Frol_263-391 (1074094), страница 10
Текст из файла (страница 10)
В соотношениях О'г Шг+ ПЗ21 (13.1) 12 гоз аэз 31б векторы угловых скоростей е!! и с!! известим, что позволяет иайги векторы относительной угловой скорости: в! = =со!!. Векторы о!! и йз могут быть параллельиыми, пересекаться в одиой точке йли скрещиваться (рис. 13.1). Геометрическое место полевений мгновениых осей вращения в основной системе отсчета называют неподвижным аксоидом, а в движущемся теле — подвижным аксоидом.
При параллельных неподвииз!ых осях вращения (рис. 13.1, а) аксоидами являются цили- Я) Я~. ндры с радиусами гм и г„!, соприкасающиеся ме!кду собой по образующей и перекатывающиеся друг по другу 6ез скольжения. Ес- Ф ли векторы е! и из направлены в разные стороны, то аксоидные цилиндры касаются внешиим образом.
Исли векторы с!! и о! имеют одинаковое направление, то аксоидиые цилиндры касаются внутренним образом (меньший Ю цилиндр распело!кеп внутри е г большего). При пересекающихся непо- Ца! двииных осях (рис. 13.1, 6) аксоидами являются два конуса с уг- '~Е лами при вершине 28 1 и 24а. Уг- йг лы аксоидных конусов Р д~! и 4а определяют положение мгиовеииой оси вращении , 3.г в основной системе о'гсчета.
Их значения мо!кис найти по теореме синусов вз треугольника, являющегося векторным решением соотношения (13.1) (рис.13.1, 6): ~гсЯяш 6 = ~о! Уаш 6„!. Я Передаточное отношение " Ф вгз= !(лЛ~!ез~ выра!кается соотиошеиием ! . „!. Й! еед, а!е(х — х„,) И!3 Йд~ ее Вв! ве 6м! г — — соя Х.
(1 3.2) вам !яд„ При скрещивающихся осях (рис. 13.1, а) отиосительиое дви- в . !зл эп жение звеньев является виытовым, т. е. движеыие тела состоит из его вращения вокруг ыекоторой оси и поступательного движения со скоростью, параллельыой этой оси. В этом случае находят мгыовеыыую виытовую ось. Если угловые скорости со, и со постояыыы, то аксоидамы звеньев в отыосительыом движеыиы являются одыополостыые гиперболоиды вращения с прямолиыейыой образующей, которые катятся друг по другу, касаясь по мгыовеыыой винтовой осы, со скольжеыием вдоль этой оси.
Ливии кратчайшего расстояыия между осями ыа рис. 13.1, в обозыачеыа О,О, а ее длыыа — а„. На этой линии расположена точка Р, через которую проходит мгновенная виытовая ось. В сечении, перпеыдикулярыом мгновенной виытовой оси винта, составляняцие скорости точки Р равыы, т. е. 1'м !сох! сов бм =с'м !сох! сов А.ь откуда следует, что передаточное отношение можыо определить из соотыошеыия и се = !со с !с !сох! = г о сов Ь ~со(гм сов бм). (13.3) Модуль вектора относительной угловой скорости вращения ыаходят по теореме косиыусов при решении векторыого уравыеыия (13.1): созд — — ~с сшос+соз+ 2сос со сов Х.
l 2 2 При заданном законе отыосительыого движения звеыьев, элемеыты которых образуют высшую киыематическую пару, в общем случае формулируют осыовыую теорему зацеплеыия в следующем виде: сопряженные поверхности в любой точке контакта имеют общую нормаль к этим поверхностям, которая перпендикулярна вектору скорости то оси контакта в заданном отноаипельном движении поверхностей.
Доказательство этой теоремы заключается в том, что если сформулироваыыое условие ые вьшолыяется, то имеется составляющая отыосительыой скорости элемеытов высшей киыематичесжой пары, направленная вдоль общей нормали. В этом случае элемеыты выспгей пары должны либо оторваться друг от друга, либо взаимыо выедрятыж, что противоречит условию образоваыия контакта в высшей паре. Так как подобыое предположеыые является ыевозможыым, то это является доказательством осыовыой теоремы зацеплеыия.
Краткая запись основной теоремы зацеплеыия в аналитической форме осыоваыа ыа условии перпеыдикулярыости векторов е, и й, записаыыом в форме скалярного проызведеыия векторов: о, й=б, где о, — вектор скорости отыосительыого движеыия в касательной 313 плоскости к элементам высшей кннематической пары; л — единичный вектор общей нормали в точке контакта. Основная теорема влошого зацеплеввя.
