Исаченко В.П. - Теплопередача (1074332), страница 21
Текст из файла (страница 21)
= — Го ) (г*+!. +') (л:. — 2) ). (3-104) уравнение (3-104) нвляется основой численного метода расчета нестацнопарной теплопроводности. Дли расчета температуры !', по (3-!04) необходимо выбрать определенное значение Ро. При зталР нежно помнить, чта выбор Ео ограничен условием Го ш —. 1 а ' (3.105) Еак показывает анализ, только при зтол1 обеспечиввшся устойчивость УРавиевик (3-104). Если жс пРинать 1то>л!ь г. е. наРУшить Условие (3-!05), то изменение температуры в прапессе расчета приобретает беспорядочный скачкообразный характер и расчет перестаег р быть верным.
Позтоыу при выборе. промежутков б и Ьт необходимо заботиться а том, чтобы условие р (3-!0Б) выполнялось. Если выбрать б и йт па условий По=1)ь то урав- и пенне (3.104) принимает вид1 Формула (3-106) широко используется при графИческом решении неетапионариых задач теплоправадностн. Пря атом будушан Рис. 3-ж сразвенив числе мх раамтаз температура двиной узловой точки с тачамм реме ем распрсселеРаз температур (Го=1/41 а пассшз сгекке, лине завнсйт от ее настаяжей.
кии ссатвеюлтлукт аклактичсскаму решеПри дРУгих значениЯх Го УРав. зкм. тсчкз — чмслезкаму рлс ету. пение (3-104) приводит к более Сложным рсзультатам: Ра= — „'. Рм=м —,' (г,+Р,+1,) (3-107) и Го = —, Р,= — (! +1,+2и. (3-108) Из уравнений (3-!00) — (3-!08) следует, что ул»еньшение значений Ро увеличивает чиспо вычислений и густоту сетки, однако при зтоы повышается точность вь»чнспений. Для случаи, когда одна из поверхностей пластины изапирована и на ней не происходит теплоабмена, а на другой казффициевт теплаотдачи а — л» уже при выборе Го=О» приблнжевный численный метод практически ие отлив -- чается от точного расчета. Сравнение таких расчетов приведено на рис. 3-25 (Л. 204].
Пользунсь изложенным методом, можно получить исходное уравнение для численнога расчета и для других задач несташюнарной теплоправадности. В ча. стнасти, длв двухмерной задачи после разбиении тела на элементарные объемы с размерами ячеек Ьх=Ьу б схема узловых точек будет выглядеть, как показано на рис. 3-2б. Саставлпи уравнение теплового баланса для пентрвпьной точки, получаем: "="1'+'+'+'+'( — ' — ')1 где !о, й 1ь !ь !л — температура в соответствующей узловой точке в момент времени ж !о — температура в центральной точке в момент времени т+Ьт.
Длн этой двухмерной задачи промежутка б и Ьт должнм выбиратьсп вз условия (та ~в ! 4 аналогично условию (3-!Об) длн одномерной задачи. При значении Ра='/» уравнение (3-!00) нривнмает вид: и+г +» '+г (о= —" Рво. 3-2В, Со»ло упооэвх толов Пля Плухвервой влс»овзопарвой лапачв. (3-!10) (3-П12 При этом будущая температура узловой точки не зависит от ее настоящей. Для замены производных функции в дифференпиапьном уравнении разиостными отношениями можно иаспольэоваться математическими операциями.
Такай полход не является более строгим, ио он дает вазможнос~ь решать задачи при рази»юбразных ирзевых условиях, опеннть погрешность перехода от дифференциального уравнения к уравнению в конечных разнастих н более просто провести анализ условий устойчивости п сходнмости решения. Получим приближенную аамену первой и второй пронэвод- ПО п (л-рг у Ыьуль Рнс 2-2У. К оввопу (юрвух и запева сорной п второй проолвовпой ровно»тонии о»»юшо о и ной черсз разностные отношения некоторой функции 1=((х), где под х можно понимать любую независимую переменнуео.
Прежде всего интервал изменения функции разобьем на одинаковые участки б„. Каждая точка будет иметь свою абсциссу, отличающую. ся на величину Ь, иначе говоря, наординату точии х„, заменим тб (т=), 2, 3, ...). Отметим на кривой 1=!"(х) точки А (1, тб ), В (!к-ь (ш — !')Л„') и С(1„+ь ( ч-!)бе). Касательная в точке А (у„„тб„) образует угол а с положительным направлщщеи оси абсцисц тогда производная функции дли рассматриваемой точки А (1, елбл) В =1Ка (3-1!2) Если интервал разбиения б — величина малая, то с достатпчныы приближением угол а можно заменить углами Р или у (см.
рис. 3-27), образованными секущими ВА н ЛС. При этом произволная в тачке А (1, тб„) запишется следующим образом: АŠŠ— Е Ве в„ (3.113) СД АА в„ Если угловой ковффнцнент касательной АВ заменить на угловой коэффициент секущей ВС, получим выражение для производной в точке А следующего вида: (3-114) Полученные выражения (3-П3) — (3-1!3) равноценны для замены первой производной функции разноствымн отиошеяи- и зг ями и называются соответствси- .ч на: предыдущее, последующее и л «ыв л.л~ «-л симметричное разностные отиоРис 3-Ж К оолучелмо рлсчетаоз сетке л состевлекию урлввеека Лл» улловвк точек.
