Исаченко В.П. - Теплопередача (1074332), страница 12
Текст из файла (страница 12)
е. 6=! — Гь Граничные условия: (О при х=0, Д (2-11л] (О при у — ео; )(х) — !и=В(х) прн у=0. )(ля решения уравнения в частных производных (2-П1) воспользуемся методом разделения переменных'. Предположим, что 6= )(х, р) О(х)ф(у). Тогда уравнение (2-П1) приводится к виду — = — = сопя!. Р" 06 4" !Р) РОО ФОО (2-П 3) Правая и левая части уравнения одииакпвы в постоянны.
Обозначим ик через — ее. Таким образом, мы получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения: р"(х) +е~р(х) =.О; (2-!14] т)" (и) — ила (у) = О. (2-!16) Решением дифференциального урввнешгн (2-П4) является функция вида: О(х) тСт гол (гх) +Стати (ех]. (2-116) Согласна (2-79) общее решение уравнения (2-Пб) будет иметь вид: ф(у) =С,е "+С е (2-112) ' Наюе иаироаю ыот метод риеемитриоаетои е гл 3 лримевимльио и иоиачлм леетаииолириаа теилоироит,лиооти. 60 Рассмотрим плоскую однородную пластину тпириной 6 с постоянньпл коэффициентом теплопроводвости д н неограниченным размерам в направленвн оси Оу (рис. 2-2]) (Л.
204). Г!ред~толагается, чтп из поверхностях пластины, определяемых координатами х.==О, х=б и уеео, гемоература поддерживается постоянной н равной гь а вдоль поверхности у=-0 шмпература является функцией координаты х, т. е. 1=Пх). Предполагается, что пластина относительно тонкая в направлении оси Ох, а поверхности, параллельные координатной плоскости хбр, имеют идеальную тепловую изоляцию. Ввиду зтого градиешпм температур д!/дх можно пренебречь, и температурное поле такой пластины будет двухмерным.
Для двухмерной стационарной задачи без внутренних источников теплоты Лифференциальное уравнение теплопроводности запишется: Обшее решгнне уравненвя (2-111) получим после перемножения уравнений (2-116) н (2-117). Решение (2-110) будет уловлетворять граннчпому условию 6=0 прн х О, когда ф(х)-0 прв х=б, а это возможно при С~=-О. Условие 6=0 прп р — ао выполняется тогда, когда р(р] =0 прн р — ьоо, что возможна лишь прн Се=0. Таким образом, решенне для (2-111) прнводится к виду 6=Се шмп (ех). Для того чтобы полученное выражение удовлетворяло граничным условннм 6-:=0 пра х=-б, должно Я быть я>п [еб)=0 ~шп е —.пя)б (где п=!, 2, 3 -.-)- Рзе, тзэ Поэт- Каждому значению и соответствует частное ре- ограничевэзэ паэшенгпх а каждому частному решению соотвшствует стан».
свое эначенне постоянной интегрирования. Общее реп)ение есть сумма частных решений для всех послеловательных положительных значений чнсгл и." 6= ~„'С„е ' !и("— ," х). =.1 (2-118 Полученное решенне удовлетворяет н третьем> граничному условны, т. е. 6=0 при у — т м. Оставшиеся постоянные С„определяются нз граничных условий б=р(х) при р=б. Прн этом Р(х)= 'Ц С„зйг( — х). — > Это ранепство есть разложение функции р(х) в ряд Фурье по сннусаы. Коэффициенты ряда Фурье определяютсн следующим выражепнем: С„=- з ') Г (х) за ( — х) бх. а Окончательное решенне для температурного поля рассматриваемой задачи с учетом последнего соотношеняя можно записать в виде 6= — Яе мп э х~р(х)мп( а х)Ых.
(2110) =3 з Итак, окончательное решение рассыотренной двухмерной задачн после определения постяпных интегрированна представгпся суммой бесконечнгпо рпцз. Аналогичным образом моною получить решение н для сплошного цилиндра прн нзмененяя температурного поля в двух измереннях. Окончательное решение, как н для плэстнны. представитсн суммой бесконечного ряда. 61 Прн реп1еиин конкретной задачи вычисляют интеграл в уравнении (2-Н9), исходя иэ условий задания температуры. Следующим этапом шшяется вычисление членов ряда в завиеимостн от условий сходимости и требуемой точности вычислений. Например, если 1=(з=сопз1 при у=б, то )(х) =Гг, а Н(х)=-1» — Гь Интеграл а Ь е ) =-- ( ' )~=- го т В г г (х) яп ( — ху1 Ас = — — (1„— Г,) ~ — соя — ' х) ~ = — „(ф — 1,], а (л =1.
3, б, 7 ...). У!одставив этот интеграл в уравнение (2.119), получим: з* 0=(Г,— 1) — ~е ' з)п ~ —" х)+ — е яп ~ — 'х)+ 1 '(з ) з ~з + —,е яп ( — х)+...]. (2-120) Можно показать, что полученный ряд сходится. Лля вычисления яэотерм существуют различные методы. Наиболее точным явлвется метод, при котором у прлпнмается е качестле постоянного параметра.