Идея схжовной теоремы плоского зацепления была высказана англвйсквм ученым Виллисом (см:. ИИи Я. Рг1пс1р1ез оГ шеспашнп. 1опбоп, 1341) при разработке классификации механизмов на основе анализа отношения скоростей звеньев. В современной интерпретации зту теорему (назьсваемую юиеоремой Виллиса) формулируют в следующей форме: общая нормаль в точке контакта сопряженных профилей в любой момент зацепления должна проходить через полюс зацшлеиия Р, положение которого на межосевой линии О,Оз определяется заданным относительным движеивем звеньев. Из ранее выведенного соотношения (4.39) следует, что положение полюса Р однозначно определяется через радиус г ь если заданы межосевое расстояние а и передаточное отношение и,з. Для доказательства сформулированной теоремы в точке контакта К профилей П1 и Пз (рис.
13.2) рассматривают вехторы <жороатей точек А и В, прииадлежащвх соответственно звеньям 1 и 2, в соотношения между ними (точки К, А, В совпадают по положению): юв=о +оах. Направление векторов определяют из условий движения точек: оохЛ АОг; э .1ВО; вв 11 — г или е Л л — л, где г — г и л — л — общая касательная и о3щая нормаль к сопряженным профилям П и П . Далее через ось О, проводят ливию О,Р, параллельную общей нормали (л' — л'1л — л), и отмечают точку Р ва пересечении с радиусом О КР. Полученный ЬО,РК подобен АаЬК образованному векторами Фм аа ов ~ Из подобия треугольииков следует: аК ЬК )е,~! О|К со г т,, — или =, или О,К ПК' ~э~! ПК' о,г, яПК' (13.4) ~1 Мяд КОг РОг ПК ПК РО, (13.5) Соотношение (13.5) идентично соотношению (13.4), что является доказательством прохождения общей нормали и — и через полюс зацепления Р.
Иногда используют и ииую форму доказательства, рассматривая проекции абсолютиых скоростей е, и ея точек А и В в момевт их контактироваиия в положенив К, которые должны быль равны друг другу по условию ковтактироваиия профилей П1 и Пз без размыкания контакта и без внедревия одного профиля в другой. Из анализа освовиой теоремы зацепления следует, что при заданном закове измеиевия передаточной фуикции, т. е. при заданных цепгроидах, определяющих положение полюса Р иа межосевой лпиии ОхО, коиструктор располагает свободой выбора геометрии контактируемых профилей. Любой паре цеитровд соответствует множество сопряженных профилей, обеспечивающих заданное изменение отношения угловых скоростей звевьев.
Целесообразность выбора той или иной пары профилей с определенной геометрией конструктор увязывает с технологией взготовлевия (с методом изготовлевия, станочвым оборудованием, режущим ииструмеитом, методами ковтроля и т. п.), с работоспособиостью передачи (яиесущая способиостьв, высокий к.п.д., малый изиос профилей, надежность и долговечиость и т. п.), с чувствительпостью передачи к погрешностям, возникающим прв изготовлении, монтаже и эксплуатации. Из основной теоремы зацепления следует, что сопряженные профили должны располагатыж относительво цептроид так, чтобы в любой точке контакта общая иормаль проходила через полюс зацеплевия Р. Если это требование ие выполняется, то такие профили ие могут быть сопряжеыными.
На рис. 13З, а показаны цеитроида 1( и профиль П, к которому проведен ряд иормалей и — л. На участке АВ профиля П нормали пересекают центроиду П, а ва участке ВС нормали не имеют общих точек с цептроидой П. Следовательио, для участка АВ профиля П возможно найти сопряжеивый профиль, а для участка ВС сопряженвь1й профиль спроектировать невозможно. В этом случае высота головки зуба должна быть 320 Так как ОК~КОз= О,Р(РО (что следует по условию пересечения сторон угла ЮОз01 двумя параллельными прямыми), то после подстановки получают соотношение ограничена (на рис. 13.3, и пунктирной линией условно показана ливия вершин зубьев, проходящая через точку В). Аналогичные рассуждения можно распространить на частный случай профиля П, очерченного по прямой линии (рис.
13.3, б): на участке АВ нормали пересекают центроиду 4', а на участке ВС нормали не имеют общих точек с центроидой Дп Однако если выбрать другую центроиду Д, (или иначе расположить прямолнненный профиль по отношению к цевтронде), то можно добиться, чтобы нормали к профилю на всем участке АС пересекали центровду Ц„т.
е. для всего профиля АС найти другой сопряженный профиль. Это условие, вытекающее из основной теоремы зацепления, является необходимым, но иногда оказывается недостаточным, ибо возможны и другие ограничения. Ранее в гл. 4 было показано, что важной княематнческой характеристикой любого механизма, не зависящей от времени и закона изменения обобщенной координаты, является передаточная функция е а скорости движения, представляющая собой первую производную перемещения Ва какой-либо точки В по обобщенной координате гр,: Прн передаче вращательного движения высшей парой кинематической передаточной функции е а можно придать определенный геометрический образ. Пусть в качестве обобщенной координаты выбран угол поворота грг звена 1, а в качестве функции — перемещение Яв точки В ведомого звена 2 (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
