Выск Н.Д., Селиванов Ю.В., Титаренко В.И. - Вероятность и случайные величины (1071991), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Формула БернуллиРассмотрим случай, когда требуется определить не вероятность осуществления некоторого события A в одном испытании, а вероятность того, чтоэто событие произойдет заданное количество раз в серии из n опытов. Будемсчитать при этом, что вероятность A в каждом опыте одинакова и результаткаждого опыта не зависит от результатов остальных. Такая постановка задачиназывается схемой независимых испытаний. При выполнении указанных условий вероятность того, что при проведении n независимых испытаний событие A будет наблюдаться ровно k раз (неважно, в каких именно опытах),определяется по формуле Бернулли:Pn (k )  Cnk p k q nk ,где p — вероятность появления A в каждом испытании, а q  1  p — вероятность того, что в данном опыте событие A не произошло.Пример 7. Победу в волейбольном матче одерживает команда, выигравшая 3партии.

Найти вероятность того, что матч между командами, для которых вероятность выигрыша каждой партии равна соответственно 0,8 и 0,2, будет состоять из 5 партий.Решение. Для того, чтобы потребовалось играть пятую партию, нужно, чтобыпосле четырех партий счет в матче был 2 : 2 . Следовательно, каждая из команд должна выиграть любые две партии из четырех. Если p  0,8 есть вероятность выигрыша в каждой партии для первой команды, а q  0,2 — вероятность ее проигрыша, то, применяя формулу Бернулли, найдем, чтоP4 (2)  С42  0,82  0,2 2 4! 0,64  0,04  0,1536 .2!2!8II. Случайные величиныВо многих задачах теории вероятности удобнее оперировать не понятиемслучайного события, для которого существуют только две возможности: ономожет произойти или не произойти в результате опыта, а понятием так называемой случайной величины, то есть величины, которая при проведенном испытании может принимать различные значения, причем заранее не известно,какие именно.

Если возможный диапазон значений такой величины представляет собой конечное или счетное множество, она называется дискретной случайной величиной, а если эти значения заполняют целиком некоторый интервал — непрерывной случайной величиной.1. Дискретные случайные величиныПоведение дискретной случайной величины описывается законом распределения (или рядом распределения) — таблицей, в первой строке которойперечислены все возможные значения случайной величины, а во второй —вероятности, с которыми она принимает эти значения:xix1pip1x2p2xnpnСумма вероятностей должна при этом равняться числу 1.Пример 8.

Из партии, содержащей 10 деталей, среди которых две бракованных, взяты наудачу три детали. Составить ряд распределения случайной величины X — числа стандартных деталей среди отобранных.Решение. Так как бракованных деталей в партии только две, среди трех отобранных должна быть, по крайней мере, одна стандартная деталь. Следовательно, случайная величина X может принимать три значения: x1  1,x2  2,x3  3. Найдем соответствующие им вероятности.

Число возмож-ных наборов по три детали из 10 имеющихся, то есть число возможных исходов опыта, составляетп  С103 10! 120 .3!7!Найдем число исходов, благоприятствующих каждому значению случайной12213величины: т1  С8  С2  8, т2  С8  С2  56, т3  С8  56 .9Тогдар1 81567 , р2  р3  . Поэтому ряд распределения120 15120 15имеет вид:xipi11 / 1527 / 1537 / 15Однако в ряде задач не требуется полностью знать поведение случайной величины, для решения достаточно лишь нескольких характеристик. Одной изосновных числовых характеристик является математическое ожидание (иливзвешенное среднее значение), представляющее собой среднее значение рассматриваемой случайной величины с учетом вероятностей принимаемых значений и вычисляемое по формуле:М (Х ) n()x p .i 1iiКроме того, зная математическое ожидание случайной величины, полезнознать и диапазон ее возможного отклонения от этого значения.

Другими словами, если значения случайной величины в основном ненамного отклоняютсяот среднего, то оно хорошо характеризует исследуемую величину; в противном случае знание математического ожидания мало что дает для описания ееповедения. Характеристикой, показывающей масштаб отклонения случайнойвеличины от математического ожидания, является дисперсия — математическое ожидание квадрата отклонения от среднего: D( Х )  M [( X  M ( X )) ].При практических расчетах удобнее пользоваться другой формулой для2расчета дисперсии: D( Х )  M ( X )  ( M ( X )) .Отклонение случайной величины от математического ожидания задается22средним квадратическим отклонением  :  D( X ) .Пример 9.

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X из примера 8.Решение. Используя найденный ряд распределения, получим:М ( Х )  1177 36 2  3  2,4;151515 151017792 2 2   32   2,4 2  5,76  0,373;15151515  D( X )  0,373  0,611 .D( X )  12 2. Непрерывные случайные величиныДля непрерывной случайной величины теряет смысл понятие вероятности каждого конкретного значения, поскольку таких значений бесконечномного, и из условия, что сумма вероятностей всех значений равна 1, следует,что вероятность каждого фиксированного значения равна нулю.

