Выск Н.Д., Селиванов Ю.В., Титаренко В.И. - Вероятность и случайные величины (1071991)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Министерство образования и наукиРоссийской Федерации«МАТИ» – Российский государственныйтехнологический университет им. К.Э. ЦиолковскогоКафедра «Высшая математика»ВЕРОЯТНОСТЬ И СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫМетодические указания и варианты курсовых заданийпо теории вероятностейСоставители: Выск Н.Д.Селиванов Ю.В.Титаренко В.И.Москва 2004Методические указания предназначены для студентов «МАТИ» – РГТУим.

К.Э. Циолковского, изучающих тему «Теория вероятностей» в рамкахобщего курса математики. Они ставят своей целью помочь студентам лучшеусвоить теоретический и практический материал по классической теории вероятностей и теории случайных величин. В каждом разделе приводится решение типовых задач. Для закрепления материала студентам предлагаетсявыполнить курсовое задание по рассматриваемым темам.Настоящие методические указания могут использоваться студентами навсех факультетах и специальностях, где ведется курс теории вероятностей.2Предлагаемые методические указания ставят своей целью помочь студентам второго курса усвоить теоретический и практический материал по теме «Теория вероятностей». В них рассматриваются основные вопросы классической теории вероятностей и теории дискретных и непрерывных случайных величин.

В каждом разделе приводится решение типовых задач. Для закрепления материала студентам предлагается выполнить курсовое задание порассматриваемым темам. Каждому студенту группы выдаются индивидуальные задачи.I. Классическая теория вероятностейОсновным объектом классической теории вероятности является так называемое случайное событие, то есть событие, которое может произойти илине произойти в результате проведенного опыта.

Числовая величина, характеризующая степень возможности данного события, называется его вероятностью.1. Классическое определение вероятностиЕсли можно пересчитать все возможные исходы проводимого опыта иесли ни один из этих исходов не имеет приоритета по сравнению с другими(то есть при большом количестве опытов все исходы наблюдаются с одинаковой частотой), то говорят, что мы имеем дело со схемой случаев.

Будем считать, что n — число возможных исходов данного опыта, а m — число егоисходов, при которых происходит некоторое событие A (назовем такие исходы благоприятными или благоприятствующими событию A). Тогда вероятность события A определяется как отношение числа благоприятных исхо-P ( A) дов к числу возможных:m.nПример 1. Из колоды в 32 карты вынуто последовательно без возвращения 2карты. Найти вероятность того, что обе они — тузы.Решение.

Так как первую карту можно извлечь из колоды 32 способами, авторую — 31 (поскольку в колоде осталась 31 карта), то число возможныхисходов опыта n  32  31  992 . Определим число благоприятных исходов.Первый туз можно выбрать из четырех, имеющихся в колоде, второй — изтрех оставшихся.

Значит, число благоприятных исходов m  4  3  12, и искомая вероятность равнар123 0,012 .992 2483Во многих случаях, однако, непосредственный перебор всех возможныхисходов опыта затруднителен в силу их большого количества. Для решениятаких задач полезно использовать некоторые комбинаторные формулы, в частности, формулу для числа сочетаний. Число сочетаний из n по k , то естьчисло различных неупорядоченных наборов из k элементов, выбранных изn имеющихся различных объектов, равноn!.k!(n  k )!В частности, если имеется группа из N объектов двух видов ( M элементовпервого вида и N  M — второго), из которых требуется выбрать n элементов, среди которых должно быть m предметов первого типа и n  mCnk второго, вероятность того, что случайно извлеченная подгруппа имеет нужный состав, определяется так:CMm  C NnmMр.C NnЗнаменатель этой дроби представляет собой число возможных исходов опыта, то есть количество различных наборов по n элементов, выбранных из Nимеющихся без учета их качественного состава.

В числителе — число благоприятных исходов, представляющее собой число возможных наборов из mэлементов нужного вида, умноженное на количество возможных наборов изn  m предметов второго типа.Пример 2. Из коробки, в которой лежат пять пирожных «эклер» и семь —«наполеон», достали пять пирожных. Найти вероятность того, что среди нихдва «эклера» и три «наполеона».Решение. Количество возможных исходов опыта представляет собой числосочетаний из 12 по 5:п  С125 12! 7!8  9  10  11  12 8  9  10  11  12 792 .5!7!5!7!1 2  3  4  5Число благоприятных исходов является произведением количества способов,которыми можно выбрать два «эклера» из пяти имеющихся, и числа наборовпо три «наполеона» из семи:5! 7! 10  35  350 .2!3! 3!4!350р 0,442 .Следовательно, искомая вероятность равна792т  С 52  С 73 42.

Геометрические вероятностиЕсли множество возможных исходов опыта можно представить в видеотрезка прямой или в виде некоторой плоской или трехмерной области, амножество исходов, благоприятных событию A — как часть этой области, товероятность рассматриваемого события определяется следующим образом:P ( A) s,Sгде S — длина отрезка (площадь или объем области), задающего множествовозможных исходов, а s — соответствующая мера множества благоприятныхисходов.Пример 3.