Если заменить кривую иа участке ВС ломаной ВАС, имеющей в точке А два наклона, получим выражение для второй производной функции 1=1(х): В' =-,— ('"", '" — '",'" ' )= — (! „+1,— 2! ). (3.113) Приведенные формулы (3-1!4) — (3-116) наиболее часто использу ются при числеяном интегрировании уравнений теплопроводности. Используем волученщле формулы дли преобразования дифференциажного уравнения к кое!евно-рвзностееой форме. Преобразование пронелем на примере одномерной нестационарвой задачи теплопроводностн беа- 111 В уравнении (3-121) комплекс аь (1'„=-Го имеет смысл числа Фурье для элементарного объема расчетной области, тогда Т, лт,=ро(Т тгл РТ ьь) — (2Го — ПТ,ь (3-121') Если нам известно распределение температуры в расчетной области в какой-либо (например, начальный) момент времени, то, пользуясь систеиой уравнений полученного тина, можно рагсчитать температуру в узловых точках для последующего тчомента вреыени тб 6, .
Теьшература в узловых точках, находящихся на границах области интегрирования, известна из граничных условий, Из уравнения (3-121) следует, что значения рас~епгых температур зависят от числа Га, т. е. от способа разбиения пространственно-временной области. Выбирая интервалы разбиения Ь„ и йе мы мажет~ получить любое значение числа Го Однако, как показывает анализ, решение устойчиво не нрн любом значении Го, а следовательно, выбор величин б„ и Б, нс произволен.
Анализ отклонения числового расчета от точааго решения показывает, что устойчивость расчета для рассматривасмов одномерной валави обеспечивается только ори том условии, когда н уравнении (3-120') (2Го — 1) (О. (3-122) Выражение (3-122) является осиоввым условием, которое ограничивает произвольный выбор интервалов сетки Ь„и би Точно та«ое же условно обеспечения усюйчивости численного интегрирования было получено истолок тепловых балансов (выражение (3-1(6)).
Нетрудно получить конечно-разностное выражение и для двухмерной нестацнонарной задачи теилоцроволности 1(х, р, г). Диффереггцвальнсе уравнение Лля такой задачи имеет вид: (а) В этом случае температуре лля любой узловой точки должно ирисзанватьси три индекса р',,„, где ги,л — инденсы координат, /г — индекс времени. Разобьем область интегрирования иа одинаковые внтервалы.
Тогда, пользуясь ранее полученными соотношениями, хля уююной точки с хоординатами (шб„ лбм /гй,) получим; (3-123) Подставляя полученные выражения для производных (без остаточных членов еь ез, зз) в дифференциальное уравнение (а), нолучаем приближенное выражение лля будущей температуры в точке (тб,, иб„, йй,) г — [Т'+' — Т" ) =-',— (Т", +Т", — 27"„' „]+ .(- „'(Т'*,+Т', — ТУ' 1.
(ш 124) 113 Полагая б„=б„и решая (3-124) относительно будущей температуры в рассматриваемой узловой точке, получаем: т"+'г.="— ,; (т'„.)-т' -(.т' „р),)(ф — 1)т" . (3-12Р) Сбом~ачая, как и в предыдущем случае, гм,/4'„=Ро, выражение (3-124') приводим к виду У'"=РоР"„, (-У', +т" „-~-т„',) — (4Р— 1)У"* и (3-124") Нетрудно вплоть, что для таней доухмерной *влачи решение бупет устойчивым только при условии (4Ро — !) щб. '(3-!25) Если принять число Ро= !й, то уравнение (3-!24) примет вид: тщ' = тз +та уэ +гз (3-1%) 4 Отсюда видна, что булушая температура в рассматриваемой точхе ие зависит от настоящей в этой точас и определяется насгояшимп температурами соседних точек. Аналогичные расчетные соотношения для вычисления температур в узловых точках можно получить и для трехмерной задачи.
б) Лрпяцил стабильлостп теплового потока Существует ряд приближенных решений валави о расцрастраненин теплоты в телах произвольной формы. Расгмотрим метод, базирующайся иа принципе стабильности тепловбго потока. Если на поверхности твердого тела оставить тепловой поток постоянным, но изменить условия охлаждения на небольшом участке поверхности. то это вызовет существенное местное изменение температурного поля. Однако в точках, достаточна удаленных от места возмущения, изменение температурного поля будет ничтонгным (33 22).
Из сказанного слелует, что деформация поверхности тела будет оказывать существенное влияние ва температурное поле только в точках, близних к поверхности, а в удаленных от поверхности точках характер температурного поля будет оставаться неизменныи. Используя эти свойства стабильности теплового потока, расчет теплопроводностн в телах сложной геометрической конфигурации можно свести к расчету процесса нагрева (охлажпения) тел трех классических форы: одномерной плоской пластины — тело первого класса.
паниного круглого цилиндра †те второго класса и гпара †те третьего класса. При решении залачи прем!ге всего необхолпмо рационзлыгым образом опрелелить класс,к которому пало отнести рассматриваемое тела. Затем произвести сравнение температурного поля с температурным полем основного тела этого класса. Согласно принципу стабильности должно выполняться условие а(Г,— 1 )Рбг оз(Г э — 1 ъ)рзбто, (3-!27) где а †средн по поверхности значение коэффициента теплаотпачи, Вт/(и - К); (ч — средняя температура поверхности тела, 'С; !и†температура окружающей среды, 'С; Р— поверхность охляэкдеаия, мь т— время, с. 114 Величина без индекса «ба относится к рассматриваемому телу, а с индексом «О» — к основному телу соответствующего класса.
При соблюдении условий (3-!27) расчет температурного поля рассматриваемого тела можно свести к расчеэу температурного поля эквивалент. ного основного тела соответствующего класса (пластины, Нилинпра, или жара). Последнее прешюлагает, что внешняя конфкгурапия тела будет существенно влиять нв температурное поле только в точках, близких х поверхности. Температурные поля вдали от поверхности стававятся сопоставимыми с температурными пОлями в основных телах соответствующего класса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
