Исаченко В.П. - Теплопередача (1074332), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Тогда расчет средней температуры будет сводиться к вычислению зкспоненты. э"5. Охлаждение (нагаевание) еесиОнечнО дзнгннОГО цилиндРА ЦГГЛИНДР РаДИУСОМ Гз ОтДавт ТЕПЛО ОКРУжаЮЩЕЙ СРЕДЕ ЧЕРЕЗ СВОЮ боконую поверхность; коэффициент теплпптдачи о во всех точках поверхности одинаков и остается постоянным на протяжении всего периода охлаждении. Температура среды Г постоянна. В начальный момент времени прн т=.О температура является некоторой функцией Г(г, 0) =((г). Отсчет температуры цилиндра будем вести, как и в $3-3, от температуры среды, т. е. 5 †ум. Прн этих условиях >.равнение теплопроводности принимает внд: — -'( — + — ) да Гд'В ! дат (343) д ( дг г дг/' Граничные и начальные условия: при т-О и О(гага О=ба )(г) — Г =Р(г]," прн т>0 н г=О при ч)0 и г=г, ( ддв) = — „б, Сформулированную задачу решил~ с помощью разчеления переменных, т.
е. 0(г, т) =О(т)ф(г). Подставляя это выражение в уравнение (3-43), получим два обыкноненных дифференциальных уравнения вида е'(т) +айзр(т) =0; (3.44) ф" (г) + — т'(г)+й'у<г)=0. (343) Из предыдущего параграфа известно, что уравнение (3-44) имеет решение: р(ч)=С,е ~. (а) Уравнение (3-43) есть уравнение Бесселя, общий интеграл которого имеет внд: р(Г) =Сз)ч(йг)-РСзуч(йг), (б! где С, и Сз-. постоннные интегрирования, Уз и Уч — функции Бесселя первого и второго рада нулевого порядка. Так как температура на осн цилиндра (г=-0) должна быть конечной величиной, а Уз(0) — зо, то из физических соображений частное решение уравнении (3-43) не должна содержать бесселеву функцию нторога рода и Сз должно быть равно нулю.
С учетом сказанного уравнение (б) пронимает вид: ф(г) = Сз)з(йг). (в) Гели обозначить Егч=р, тогда частное решение уравнения (3-43) будет иметь вид: б(„)=сс У, ~~„— ). '~;/ (3-4б) Постоянная р в ураанеинп (3-46) определяется нз граничнмх условий (г г,), решение которых приводят к характеристическому уравнениюю (3.47) (3 В) (3.49) здесь Хг(р) — функция Бесселя первого рода первого порялка. Уравнение .(3-47) явлнется трансцендентным, и его удобно ре- зв шать граФическим способом, обозначив: РIВ1=у!~ Хз(р)ХУ!(и)'-'-рз. аа ! !3, ! Отметим, что р! обращается гд !! а нуль в тех точках, для которых Уз(р) =-О.
! г з гз,г,гз, н и ггии В тех точках, в которых функ- !,' !, ! г! шщ У!(р!) обращается а нуль, функ- ' ! ь!г, ци» щ претерпевает разрыв непре- Л' рывиости и становится равной ~с . Функции Хз(р) и Уг(р) являются периодическими затУхаюпщми фУпк- з ! циями, а кривая уг.=Ег(д)ХУг(р) на-, ! ! ', й з! поминает котангенсонду, но с убивающим периодои. Функция рг= =РХВ! графически представляет !, !„Х, !,„„и приму!о линию. проходяцгую через аà — ж 'д.' а "ь! lб начало координат. Выполнив построение, как показано на рис. 3-10, в точках пересечения функции у» с прямой у, получим значения корней харщстеристического уравнения (3-47).
Из рис. 3-!О слелует, что уравнение (3.47) имеет бесчислен- рис. т-!о К ггмеазю урзвчезвя (злт). нос множества решений, а сами корни, как и для пластины, представляют ряд возрастающих чисел, т. е. р!Срз<рз( ... ~р., где п=1, 2, 3, ..., со. Перные четыре корня уравнения (3-47) 1и, рз, р! и 1ц приведены а табл. 3-2 дая различных значений числа В) (от О до оь) . Общее Решение будет суммой всех частных реп!ений (3-46): О= ~~ С Х,('Є—,' ) ехр ~ — и„,— ",-).