В круг наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что она непопадет в правильный треугольник, вписанный в этот круг.Решение. В этом случае мерой множества возможных исходов является площадь круга: S    R , а мерой множества благоприятных исходов — раз22ность площадей круга и треугольника: s  R (  3 3 4) . Следовательно,вероятность заданного события равнаs R 2 (  3 3 4)3 3р 1 0,586 .S  R243. Теоремы сложения и умножения вероятностейНапомним, что суммой A B событий A и B называется событие, заключающееся в том, что произошло хотя бы одно из событий A и B , а произведением AB этих событий — событие, состоящее в том, что произошлиоба данных события.Вероятность суммы двух событий можно найти по теореме сложениявероятностей:P( A  B)  P( A)  P( B)  P( AB ).Если события A и B несовместны, то есть не могут произойти одновременно,то вероятность их произведения равна нулю, и теорема сложения приобретаетболее простой вид:P( A  B)  P( A)  P( B).Вероятность произведения событий определяется по теореме умножения вероятностей:P ( AB )  P ( A)  P ( B | A),5где P ( B | A) — так называемая условная вероятность события B , то естьвероятность B при условии, что A произошло.

Если осуществление событияA не изменяет вероятности события B , то A и B называются независимыми, и вероятность их произведения равна произведению вероятностей сомножителей:P( AB )  P( A)  P( B).Заметим, что при решении задач теоремы сложения и умножения обычноиспользуются совместно.Пример 4. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятностиих попадания равны соответственно 0,6 и 0,9. Найти вероятности следующихсобытий:A — оба попали в цель;B — в цель попал хотя бы один.Решение. Назовем событиями C и D попадание в мишень соответственнопервого и второго стрелка и отметим, что C и D являются событиями совместными, но независимыми (иными словами, в мишень могут попасть обастрелка, а вероятность попадания каждого не зависит от результата другого).Событие A представляет собой произведение событий C и D, поэтомуP( A)  P(C )  P( D)  0,6  0,9  0,54 .Событие B является суммой C и D; для определения его вероятности воспользуемся общим видом теоремы сложения:P( B)  P(C  D)  P(C )  P( D)  P(CD )  0,6  0,9  0,54  0,96 .4.

Формула полной вероятности и формула БайесаЕсли событие A может произойти одновременно с одним из событийH1 , H 2 , , H n , представляющих собой так называемую полную группу попарно несовместных событий (то есть в результате опыта обязательно произойдет одно и только одно событие из этой группы), то событияH1 , H 2 , , H n называются гипотезами, а вероятность события A определяется по формуле полной вероятности:nP ( A)   P ( H i ) P ( A | H i ).i 1Здесь P( H i ) — вероятность i -ой гипотезы, а P( A | H i ) — условная вероятность события A при осуществлении данной гипотезы.6Пример 5. В трех одинаковых урнах лежат шары: в первой — 5 белых и 3черных, во второй — 2 белых и 6 черных, в третьей — 3 белых и 1 черный. Изслучайно выбранной урны вынут шар. Найти вероятность того, что он белый.Решение.

Будем считать гипотезами выбор одной из урн. Поскольку урныодинаковы, каждую из них можно выбрать с одинаковой вероятностью, а таккак сумма вероятностей гипотез равна 1, то вероятность каждой гипотезы —P ( H1 )  P ( H 2 )  P ( H 3 )  1 3 .Условная вероятность события A , то есть извлечения белого шара из урны,определяется по классическому определению вероятности (количеством благоприятных исходов при этом является число белых шаров, а числом возможных исходов — общее число шаров в урне). ПоэтомуP( A | H1 )  5 8 , P( A | H 2 )  2 8  1 4 , P( A | H 3 )  3 4 .Используя формулу полной вероятности, получаем:P ( A) 1 5 1 1 1 3 13      0,542 .3 8 3 4 3 4 24Если известно, что в результате опыта событие A произошло, то эта информация может изменить вероятности гипотез: повышаются вероятности техгипотез, при которых событие A происходит с большей вероятностью, иуменьшаются вероятности остальных.

Для переоценки вероятностей гипотезпри известном результате опыта используется так называемая теорема гипотез, или формула Байеса:P( H i | A) P( H i )  P( A | H i ).P( A)(В знаменателе дроби в правой части равенства стоит полная вероятность события A ).Пример 6. В студенческой группе 20 студентов. Из них 5 отличников, которые знают все экзаменационные вопросы, 8 студентов знают ответы на 70 %вопросов и 7 — на 50 %. Первый вызванный студент ответил на первый вопрос экзаменационного билета. Найти вероятность того, что он отличник.Решение. Будем считать гипотезой H1 то, что данный студент является отличником, H 2 — что он принадлежит ко второй группе, H 3 — к третьей.Тогда вероятности гипотез равны:P( Н1 )  5 20  0,25, P( Н 2 )  8 20  0,4, P( Н 3 )  7 20  0,35 .7Найдем условную вероятность события A — правильного ответа на первыйвопрос — при осуществлении каждой гипотезы:P( A | H1 )  1, P( A | H 2 )  0,7, P( A | H 3 )  0,5.Следовательно, полная вероятность события A равнаP( A)  0,25  1  0,4  0,7  0,35  0,5  0,705 .Применяя формулу Байеса, находим:P( Н1 | А) 0,25  1 50 0,355 .0,705 1415.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги