Исаченко В.П. - Теплопередача (1074332), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Решение дифференциального уравнения (3-4) ищем в виде произведения двух функций, из которых одна является функцией только т, 76 а другая — только х (метсд раэделеннн переменных): 6=8(т,х) 8 ф(т)ф(х). (3-7) После подставовки последнего выражения в лифференцналыгое уравнение (3-4) получим: — 9(()=а —,„. 9(~) дт (т) дьйх) а'(т)ф(х) =аф"(х)9(т).
В этом уравнении легко разделяются персис!иге!с, и его можно записать следукацим образом: т'() Ф" (х) (3-8) т() Ф(х) Левая часть уравнения (3-8) есть функция только т, а правая функции только х Если зафиксировать аргумент х и менять только т, то при любом его значении левая часть уравнения (3-8) равна постоянной величине, стоящей в правой части, т. е. 9'(т)!9(т) =сопз1. Лналогично при фиксации т и изменении х правая часть уравнения (3-8) длп любого значения х должна равнятьгя постоянной левой часта, которая зависит только от т, т, е, ф" (х)/ф(х) =сопз1. Так как равенство (3-8) должно иметь место прн любыь значениях х н т, то обе его части должны быть равны одной и той же постоинной величине.
Обозначим шкледнюю через е и перепишем соотношение (3-8): ч т» Ф(х! Заметим, чю нетривиальное решение для 1руикции ф(х) получаем не при эсел значениях г, а только при з(О. Так как з пока произвольная посюянная по численному значению. то полагаем е= — йэ. Подставляя это значение для г, получим: "~х ! э т(:.1 Ф( ) откуда Э ()+Пдр(т)=-О! (3-9) Ф" (х) + йч) (х) =О. (3.!О) Постоянная й определяется яэ граничных условий, а знак минус выбирается из физических соображений. Для тсгловых процессов, стремящихся к тепловому равновесиго, знак может быть только минус. В результате мы получили систему обыкновенных дифференциальных уравнений (3-9) н (3-!О), которые легко интегрпруготся. Уравнению (3-9) уповлетзоряет функция р(г) =Сгэ Уравнению (3-!0) удовлетворяет функция вида: ф (х) =-Сэ з! п (йх) -1 Сз соэ (Ах) .
Подставляя полученные выражения для г)(т) и ф(х) в уравнение (3-7), получаем частное решение: 8=(с,з)п(йх)+Сзсов (йх)] С,э (3-П) 77 Выражение (3-11) удовлетворяет исходному уравнению (3-4) при любых значениях постоянных Сь Сз, Сз и А. Для того чтобы уравнение (3-1!) было решением поставленной задачи, его нужно подчинить начальным н грани шым условиям. Г!сданная уравнение (3-11) граничным условиям прн х=б (ф) =О, находим: Р).=- ~— ! =С,с~й [С, сов (йх) — С;ып (йх)] ~ =. О, дх у„ Сзсоз (0) =Сзшп (О) откуда Се=О. Это значит, что частное решение ф(х)=Сзз!и (йх) должна быть отброшено ка«не удовлетворяющее заданным граничным условиям.
Если учесть, что Се=О, в обозначить С~Се=А, то уравнение (3-!1) можно записать в виде 3 =Аз 'соэ(йх). Подчинив частное решение (3.!2) граничному условию (3-12) получим йАаез!п(й!) = — — ', Ае~соь(йэ), (3-13) откуда после простейших преобразований получаем: аз с!3(йз)= —,з . Л где пб/Л=-В1. Если обозначить йб=р, то последнее выражение можно записать следующим образом: с!и р=р/В!.
(3-!4) Из анализа этого тригонометрического уравнения следует, что при каждом значении В! существует бесконечное множество решений. Наиболее просто уравнение (3-!4) мол!но решить графическим способом. Обозначим левую часть уравнения (3-14) через И=с!ар, з правую в через ш=р/В!. Пересечение котаигенсонды уг с прямой уз дает иам значение корней характеристического уравнения, т. е. р (рнс. 3-3). с Иэ рис. 3-3 следует, что мы инеем бесконечное множество значений величины р, причем каждое последующее больше предыдущего: !м<рз(рэ( ° ° - (~ Важно отметить, что хаждому зна- чению числа В! отвечает своя совокупРас зш к розенам уряввезав !з-!4!.