! Постоянная С„в уравяении (3-46) находится нз начальных условий. При г=б О=ба Р(г) м уравнение (3.43) принимает вид: О,==у(г)=~~ С„У,~, —," ) =! Видим, что (3-49) представляет собой разложение фуннции Г(г) в Ряд Фурье по функциям Бесселя, а для такой последовательности 69 Таблана 3-2 Зца мция Пз для цилиндра а! числа С определюотса по формуле После интегрнрояания знаменателя получаем: 4 Подставляя полученное выражение для С„в уравнение (3-48), получаем! О= ~ Ы (Г, ) 1, ~~ гр(г)l, (Пч — ) Иг~)4' ! Ху.
~ . +) еар ~ — .Я (3-82) Уравнение (3-52) справедливо при любом начальном распределении температуры в цилиндре. Если в начальный момент времени (т=о) температура распределена равномерно, т. е. 04=8(г) =сои%, то интеграл в уравнении (3-82) ( В ~, (р„— ) д =' — 7-3,7,(р„!. а о,о О,О1 о',% О,О4 О,'06 о,'% О,1О О',15 о,ю а,'и! о,'ю о,га о,ю О.7О О.3О оло 1.'Р 1,5 а,о!2Е О,!4!2 О', Ювб 0,28!4 о,зюз о,'%% орм!т О,'%76 0,6170 о,таю 0,35!6 0,94% !.О!З4 1.0873 1;!ФЗО 1,2043 1, %58 1, 1%9 3,83!7 3,'35Ю З,вэю 3,8421 3,8473 з,йй! 3,%44 3,9694 3,984! 4,0085 4,6%5 4. 0662 4;от% 4, 1НП т,а!% 7,0!ю 7,0184 7,02!3 7,0241 т.отто 7,02% т, 0%9 7.0440 тли% т,оюз 7,1004 7, 1143 7,!%2 7, 1421 7,!668 7, %85 16, 17зб 15, 1745 1О,!754 !0,1774 15,1794 !0,1В!В 16',1аЪ5 Ю, Паг !оию! 10.2029 10,2127 10,2225 10,2%2 !63%19 10,25!9 ю,низ 1О',ЗГ!О !О,э!Вв 2,0 з,'о 4,0 5.О 6,0 т,о 3,0 О,О !о',о 15,'О %,'о зо',о 4О,'О %,0 ю,о 80,0 !оо,о 1,%!И 1,7887 1,9%! 1,%98 2.0490 2,0937 2, 1286 2, 1665 2.
1795 2, 2669 2,2%0 г,звм 2,3455 2,%72 г',%5! 2,ИБО 2,36!О 2,4048 4,%!О 4,4634 4,6О!В 4. 7131 4.60 33 4,3772 4,%34 4.%97 5,%% 5,17 73 653 %8 5, 3410 б, ЭН6 5,41% 5,4291 5,%5!6 5,4652 5.520! 7,2834 7,4ЮЗ 7, 5201 т,аит 7,7ОЗО т',нн! 7,9569 3,!4% 8,2634 З',Зтп 8. 4432 В 4%0 8,51!6 В,овм 8,%76 8,6537 16,%% 1О,ЬНИ 15,%% 1О,%% 10',%84 Ю. 7646 !0,8271 !0,3ЗЮ Ю,вюэ и,!%7 И, 2677 И,4221 И.'5081 И,%21 И 69Ю И,64% И,6747 И,ОЗ!9 Для этих условий уравнение температурного поля принимает вид! =1 Обозначим: О/0!=6 — безразмерная температура; г1гз=зг — безравмерная координата, которая изменяется в пределах 0()((1.
ат/!за=Го †чис Фурье для цилиндра. С учетом этих обозначений последнее выражение запишется в виде 2У, б „] О = ~~ — „-, — -"-, l, (р )г) ехр ( — и'„Го). (3.33) Если рассматривать охлахгдение цилиндра при условии В1гО (праьтически 01<0,1), то при разложении функпий /а(р) и А(р) в степенные ряды они становится настолько быстросходяшнмися, что можно ограничиться первыми членами ряда, н тогда 19=2В!. Действительно, ! ' — 2 г*+-. 0") и у,(и) В! = ! 1 ° 2 В 2нан+- 91 Заметим, что все прннднональные выводы, сделанные при анализе решения для пластины, справедливы и для цилиндра.
Из характеристического уравнения (3-47) видно, что корня р„ зависят только от В1. Поэтому уравнение температурного поля можно представить в виде обобщенной функции от безразмерных параметров! 0 —.Р( — ', — ",— л')=Е()), В),Е ). (3.34) Если рассыатривать значение температуры на оси цилиндра ()г= =О), то уравненме (3-33) запишется следуюшим образом". 1 О= ~ 1, 1* "+, ехр( — и'„Ро). ы,й„) (3-33) ! На поверхности цилиндра Й! При В! — ьсе (практически В1)100) прямая совпадает с осью абсцисс н корни характеристического уравнения не зависят от Вг, а определяютсн нз утловнй уз(И) =О.
