Иродов И.Е. - Электромагнетизм (Основные законы) (1077800), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Следствия из законов преобразования полей Некоторые простые следствия. Из формул преобразования (8.1) вытекают в ряде случаев простые и вместе с тем полезные соотношения. 1. Если в К-системе имеется только электрическое поле Е (а магнитное В = О), то между полями Е' и В' в К'-системе сушествует такая связь В' = -[теЕ']/сз. (8.5) Действительно, если В = О, то Е', = Е, / у1 — ]3' и В,'1 = О, В' = — [т,Е]/с',/1 — р' = — [т,Е']/с, где учтено, что в векторном произведении можно писать как Е, так и Е, (зто же относится Глава 8 228 и к штрихованным величинам).
Приняв во внимание, что В' = = В'„+ В', = В', приходим к формуле (8.5). 2. Если в К-системе имеется только магнитлное поле В (а электрическое Е = 0), то в К'-системе Е' =~и В]. (8.6) В самом деле, если Е = О, то В' = В /~~1 — (3' и Е'„= О, Е' = [т»В]/ /1 — (3 . Заменив в последнем векторном произведении В на В, и затем В' на В', приходим к формуле (8.6). Из формул (8.5) и (8.6) вытекает следующий важный вывод: если в К-сисжеме имеетпся лишь одно иэ полей (Е или В), тпо в К -систпеме электприческое и магнитпное поля взаимно перпендикулярны (Е' ) В').
Заметим, что обратное утверждение справедливо не всегда, а лишь при определенных дополнительных ограничениях, накладываемых на модули векторов Е и В. И последнее замечание. Ввиду того что в уравнения (8.5) и (8.6) входят только величины, относящиеся к одной и той же системе отсчета, эти уравнения легко применять к полям, изменяющимся в пространстве и времени. Хорошим примером может служить поле равномерно движущегося точечного заряда. Поле свободно движущегося релятивистского заряда. Формулы преобразования полей представляют большой интерес прежде всего в том отношении, что выражают собой удивительные свойства электромагнитного поля.
Но, кроме того, они важны и в чисто практическом отношении, позволяя иногда проще решать некоторые вопросы. Например, задача о нахождении поля равномерно движущегося точечного заряда может быть решена путем преобразования чисто кулоновского поля, которое наблюдается в системе отсчета, связанной с самим зарядом. Расчет показывает (см.
задачу 8.10), что линии Е поля свободно движущегося точечного заряда о имеют вид, показанный на рис, 8.3, где ч — скорость заряда. Изображенная здесь картина соответствует мгновенной «фотографии» конфигурации электрического поля. Вектор Е в произвольной точке Р системы отсчета направлен вдоль радиуса-вектора г, проведенного из точки, где находится заряд в данный момент, в точку Р. Относнтслъностэ электрического н магнитного полей р . е.з Модуль вектора Е определяется формулой (8,7) 4хзэ г' (1 8з зб)"г где 8 = о/с; 6 — угол между радиусом-вектором г и вектором т — скоростью заряда. Электрическое поле «сплющивается» в направлении движения заряда (см. рис. 8.3), причем в тем большей степени, чем ближе скорость заряда о к скорости с.
Следует также иметь в виду, что поле, показанное на етом рисунке, «перемещаетсяо вместе с зарядом, вследствие чего поле Е в системе отсчета, относительно которой заряд движется, изменяется со временем. Зная поле Е, можно найти и поле В в етой же системе отсчета: з (тЕ) з хз )з. з(( ) 1-Рз с 4х гз (1 ()з )пзб)«~ Эта формула является следствием соотношения (8.5), в котором произведена замена штрихованных величин на нештрихованные и одновременно т на — ъ. При о «с (р и 1) выражения (8 7) и (8.8) переходят соответственно в (1.2) и (6.3), гаа аз $8.4. Инварианты злектромагннтного поля Поскольку векторы Е и В, характеризующие электромагнитное поле, зависят от системы отсчета (в той же самой пространственно-временной точке), возникает естественный вопрос об инвариантах, т. е.