ность корней уравнения (3-!4). 78 Тэвлвкэ 3-1 Значения 1„ для пласгнни В! Первые четыре карин уравнения (3-14) рг, ра, ре и р, приведены в табл. 3-1 для различных значений числа В! (ат О до оэ). При В! прямая р,=р/В! совпадает с осью абсцисс и корни уравнения булут равны: З, 6 ч 97= —: и = — тл 97= — «-., р =(2л — 1)-2-. При В! — 40 прямая р,=р/В1 совпадает с осью ординат и тангенс угла наклона прямой стремится к бесконечности, при этом корни урав- пения (3-14) равны: рг=й: рэ=п; рэ=2п; ...; р„=(л — 1)п, где л=!, 2, 3 Для других конечных значений числа В! Оелипп~ы р имеют промежуточные аначения (см.
табл. 3-1) . Следовательно, каждому найденному значению карня р будет саатнетствовать свое частное распределеяие температуры: В, = А, сов (р, — ") е В, = А, соа (7„— 1 е Бу (3-13) О„=А„саа(р„— ") е 79 а о,еа1 о',им О,СО4 о,мм О',ВП о',а! о'.ы 0,06 о,ов О'.1 0,2 а,6 0,7 о',3 0,9 о.осео 0,03!6 0,0447 0,0632 0,0774 а,оюз О'.0998 6,1410 0,19Ю О,Я25 0,2791 о'ю! ы о',жа О,Ы!8 О, Юэг О,БЫЗ О',7051 а,тю6 о,тюа О,Ы74 з,ыю 3.1419 3, 14Л 3, 1429 3,!435 3,1441 3,1448 З, 14Ю 3,1543 3 18И з',юю З,'!Ю1 3,2039 з,пм! 3,2636 3'2ЫЗ з,зии З.3477 З,Зги 3,4ИЙ 6,2832 6.
2ЮЗ 6,2ЮБ 6,2338 5,2841 О,Ю45 О,Ю48 6,2959 Б,Ю9! 6.3148 О,ЗЗИ 6,3461 6,3616 6,3770 6,3923 6,4074 6. аз 9,4248 9,4249 9,4250 О.ЕЫ 9,4254 9,4ЕМ 9,42Ю 9,4%9 9,4930 9,43Ы 9,4ЮВ 9.4354 9,4459 9,4365 9,4670 9,4776 9, 5087 9,5!90 1,О 1,'5 2',а В.а 4.О Б,О в.о 7,0 В,О 9',О Ю,'О ю',а , Я!О ' зоа ю,а БО,О 1са,о о,июз а,'ОВЮ !.Оты 1,1928 1,2646 1,ЗЮВ 1,34% !.Зты 1,ЗВ73 1,4149 1,4ЯП 1,472! 1,4961 1,5202 1,6мз 1,5400 1,5451 1,%14 1,5552 1,5708 5,42 Ю 3,54 Ю ЗЛЫЗБ з.в пм 3,'Ювг 4,0336 4,!116 4,17 46 4,2 Ю4 4,2Б94 4,3 ОЗВ 4,4255 4,4ЮЮ 4, Б615 4,Ы 79 4, Ыаг 4,Ю53 4,И48 4,6658 4,7124 6,4373 О,БО97 6.5733 6,7040 6,8140 6,%06 6.9924 т',сыо 7.1263 т, 1ЮВ 7дп81 7.39% 7,4И4 7,6067 7, И47 7,7012 7.ПЬЧО 7,7573 7.7764 7,Ю40 9, 5293 В,ЮО1 9.'ЕЮБ 9.7240 9,8119 9,8928 9.9И7 !О.юв 10, 0949 10,1502 Ю гпи 1О,За!8 !о',ыю 10,6543 10,7334 10,7Ю2 10,8172 1О,Ю!и 1О,ЮП ю,юи Полученные частные решения (3-15) будут удовлетворять лифференциальному уравнению при любых значениях постоянных Аь Аь ." ..., А, на ни одно из этих решений не будет соответствовать действительному распределению температуры в начальный момент времени.
Однако путем наложения бесконечного числа таких распределений при ссютзетствующзм выборе величин А можно воспроизвести любую действительную температурную зависилсость в начальный момент времени. !!а осаовании сказанного общее решение можно представить суммой бесконечного ряда: 6= ~ А сов (р„— ) е с (3-16) Известно, что если отдельные распределысия (3-!5) удовлетворяют дифференциальному уравненнсо (3-4) и граничным условиям [3-6), то и сумма их также удовлетворяет тем же условиям. Постоянная А в уравнении (3-16) найдется нэ начальных условии. Подчинив уравнение (3-16) начальному условию, получим: 6, Д(л)=~ А„сэ( — '„). =с Уравнение (3-17) есть разложение четной функции в ряд Фурье с заданными параметрами р, определяемыми характеристическим уравнением (3-14).