В атом случае процесс охлаждения определяется физическнмв свойствами тела и его геометрическими размерами. При этом уравнение (3-53) принимает вид! В = Х, (Рэ)т) ехР ( — и!я Ра]. -й .'<в.) (3.3У) ! откуда получаем р=)ГЗВ[. Кроме тога, каэффициешы всех членов ряда бесконечной суммы (3.53) равны нулю, за исключением коэффициента тг (вй р [и.( 1-[-г" ОЧИ ' который ранен едювице. Уравнение (3-53) лля условий В( — вб принимает вид. Вр Уо(рвй) ехр ( — ро»Го). На оси цилиндра ()[=-О); На=в = ехр ~ ( — моора) .
(3-59) На поверхности цилинлра (Д= 1)в Ва-в=/о(рв) ехр ( — рввРО). (3-60) В силу того что р='Р'2Б, как сама функция .[,([в,), так и отношение температур ца асп и поверхности цнлиадра будут стремиться к едипвце, т. е. ил=о е»р ( — В ', Го[ п,в , г, ( ,1 о р [--в , Р 1 Последнее указывает на то, что температура по толшине цилиндра распределена равномерно и практически не зависит ат рзлп)са цилившра. Задача становится виевпней и протекание процесса определяется условиями охлаждения на поверхности цилиндра. Если Го)6,25, прп вычислении безразмерной температуры В можно ограничиться первым членам ряда. Допускаемая при этом ошибка пе превысит [в)о. Тогда безразввериые температуры на оси и поверхности цилиилра могут быть вычислены по формулавв: на освв цилиндра Вл=о=-Авв(В[) ехр ( — рчра) [ (3-61) иа поверхности цилиндра В=Го(Вв) ехр ( — рввро).
(3-62) Функции №(В!) и Рв(В») могут быть заранее рассчитаны и сведены в таблицы (см. [Л. 82, 164, 182)]. Поскольку в уравнениях (3-61) и (3-62) В является фрвкцией талька двух безразмерных параметров Ва о Фв(В», Го) Ва=в=Ф»(В1, Го), то для апрепеления температуры на оси поверхности цилиндра можно построить графики, показанные на рис. 3-11 и 3-12.
За. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА ТЕПЛОТЫ, ОТДАННОГО ЦИЛИНДРОМ В ПРОВ(ЕССЕ ОХЛАЖДЕНИЕ Таа же как и дла пластины; количества тЕплоты В'Вм Дж, котаРое отдается или воспринимается поверхностью цилиндра аа время от с=б да т=оо, должно равнятьсн изменению ваутренней эввергяи цилиндра за период ножного его охлаждения: Юа пгвв[РС(!Р— ге). (3.63) г а-г и-р"г г г ее ОР т,о Оа О,а гб гп Ог п,г и ги ОИ Опа ОЮ гоп гт Р,и О,И п,аб О,И аии опг аот О и то тг и 3 т йт е рне 3-та Завис»несть В=ФИГо, В) ар»-. = "а га— нл» оси иилнилри. ~О а,а п,б а,а а,г ат ги гй гое О,И О,ОР 3 а б о тр тг то гпт ат Га = —— ег , Вт) нлн евер»нести иилнннра т г 3 тг Заспанность В.—.Ф»'Ро яз г гР— .--.
р=-тг,', 'О,о , а,п „'т РИ а,и ) „- ' .=-. — '!)' -.'..' -) ), гпп За любой промежуток времени от т=б до т, внутренняя знергия цилиндра изменится иа величину () = О. (1--Вг), (3-64) где по-прежнему, «ак и для пластины, Š— г Средняя безразмернаа температура циляндра найдется из уравнения я 1 О= — -162тйдй=-. 2~ Ойг(й е (А' изменяется от О ло 1). Если в зто уравнение подставить значение 9 согласно уравненшо (3-53) н проннтегрировать в указанных ранее пределах, то получим: — чт,(» 1 6= „„, *, ехр [ — Р'„Ро) '=Е .; '.' =! или, учитывая, что Уз(р) /У~(р) =р(ВО л О=~' —,,—., ехр[ — Р'„Ро[„ чш 1Р„О '„+Вп( (3-65) =3 При расчете средней температуры цилннлра В в случае Ро~й,25 также можно ограничиться одним первым членом ряла (3-65): (3 65') Фуикцию 4В)з/[~А(рзз+В1з)) =-М(В|) можно заранее рассчитать для соответствуюших значеняй В! и свестн в таблицы. з.т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
