Исаченко В.П. - Теплопередача (1074332), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Перенес т»ваап» че ры смрпень 48 меняется только вдоль осн стержня. Для удобства дальнейших выкладок отсчет температуры будем вести от 1, =-соней Отсчитаннуго таним обрааом избыточную температуру стержня обозначим через б. Очевидно, б=( — 1, где 1 — температура среды, окружающей стержень; 1 — текущая температура стержня. Если задана температура основания стержня Гь то избыточная температура стержня (рис. 2-12) будет; бг 1» — 1 .
На расстоянии х от основания стержня выделим элемент стержня длиной Дх. Уравнение теплового баланса длк рассматриваемого зле. мента можно записать: Я вЂ” Я им=с%. (а) где М' — количество теплоты, входящее в левую грань элемента За единицу нременн; О тг, — колиюство теплоты, которое выходит из противопалшкной грани злемента за то же времн; дя — количество теплоты, отдаваемое за единя)!у времени наружной поверхностью злемента окружающей его среде. Согласно закону Фурье ах ) ав 1)еел„— Д вЂ” ('й+ — Дх) (, откуда м„х„= — х( — Ц вЂ”; Дх.
да ля лх лх' Следовательно (),— О +а,=х)л — „, дх. л'в (б) С другой стороны, согласно закону Ньютона †Рихма: Й'>=пайи бх. (в) Приравнивая (б) н (в), получаем следующее дифференинальное уравнение, описывающее измененяс температуры стерЖня: ~~= "~ю й=щ'э, (2-78) где (г) величина щ нзмеряется и 1/ы. Из выражения (г) видно, что для ребра, форма и размеры которого заданы, при условии постоянства козффйписнта тсплоотдачи оз па всей поверхности и постоянства Х в рассматриваемом интервале темпсратур, величина гл сола(.
Тогда общий интеграл для уравнения (2.72) будет: 9=с, +С (2-79) Значения постоянных С, н Сз определяются нз граничных условий. Граничные условия могут быть заданы по-разному в зависимости от длины стержня и других факторов. 49 б) Стержсль бесконечной длины В начальном сечении стержня температура поддерживается постоянной, т. е. при х=О величина 0=бе Если длина стержня (, то вся теплота, подводимэя к стержню, будет отдана им э окружающую среду и при х — ьее имеем 0=0. Подстановка граничных условий а уравнение (2.79) дает: при х=О бг=СгтСь' при х — г Сге"=.О.
Последнее равенство зотмажно только при Се=О. Таким образом, Сэ=б» Подставляя эти значения постоянных С, и Сэ в уравнение (2-79), получаем: (2-80) 0=бее- ч. Последнее равенство можно записать в виде: з 9= — =е е, (2-80') где 6 — беаразмерпая температура, выраженная в долях температуры бг начального сечения стержня. На рис. 2-)3 представлена зависимость безразмерной температуры В от длины стержня при различных *на гениях параметра т (т Иле С <шз).
Из рассмотрения рнс. 2-!3 следует, что безразнерная температура убывает тем сильнее, чем больше множитель т. Прн х — ьсо все нрииые аснмптотнчески приближаются к 6=0. Из уравнения ш=р'а,ф~ц следует, что величина шпропорпиональнв теплоотдаче с боковой поверхности и обратно пропорциональна ~/ Д)— фактору, определяющему передачу теплоты теплопроводностью вдоль гь стержня.
Отсюда следует, что при оребрения 1 нужно выбирать материал для ребер с большны коэффициентом теплопроводностн. Последнее приводит к уменьшению и и сохранению больших избыточных температур вдоль стержня. Прн пэ/л=сопз! еелкчяна ш возрастает с возрэстакием иД, что указывает на более эффективную ю работу ребер с профилямн, имеющими меньшее э отношение н)) прн том же поперечном сечении. Количество теплоты, передаваемое стержнем темвератгрь нем х аэе н окружающую среду, очевидно, б>дет равнятьд,~р,„,м ся количеству теплоты, проходящему через егз основание. Через основание стержня проходит тепловой поток '=--" (Й= ' здесь () измеряется в ваттах. Из уравнения (2-80) находим: И =- — ) =- — ше *8,(„,= — шй.
