Исаченко В.П. - Теплопередача (1074332), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Охпаждмтиа ШАРА рассмотрим охлаждение шара в среде с постоянной температурой н с постоянным коаффициентом теплоотдачи и на его поверхности. В начальный моыент времени при т=б асе точки шара с радиусом гч имеют одинаковую температуру йх Прн заданных условиях температура для любой точки шара будет функцией только времени и радиуса. Требуется найти распределение температуры внутри шара. Если обозначить избыточную температуру для любой тачки шара О=А — йм то дифференциальное уравнение теплопроводности шара в сферических координатах запишется: — =а ~ — + — — ). дв /дю з дат д '(д ° дг)' (3.66) а) Граничные условия: на поверхности шара при г=г, (дв) «6 Из условий симметряи задачи в деитре шара при г=О ( —",,) -О.
б) Начальные условия: прн ч=О 6=6,=6-1. д О~.~;. (3-67) (669) (3 71) ' Подроазае рпаенме зрвзддезо в мемогрзфаи А. В лмкова (л. (((] 96 Рыпаи уравнение (3-66) методом разделения переиениых и подчиняя полученное реп!ение условиям [3-67), получим '. 2(пвр — р соз! 1ив(р«Д) [ Г ]. (3-68) (р.— ! р сер 1!.и =! здесь В=б(ба; З=г!ге. Постоянная р в уравненпи (3-68) является корпеы характеристического уравнения, которое для шара имеет вид: 13р=— в! — ! Уравнение (3-69) является траасцендентным. имеет бесчисленное множество корней прн заданном значении В! и решается аналогично уравнению (3-14). Значешгя шести корней уравнения (3-69) для различных В! приведены в [Л. 1! 1, табл. 6-8]. Прн В! о» согласно характеристическому уравнению (3-69) р при этом «начальная тепловая амплитуда» уравнения (3-68) Р = 2(з(врз — !расина)-=2( — 1)"+'.
р — ма р„сгм р„ С учетом последнего уравнения формула (3-68) принимает внд! 9= ~ 2( — 1)"+' — ~зш(пч)1) ехр [ — (лв)*Го]. (3.70) =! При В!=1 согласна уравнению (3-69): р„=- (2п — 1) —, Р„=2( — !)"+* —, и уравнение (34В) зашпиется: „+, 2 з(в(р И) ехр ( — р'„Го). ми =! При малых значениях В! (В1(О,!) начальные амплитуды (Р ) всех членов ряда (3-68), за исключением первого, стремятся к нулю.
Начальная амплитуда первого члена ряда Рг=1, а раг=ЗВ!. При этих условиях соотношение (3-68) запишется так: Я(в (г'зп! и! 3,. Г ) (3-72! ,ъаи "р( — ' ' ' Из анализа уравнения (3-68) следует, что прн значениях Го)~0,28 ряд становится настолько быстросходящимся, что для выражения температурного полн можно ограничиться первым члеиом ряда: 6= 2(! р ! сг ! 1 ! (! и! — Го\ 3.73) !» — з(в! ссз! (,и Так как р в уравнении (3-68) зависят только от числа 81, то уравнение температурного поля может быть записано в виде В=Г()(, Вг, Го).
(3-74) Для центра шара Е =Р (В), Ро). (3-74") Для поверкности шаре Ви ~.=рв(В( Го). (3-74в) Функции, определяемые выражениями (3-74') и (3-74") для раалнчных аначений чисел В) н Ро, представлены на рис. 3-13 и 3-14. Аналогично, как для пластины н цнлншцра, количество теплоты, котоРое отлвется илн воспринимается шаром аа промежуток времени Ш-и О,а г Рис з-13.
Зввисиивст» н щрц В1) ява центов шаРа о„ш го го Оа сю о,г ог Оаг Рис 3-14 Зи испивать И Г,(Ртв В!1 ввв вввершш гв швов со ао О Ю О,О го Л О'то'л О Шшя о гл'Л и тр'г Рис Зче Зввввивветь ч37 Р(гц ВЗ от т=О до т, нейдеь! по формуле 0 йч !' (! !.— !.с Р)*(1 Р лм' Р' Р— з!а! „ссзп„ ! В улавнении (3-75) (1 =- з кг',Рс(6 — Р„) — начальная избыточная внутренняя зиергиы пира.
Из рассмотрения (3.76) следует, что О =р(В!. ро). (3-76) Значенин функции (3-76) для различных значений чисел го и В( представлены на рис. 3-16. 3 в. Охиаищенне (нагревАнне) теи кОнечных РйзмеРОВ а) Охл азкденне пар алл слепни еда рассиотрнм охлшкдение Параллелепипеда в среде с псстояиной температурой н с постоянным козффициентом теплоотдачн а иа всех его гранях.
В начальный момент времени (г=0) все точки параллелепипеда имеют одинаковую температуру (з Параллелепипед с разыерами 26„Х26гз(26, является однородным и изотропным. Требуется найти распределение температуры в параллелепипеде для любого моиеита )„ ) времени. а также срелнюю темпера- -Г туру, необходимую для определения 1-- количества подведенной (отведенной) теплоты. Рзс. 3.!з.