не зависящих от системы отсчета количественных характеристиках электромагнитного поля. Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой комбинации векторов Е и В, это (8.9) ЕВ = 1пт Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является следствием формул преобразования полей (8.1) или (8.2). Более подробно этот вопрос рассмотрен в задаче 8.9. Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто находить решение и делать соответствующие выводы и предсказания.
Приведем наиболее важные из них. 1. Из инвариантности ЕВ сразу следует, что в случае, когда в какой-либо системе отсчета Е 1 В, т.е. ЕВ = О, то и во всех других инерциальных системах отсчета Е'1В'. э и г 2. Из инвариантности Š— с В следует, что в случае, когда Е = сВ (т. е. Š— с В = О), то и в любой другой инерциальной системе отсчета Е = сВ . 3. Если в какой-либо системе отсчета угол между векторами Е и В острый (или тупой), — это значит, что ЕВ больше (либо меньше) нуля, — то угол между векторами Е' и В' также будет острым (или тупым) во всякой другой системе отсчета.
4. Если в какай-либо системе отсчета Е ) сВ (или Е < сВ)— 3 2 2 это значит, что Š— с В больше (либо меньше) нуля, — то в любой другой системе отсчета будет также Е' > сВ' (или Е' < сВ'). б. Если оба инварианта равны нулю, то во всех системах отсчета Е 1 В и Е = сВ. Именно это и наблюдается, как мы увидим, в электромагнитной волне.
6. Если равен нулю только инвариант ЕВ, то можно найти такую систему отсчета, в которой или Е' = О, или В' = О; -какое Опюсвтельяость электрического н магвиткого нолей именно, определяется знаком другого иннарианта. Справедливо и обратное утверждение: если н какой-либо системе отсчета Е = О или В = О, то во всякой другой системе отсчета Е' ) В'. (Этот вывод был уже н 3 8.3.) И последнее.
Нужно помнить, что поля Е и В, вообще говоря, зависят и от координат„и от времени. Поэтому каждый из инвариантов (8.9) относится к одной и той же пространстненновременной точке поля, координаты и время которой з разных системах отсчета связаны преобразованиями Лоренца. Задачи 8.1. Частный случай преобразования полей. Нерелятизистский точечный заряд з движется с постоянной скоростью ч. Найти с помощью формул преобразования полей мвгнитное поле В этого заряда в точке, положение которой относительно заряда определяется радиус-вектором г. Решевяе.
Перейдем в К-систему отсчета, связанную с зарядом. Б этой системе имеется только кулоновское поле напряженностью Д Е' = — —,г, 4хзэ гз где учтено, что в К-системе радиус-вектор г = г (нерелятивистский случай). Теперь перейдем обратно, нз К'-снстемы в К- систему, которая движется относительно К-системы со скоростью — ч. Для этого воспользуемся формулой для поля В из (8.4), в которой роль штрихованных величин будут играть нештрихоэанные (и наоборот), а скорость ч надо заменить на — чэ (рис.
8.4). Б пап|ем случае ч = ч, поэтому В = В' + [чЕ']ус. Учитывая„что в К -системе В = О и что с 1/запэ, находим рэ д(чг) 4х г' Мы получили формулу (6.3), которая ранее была постулирована как результат обобщения опытных фактов. 8.2. Большая пластинка из однородного диэлектрика с проницаемостью з движется с постоянной нерелятивистской скоростью ч в однородном магнитном поле В,как показано на рис. 8.б. Найти поляризованность Р диэлектрика и поверхностную плотность а связанных зарядов.