лэ ч Подставляя значение градиента температуры при х=-0 в предыдущее уравнеиие для теплового потока, получаел1 формулу, определяю- 30 щую количество теплоты, отданной стержнем в окружающую среду: Е= ) ь,=ь,|г.т(. (2-81) в) Стержень конечной блины Для стержня конечной длины дифференциальное ураанение (2-78) и его решение (2-79) сохраняет силу, но граничные условия будут другимн: прн х=-9 Ь=йб при х=) — Л~ — ) =к,бб гаь т (Их ) (2-8л) или ф) ' =- т Ьо при х —.— 0 Ь, =С, +Сб при х==) — ) =С,те ~ — С,тле г= — —" Ь, И== на т (2-82') Ь =С, г+С,е Ив полученных уравнений (2Щ ппределнем постоянные С, и Сб '( -+) -(' — ') е '(т-~-"у-)+г — — ' гь ~т+ — '1+и=' Л Подставляя пол)ченяые значении Сг н Ст п уравнение (2-79), по ч с *( — Л ) .'- с' '(т+-Л вЂ” ) -(т++)+ -+ . ( +"— „')+т- — Л-')' Умножив и разделан правую часть уравнения (2-83) на е ' и произведя простые влгебранчесние преобрваоааняя, получим: т(е"Р-*!+е" н ю)+ — [е'ч" ~ — е я"м) Л ь=ь, г., т(а '+е "'1+ л (ет — е- г) 81 где Ьг -тевгпература на конце стержня; «г — коэффициент теплоотдачн с торца стержня.
При х-1 имеет место рааенство количества теплоты, подаедыпюго к торцу стержня за счет теплопрвнодности н ноличестаз теплоты, отдаваемого поверхностью торца в окружающую среду эа счет теплгютдачи. Для определения постоянных Сг и Сз в урааненнн (2-79] используем граничные условия (2-82): Иапомним, что 2 с)г ('с) и 2 С учеюм сказанного уравнение (2-83) запяшется: си( (1 — ))+ — „,', за(м(à — )) В=В, сь( О+ —" «(и) Если теплоотдачей с конца стержня пренебречь, то граничные условия (2-82) можно записать в виде (2.83') при х=О В=ВО при х=1~ — „) =О.
Послеввее можно допустить для случая, когда сч на торце стержня мало, а коэффициент теплопроводностн материала д велик и отношение ю)ь- О, т. е. можно пренебречь теплоотдачей с торца стержня. Для зтих условий в соотношении (2-83') вторые члены числителя н знаменателя кривой части обращаются в нуль и уравнение вринимает вггд: В=В е1 1 )1 сь (мй здесь В измеряется в 'С. По формулалг (2-83') и (2-84) можно вычислить температуру в лго- бом сечении стержня. Обычно доля теплоты, отдаваемой с торца стерж- ня, является величиной малой по сравнению с количеством теплоты, отдаваемым с поверхности ребра, н для практичесиих инженерных рас- четов, как правило, используется формула (2-84).
В предельном случац когда л=1, формула (2-84) принимает видг а, — ш (еи) Количество теплоты гг)ь Вт, отдаваемое поверхностью ребра вакру- жаюшую среду, будет раино иолнчеству теплоты, подводимому к осно- ванию ребра (2-84) О,=-д) (",— '„) Из уравнения (2-84) находим: ~) = — ( = — В,ш = — В,т 1И ОН(). лз т зв(зы] Лх ( г си[за) Тогда (св=й)юбз 18 (ш().
