! О) шь- (х,=а+ 1й, 1=0, 1,..., Л/) *) Изучение этого раздела не обязательно для понимания дальнейшего ма. тернала. Более подробное изложение см. в [201.
!43 Таким образом, доказано, что существует единственный кубический сплайн, определяемый условиями а) — в) и граничными условиямн э" (а)=ям(Ь)=0. Заметим, что можно рассматривать и другие граничные условия. 2. Сходимость процесса интерполирования кубическими сплайнами *). Покажем, что интерполирование кубическими сплайнамн является сходящимся процессом, т. е. при неограниченном увеличении числа узлов У соответствующая последовательность сплайнфункцнй сходится к интерполируемой функции )(х).
Оценки погрешности интерполяции г(х) =1(х) — з(х) зависят от выбора сеток н от гладкости )(х), Для простоты изложения будем рассматривать сейчас последовательность равномерных сеток с шагом Ь=(Ь вЂ” а),й!. В этом случае основная система уравнений (9) принимает вид с;, + 4с, + с;„= 6)„-. и ! = 1, 2,..., Л! — 1, со=ел=О, (11) где обозначено !'- =([е,— 2[;+[,.„,)!Ь-".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