Глава 8 К Р . 8.8 Рещение. В системе отсчета, связанной с пластинкой, будет наблюдаться кроме магнитного поля и электрическое, обозначим его Е' . согласно формулам преобразования полей (8.4) Е' = [тВ[. Поляризованность диэлектрика е — 1 юле Е еа [тВ1> где учтено, что внутри диалектрика согласно (3.29) Е' = Е',/е. Поверхностная плотность связанных зарядов [и'~ = Р = е, е эВ„ е причем на той поверхности пластинки, которая обращена к нам (рис. 8.5), а' > О, на противоположной а' ~ О. 8.3. Имеется незаряженный длинный прямой провод с током Х. Найти заряд на единицу длины этого провода в системе отсчета, движущейся поступательно с нерелятивистской скоростью о вдоль проводника в направлении тока й Ре|пение. В движущейся системе отсчета согласно формулам преобразования (8.4) появится электрическое поле Е' = (тзВ), или Ег = оа)го),/2яг.
Здесь выражение для В получено с помощью теоремы о циркуляции. С другой стороны, по теореме Гаусса (в движущейся системе отсчета) Е, '= Х'/2яе г, (2) Относительность электрического я магнитного полей где К вЂ” заряд на единицу длины провода. Иэ сравнекия (1) и (2) находим Х = — се 1/с г где с = 1/з р . Происхождение этого заряда связано с различным лоренцевым сокращением, которое испытывают эцепочкиэ положительных и отрицательных зарядов (ведь их скорости разные!). 8.4. В К-системе отсчета имеется узкий пучок протонов, движущихся с релятивистской скоростью с. На некотором расстоянии от пучка напряженность электрического поля равна Е. Найти индукцию В' магнитного поля на том же расстоянии от пучка в К'- системе отсчета, перемещающейся со скоростью с„относительно К-системы в направлении движения протонов.
Решение. Этот вопрос проще всего решить с помощью формул (8.1). Но предварительно надо найти индукцию В в К-системе на том же расстоянии от пучка, где задана напряженность Е. Воспользовавшись теоремой о циркуляции вектора В и теоремой Гаусса для вектора Е, найдем: В = ро//2яг ~ Е = Х/2пзог ~ где г — расстояние от пучка, / = 3ю — сила тока„Х вЂ” заряд на единицу длины пучка. Из этих формул следует„что В/Е = сэ)гэ1/А = о/с > здесь с = 1/гор,.
Подставив выражение для В из этого уравнения в последнюю из формул преобразования (8. 1), получим: При атом, если ор < с, то линии вектора В имеют правовинтовое направление с вектором ч, если же ис > с. то — левовинтовое (ибо ток Г в К'-системе в этом случае будет течь в обратную сторону). 8.8. Релятивистская заряженная частица движется.в пространстве, где имеются однородные взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля В и В. Частица движется прямолинейно по направлению, перпендикулярному векторам Е и В. Найти Е' и В' в системе отсчета, перемещающейся поступательно вместе с частицей.
Глава 8 Решение. Из характера движения частицы следует, что ее ско- рость должна удовлетворять условию иВ =Е. Согласно формулам преобразования (8.1) Е+$тВ) Е' = — = О, ибо в нашем случае сила Лоренца, а значит, и величина Е + [тВ] равны нулю. Для магнитного поля согласно тем же формулам преобразования  — ~тЕ]7с Расположение векторов показано на рис. 8.6, откуда видно, что (тЕ] (] В.
Поэтому с учетом того, что согласно (1) с = Е7В, можно записать  — Ез~Всз В(1 р ) или в векторном виде в' - в) ~ — ф~,вг . Полевно убедиться, что полученные выражения удовлетворяют обоим инвариантам поля. 8.6. Движение аврядв в скрещенных Е и В полях. Нерелятивистская частица с удельным зарядом д/т движется в области, где созданы однородные взаимно перпендикулярные Е и В поля (рис. 8.7). В момент 1 = О частица находилась в точке 0 и имела нулевую скорость. Найти аакон движения частицы, х(М) и у(г). Решение. Движение частицы происходит под действием силы Лоренца, причем, как нетрудно сообразить, все время в плоскости ХУ. Проще всего ее движение будет выглядеть в такой л"- системе отсчета, где будет каблюдаться только магнитное поле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