Для этой последовательности чисел р справедлива формула ~ сов (г„— ) ссп (и — ) с[л = ~ с помощью которой можно определять все коэффициенты А в уравнении (3-!7). Для этога умножим обе части уравнения (3-17) иа сов (р х76)сЬ и затем проинтегрируем полученяое соотношение па толпшне пластины. Тогда (3-!7) ~Р(л)саз(Π—,) с!л= ( ) сов'(Н з )с[х, (3-!6) иба все остальные слагаемые в правой части, лля которык л~сп, обращаютси в нуль. Интеграл в правой части соотноспения (3-!6) равен э (! + — Мп2гь). Тогда чгшз=ст [ сч (,.+)ь. (3-!91 Из уравнении (3-19) следует.
по А„является функцией толька корня характеристического уравнения и начального распределеииятемпературы. 60 Попставив полученное вырагкенне длв постоянной А в уравнение (3-16), получим окончательное выражение для температурного полн при охлаждении однородной пластины: р+э В=~~ ~" ~ ) Р(х)сгн(рн —,)Ах~сон (н„з ~~с (3-Ю) 9= ~1 ээ""' сон(в„э)а 1 Уравнению температурного поли (3-22) целесообразно припать безраэмернуш форму. Для этого разделим правую и левую части уравнении (3-22) на б,. Прн этом обозначим: После этих преобразований получим: э Входящие в уравныше температурного поля (3-23) величины —; Вы (3-23) — — являютси безразмерными и имеют следугошнй смысл: а: к б(бэй ф — безразмерная температура; х(Ь=Х вЂ” безразмерная координата; ат/бх=ро — число Фурье, прелставляющее собой безразмерное время;  — безразмерный коэффицигзп.
С учетом последних обозначений урввневие (3-23] запишется: 0 = ~~ ~ф н„" соэ (н„Х) ехр (чг'„Ро). тнэн„ 3 (3-24) Анализ полученного решения.Так как рг. рь..., р представляет собой ряд возрасгакнцвх чисел, то чем больше р, тем меныпе э-О 3! Уравнение (3-20) позволяет получить значение температуры в любой точке пластияы для любого момента временит при любом начальном распрелеленни температуры бэ Если в начальный момент времени (т=б) температура в пластине распределена равномерно (рис. 3-2), т. е, (т-4„=бэ=сопз1, то иятеграл в УРавненин (3-19) Равен (бэ26(Р ) в!п Р„. С Учетом сказанного выРажение для постоянной А принимает видг + «!» сэф (3-21) Подставлня значение А полученное лля случая равномерного распределения температуры в пластине э начальный момент времеви, в уравнение (3-20), получаем: роль последующего члена ряда по сравнени!о с предыдущим.
Кроме того, чем больше число Ро, тем члены ряда будут убывать быстрее с увеличением номера в. Многочисиенные исследования показали, что уже прн Ро)О,З ряд (3-24) становится настолько быстросхоляшимся, что распределение температуры достаточно точно описывается первым членом ряда: (3-25) Ранее обозначено 2жпрб(рг+в1п щ сов !и) =Р» С учетом этого обозначения уравнение (3-25) можно записать в следующем виде: В=()гсоа (ргХ) ехр ( — рзКо). (3-25') Величина Вг является только функцией числа В! и заранее может быть рассчитана н табулирована. Кроме того, если рассматривать температуру для опрецеленного значения Х=х/6, то и соя (дгХ) является функписй В!.
Конкретно для оси пластины Х=х(6=0 и сов(п,.б) 1, а для поверхности х=х(6=1 и сов(рг 1)=созмь Для оси пластины произведение В~сов (О] обозначим как некоторую функцию У(В(). Тогда уравнение (3-25) можно записать в следующем виде: Ол-е Ф(В!) ехр ( — пвг Ро). (ж26) Для поверхности пластины произведение ))~совр, обозначим каь некоторую функцию Р(В() и уравнение (3-25') запишется твк: Вл=~=Р(В!) енр ( — ьАРо). (3-27) Функции Ф(В() н Р(В() в уравнениях (3-26) н (3-27) табулированы и для расчета могут быть взяты из справочников 1Л. 82, 164, !82]. Кроме того, из уравнений (3-26) н (3-27) следует, что прн заданной ноорлииате безразмерная температура является только функцией двух безразмерных параметров В! и Ро: Вл а=)г(ВВ Ро) и Вх-г=(а(В!, Ро). Логарифмируя уравнение (3-26), получаем: 1п Вл р=1пуц(В1) рзг Ро.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