(2-8б) Подставив ю=) 'аьи)1) в (2.8о) получим: О,=б,у«ид) аг( 1). (24)б' Если плана стержня очень велика, то сй (ш1) ь», а 13 (ю1) =1. Тогда В г=О и формула (2-83) преврашаетск в (2-81). 82 х-з. Тепяопеэедэч* чеРеэ Реээнсшгп ппосняо сгеиих Необходимо найти тепловой поток через(плоскую ребристую стенку безграничных размеров. Стенка аребрена со стороны меньшего коэффициента теплоотдачи (рис. 2-14). Заданы постоянные значения коэффициентов теплоотдачи на неоребреиной поверхности стенки оь гладкой части оребренной поверхности ог и на поверхности ребер оь Заданы геометрические размеры ребер (рис.
2-14] н температуры теплоносителей (ж, и 1 г. Поскольку для ребра ЬЭ Ь, то полагаем, что периметр поперечного сечения ребер и=2Ь. Площадь поперечного сечения ребра (=ЬЬ. следовательно, т=ф'а~Я= ь'2зг/ээ, 1(ьг. подставив полученное выражение для и в уравнение (2-85), умножив н разделив на 21, полу- 1'1' =Ь, )' а 2ЬЫ) — бг ( — )г — „~ =арб,рг '21 '(э Х, г' г 1 Х Л Э 1 здесь авб(ь=В1 — безразмерный комплекс, называемый числом Био.
Число В1 является важной характеристикой процесса тсплопроводногти. Опо представляет собой отНошение внутреннего термического сопротивления теплопроеодаостн к внешнему термическому сопротивлению тегглоотдачиг зд г 81 = — —, 1,г з ' т .г Окончательно уравнение для теплового потока с поверхности ребра можно записать в виде ш( — ', рхш) 1г — Р тю з (2-88) Р с.
т-14 тгагааевехача через Реарвсггю сгевку. Обозначим: (ф ж) = Е. — Р'хш Величина Е называется коэффициентом эффективности р е б р а. Тогда урлвнение (2-88) принимает внд: ЯР ОрбгЕРЕ l 1 Величина Е=( 1т — р 2И) стремится к своему максималыюму значению, равному единице, при — рг2И вЂ” О (нри ааданпых геометрических размерах ребра последнее возможно в случае, если 1 ~со, т. е. Вг — ьб).
Теплота Яь Вт, отдаваемая гладкой частью оребренной новерхно- Общее количество теплоты: 0= Яэ+ Яе =пэбгдэЕ+п*бгр, нли (а) Я=о рбгрэа Гэ Рэ+Р». Из сопоставления (а) и (б) следует, что а, =а Š— +а,— '. Гг Рэ (б) (2-87) Величина ам, входящая в уравнение (2-87), называется приведенным коэффициентом те па оотда чю Это такой усредиевиый коэффициент теплоотдачи ребристой стенки, который учитывает теплоотдачу поверхности ребра, поверхности гладкой части стенки и эффективность работы ребра. Тогда для передачи теплоты через ребристую стенку можно записать систему уравиепай: ф=аР,(Г,— Гм); 0=- З, (Гм — Гм)РВ О=ею(à — Г,)рэб здесь Ь' — см. рис.
2-Н. Из этих уравнений получаем: г — г 1 .а' ь,г, Хй ьгхэ, (2-88] Если тепловой поток отнести к единице оребренной поверхности стенки, то (2-89) где 1 гг. а' гэ. — коэффициент теплппередачп через ребристую стенку при отнесении теплового потока к оребрепной поверхности, Вт/(ма К). Если тепловой поток отнести к пеоребренной вовархности стенки, то получим: — =д,= —,,' 1 г — — й,(㠄— г„э). — + — + — — ' л „„г„ (2-99) где — а ~ г, — + — + — — ' л .„гк. — козффицигнт теплоперелачн при отнесении теплового потока к неореб— реивой поверхности стенки. Отношение оребрепной поверхности Рэь к гладкой Рг называется коэффициентам оребрення.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