Поэтому основными характеристиками, описывающими поведение непрерывной случайной величины, являются функция распределения (интегральная функция распределения) и плотность распределения вероятностей (плотность вероятности, дифференциальная функция распределения).Функция распределения F (x) представляет собой вероятность того, чтослучайная величина примет значение, меньшее аргумента этой функции:F ( x)  P{ X  x}.Плотность вероятности (плотность распределения) f (x) является первойпроизводной от функции распределения: f ( x)  F ' ( x) . График функцииf (x) называют кривой распределения.Понятие вероятности сохраняется для непрерывной случайной величиныкак вероятность ее попадания в некоторый интервал, которую можно опредеbлить так: P{a  X  b}  F (b)  F (a ) илиP{a  X  b}   f ( x)dx.aДля непрерывной случайной величины математическое ожидание, дисперсияи среднее квадратическое отклонение определяются следующим образом:M (X )  xf ( x)dx,D( X ) x2f ( x)dx  ( M ( X )) 2 ,  ( X )  D( X ) .Пример 10.

Плотность вероятности случайной величины X имеет вид:x  0, 0,f ( x)  C (2 x  x 2 ), 0  x  2 , 0,x  2.Найти:1) C ; 2) F ( x); 3) M ( X ), D ( X ),  ( X ); 4) P{0,5  X  1,5}.11Решение. 1) Из условия нормированности плотности вероятности следует,что f ( x)dx  1.В нашем случае2223 C (2 x  x )dx  C ( x  x 3) C (4  8 3)  4C 3  1,200откуда C  3 4 .x f (t )dt.2) Связь между F (x) и f (x) задается формулой F ( x) xF ( x)   0dx  0,Поэтому при x  0x33 2 1 32(2tt)dtx  x ,4 044при 0  x  2F ( x) а для x  23F ( x)   (2t  t 2 )dt   0  dx  1.402х20, x  0,13F ( x)   x 2  x 3 , 0  x  2,441, x  2.Cледовательно,3321 2 3М ( Х )   x(2 х  х 2 )dx   x 3  x 4   16 3  4   1;40434 0 423)22333D( X )   x 2 (2 x  x 2 )dx  1  x 4 2  x 5 5  1  8  32 5  1  0,2;04044 ( X )  0,2  0,447 .1, 54)33P{0,5  X  1,5}   (2 x  x 2 )dx  x 2  x 3 34 0, 54121, 50,5 0,6875 .3.

Нормальный закон распределенияОсобый интерес для практики представляет непрерывная случайная величина, имеющая так называемый нормальный закон распределения, плотность вероятности которой имеет вид:f ( x) 1 2( x  m) 22 2 ,eгде m и  — параметры. Числовые характеристики случайной величины X ,распределенной по нормальному закону, совпадают с параметрами распределения:M ( X )  m, D( X )   2 , а вероятность попадания X в интервал( ,  ) подсчитывается по формуле: m  m P{  X   }    , где  ( x)     1 x t 2 2dte2 0— функция Лапласа, значения которой можно найти в таблицах.Пример 11.

Найти вероятность попадания в интервал (2; 3) для нормальнораспределенной случайной величины с параметрами m  2,   3.Решение.3222P{2  X  3}    33 (0,33)  (1,33)  0,1293  0,4082  0,5375 .Известно («правило трех сигм»), что практически все возможные значения нормально распределенной случайной величины сосредоточены в интервале (m  3 ; m  3 ) . Действительно, вероятность попадания в этот интервал равна 0,9973, то есть выход за его границы можно считать событиемпрактически невозможным ( p  0,27 % ).Пример 12.

Найти математическое ожидание и дисперсию нормально распределенной случайной величины, принимающей значения от 3,5 до 10,1.Решение. Будем считать границы интервала равными m  3 и m  3 .Тогда m  3  3,5, m  3  10 ,1, и следовательно, M ( X )  m  6,8,  1,1, D( X )   2  1,21.13Варианты курсовых заданийВариант № 11) Из колоды, в которой содержится 36 карт, выбираются без возвращения 2карты. Найти вероятность того, что будут выбраны карты одной масти.2) На плоскости проведены параллельные линии, расстояния между которыми попеременно равны 1,5 и 8 см. Найти вероятность того, что наудачу брошенный на эту плоскость круг радиуса 2,5 см не будет пересечен ни однойлинией.3) В урне содержится 7 белых, 5 черных и 8 красных шаров.

Шары выбираются наугад, причем белый или черный шар в урну не возвращается, а извлеченный из урны красный шар после проверки его цвета укладывается назад вурну. Найти вероятность того, что среди первых двух последовательно вынутых шаров будет один черный.4) Машина-экзаменатор на каждую задачу предлагает четыре ответа, из которых только один верный. В билете пять задач. Студент, не желая их решать,нажимает на клавиши случайным образом. Какова вероятность сдать зачетмашине-экзаменатору, если для получения положительной оценки надо решить не менее трех задач.5) Стрелок дважды стреляет по мишени, состоящей из трех концентрическихкругов. За попадание в центральный круг дается три очка, в окружающее егокольцо — два и за попадание во внешнее кольцо — одно очко.

Характеристики

Список файлов книги