к озззжхомм пегаззезепн- Поместим начало координат в ' центре параллелепипеда (рис 3-16). Прн атом дифФеренциальное уравнение запишется следуюшим образом: — — =ОУЧ(х, р, а, с). дг(. з. «,т! д! (3-7Л Начальные условия (т=О) ((х, д, з) =(з=сопз(. (3-76) Прн заданных условиях задача симметрична относительно центра параллелепипеда. Если ввести обозначение О= ! — (кч то граничные усповия запишутся так: а) лля поверхности при т>0 -!-х — =аб дВ ! (- ) д»/ аз„ (ЗР уз=а!З " зз! ~ т Х(~~) аа; $ ! — и б) в центре параллелепипеда прис)0 Параллелепипеды, цилинлры конечных размеров и прямоугольные стержни мо>хне расснатривать как тела, образованные пересечением соответственно трех взаимно перпендикулярных неограниченных пластин конечной толщины, цилиндра и пластины и двух пластин.
Можно показать, что решение таких задач представляется произведением безразмерных температур для тел неограниченных размеров, в результате пересечении которых образовалось рассыатриваемое тело. Как было сказано, параллелепнпел образован в результате пересечения трех взаимно перпендикулярных безграничных пластин конечной толщины. Следовательно, длв него и регпение можно представить, как произведение безразмерных температур для трех безграничных пластин: В=В,Е,Вь где Е.
г[" )-'-. 8 '1'")-г-, .8, '(* 1-4. Общее решение (3-81) в развернутом виде запишется слелуюшим образом: г(х, т, з, 1 — г г(х, 1 — с г(з, 1 — г„г(», 1 — г Приведенное решение удовлетворяет как дифференциальному уравнению, так и граничнын условиям, описывающим процесс тенлопроводиостп в параллелепипеде. Таким образом, решение задачи для рассматриваемою тела конечных размеров свелось к решению задачи для безграяичной пластины конечной пашины.
Уравнение (3-8!) можно представить в виде: В=Р„(К, В) Ро )Р„(У. В)т, Рот)Р,(2, В)„Ро,). (3-81 ) Множители в уравнении (3-81) вычисляются по формуле (3-24). Рассмотренный метод известен в теории теплопроводйости под названием теоремы о перемножевни решений. Полученное решение справеддиво и Лля нахождения средней температуры. Средняя безразмерная температура параллелепипела выражаетсз следующих~ образом: 8 П) г г( у ПЪ г Г(т с й — г 8=68зв =7.(И„РО,)р„'(В)т, Ров)Р,(Ю„РО). (38Ф В уравнении (3-82) множители находятся по формуле (3-39). Заметим, что теорема о перемножении решений справедлива н в более обшем случае, когда коэффициенты теплопроводности различны для рааличных направлений, коэффициенты теплоотдачн иа гранях разные.
б) Охлаждевде длинного прямоугольного стержня у Однородный стержень охлажлается в нф среде с постоянной температурой 1 и при постоянном коэффициенте теплоотдачи иа его поверхности. В вачальный момент вре- з ысви (т.=б) все тоша> стержня имеют одинаковую температуру. Поперечное сечение стержня предстан- у ляет собой приьюуп>льиик размерами 2б м Угйбт (РНС. 3-!7). ТаКОЕ ТЕЛО ЬшжНО РаС- ою>ЩВЫ~ВОО ВГЯНО>>алЬВВГО сматривать как результат пересечения двух стержня пластин толшивой 2б, и 2дя, условия однозначности для которых такие же, как и для образовавшегося сте1икня. Безразмерное температурное поле для поставленной задачи есть (3-82') где В,=Г„(Х, В>, Го ) и Вт=рз(У, В(м Ро,).
Множители в уравнении (3-82) вычисляются по формуле (3-24). в) Охлаждение цилиндра конечной длины Однородный цилиндр охлаждается в среде с постоянной температурой 1 . Коэффициент теплоотдачи и на основанинх цилиндра и его поверхности одяна«ов. В на >альный моыент (т=б) все точки цилиндра имеют опинаковую температуру 1>, Дна>>етр имл>пдра равен 2гь длина 1-24, (рис.
3-18). Необходимо найти распределение температуры в цилиндре для любого момента вреыевн и среднюю температуру как функци>о времени для заданных условий однозначности. Рвс. ч->з.коымв- Конечный цилиндр можно рассматривать как реауль- гат пересечения безграничных цнлнядра днаметроь> 2>, и пластины толш>п>ой 2б„следоватевьно, и безразмерную температуру длн такого тела можно записать как >1* '1 — »1» '1-> (8.83) нлн ((3 83') В уравнении (3-83) множители правой части ваходятся по формулам (3-24) и (3-53), причем в качестве определяюшмх линейных размеров в уравнении (3-24) берется половина высоты цилиндра б>, > 99 а в уравнении (3-33) — радиус пнливлра ге.
Средняя температура в пнлнндре длялюбого момента времени Г( > — г Г(е),— г Г( ),— г„ 6=-9лб =Ел(В) „Го,)Р,(В) Гог). (3-34) В уравнении (3-34) множители вычисляются по формулам (3-39) и (3-63). З.о. ЕаенсимОсть ЛРОцесса Охлаждмеил )нАгреаАния) От ФОРМЫ И РАЗМЕРОВ ТЕЛА Скорость процесса распространенна теплоты е телах аавнснт от огвошевня поверхности тел к нх объему.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