По серия кривьи, отвечающих постоинному значению у, строят изотермы. ли жш мг 11 2.12. нсаистое Окнюкдюгие пнастины Пористые материалы находят болыпое применение в таких конструкпнях, как высокотемпературные тсплообмениики, турбинные лопатки, реактивные сопла и т. д. На практике охлаждение пористых струк- 3 тур достигается нагнетанием жидкости или газа через капилляры твердого тела. Прошке теплообмена н таких пористых системах весьма сложен. При решенин л, задачи предполагается, что вся передача га теплоты внутри плоской пластины осуществляется за счет теплопроводностн череа твердую фазу и что температуры твердого тела и жидкости почти не отлита чаются друг от друга в любой точке по- ристой структуры. Эти предположения зя сушестве|пю упрощают решение задачи [Л.
20б). Рассмотрим показанную на рис. 2-21 яа ь плоскую пластину с постоянным коэф- фициентом теплопроводности 1 . РазмеРис. 2-2К Порнстсе ахлаж ие РЫ ПЛаетппм В НаПРаВЛЕПНЯХ У И Х ВЕЛИ- елгххеа алас энн. кн и температурное поле внутри пластя- нм можно считать одномерным; последнее справедливо и лля температурыохлаждающей жидкости, т. е. 1= Цх) прн О~х(б и (ж=(ж(х) при — оо<х~(0.
На поверхностп пластины при х=б температура стенки равна г,з. Температура нагнетаемой вдоль оси Ох через пластияу жидкости при х — сс Равна 1 а. ТсмпеРатУРы 1«т и Г а известны. Задан Упельный массовый расход охлаждающей жидкости 6, кг/(на с), теплоемкость сам и теплопраподность )з„ котороя постоянны. Необходимо найти распрспеление температуры в такой пористой стенке. Будем рассматривать пористость пластины р как отношение объема пор ко всему объему материала. Для равномерной пористости можно считать, что на елиинце поверхностл, нормальной к направлению потока жидкости, сечепне пля прохода жидкости )„=р, а сечение тверцого скелета, )частвуюгцего в теплопровопкости, равно )ч=-1 — 1,.†- 1 — и.
Отчетим также, что если ухельиыи массовый расход натекающей жидкости равен 6, то массовый расход внутри пластины будет равен 6гр. Пргкюсс переноса теплоты в таком пористом теле можно представить как теплопровоцность самой пластнны и теплообмен между твердым телом и жидкостью, протекающей через поры пластины. Плотность теплового потока за счет теплопроводностн самой пластины в сечениях х и х+е(х запишется: н р.= — л „вЂ” х(1 — и) и е *= — 1.—,„1 г+ е,, г)х) П вЂ” лф е г ж Б условиях стационарного режима изменение теплового потока на участке г(х произойдет вследствие теплообмена между твердым телом и протекающей через поры жидкостью, т.
е. гй)=з — о зз =6грме! — 1 ъ-(1 — и)+л,ив „(1 — р)+л„-д (1 — р)г)х=бст лй. ег ег е'е Слеповательно, пля области 0<я<О дифференциальное уравнение запишетсяг Ог ь* л,(1 — р) ы (а) Если обозначить где (е= Ост Общее решение уравнения (2-121) имеет вид: (=С,ет' + См Постоянные Сз и Са определяются из граничных условий: при х=-О 1=(ег и при х б 1=)ю 33 л,(г — р)= ' то соотюшение (а] запишется: —,— 1, — — О. и'г ег (2-121) Аналогичным образом можно получить дифференциальное уравнение и для области †(х(О: еч ж (2-1Ялл После опрелеленин постоннных С, н С» получаем длн области О<х< б: г = (м + -мг:-'г'-(а'"' — 1).
12-1231 Для уравнения (2-122) общее решение имеет вид: 1 =С,ег "+С,. Это уравнение должно удовлетворять граничным условиям дзя потока жидкости: при х= — оо ( =! а; ш и при х=б 1 — =3 (! — Р) —. лт лх ' Из граничных условий находим, что Сг=( ч н тогда решение для (2-!22) запишетсяг (2-124) е' — ! На основании (2-124) из уравнения (2-123) можно исключить неизвестную температур» (,г.
При х=б 1 =(в=1, +(1,— 1,) е — 1 а Подставив зто значение 1ы в уравнение (2-123), получим окончательное выражеяие Лля распределения температуры в пористой пластине (О. х<б): [2-125) Есле безразмерную телгпературу пластины (! — 1 о)1(!а — (ма) обозначить через В, ураннение (2-!26) можно записать в следующем виде: О=с (2-125') Срелняя температура в пористой пластине для заланного значения $,,3.
определяемая интегралом 9= 1/б ) Вг(х, равна: о (2-126) Если в качестве паралгетра выбрать беб, зависимость (2-!26) мож. но представить, как показано на рис. 2-22. Там же лля соответсгвующих значений ачб нанесена средняя температура, вычисленная по уравнению (2-126). Решение заначи о распределении температур в пористой стенке с испарительным охлажлениеы при прутик граничных условиях нано В. П. Исачевко (Л. 55). При решении задачи предполагалось, что поры малого лиаметра равномерна распределены по объему плоской стенки 64 и пронизывают ее в поперечном направлении [рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
