Ландсберг Г.С. - Оптика (1070727), страница 23
Текст из файла (страница 23)
4.18). Такое поведение .у(т) имеет простое объяснение. Если разность хода дл — д1 болыпе длины цуга или, что то же самое, время запаздывания т больше длительности пуга Т, то в точке ЛХ складываются колебания заведомо разных интиРФЕРкнция свн"ГА цугов, фазы которых, по предположению, никак не связаны между собой. Поэтому интерференция не может наблюдаться при (т) > Т, чему и отвечает .у(т) = О.
Если же )т( ( Т, то в точке наблюдения частично перекрываются разные участки одного и того же цуга и в меру этого перекрытия будет более у или менее значительной кон- 1 трастность интерференционных полос. Поскольку степень пере- 2 крытия линейно уменьшается с 1 увеличением запаздывания цуга 1/е от Я~ относительно цуга от Я1, ! степень когерентности уменьша- О ется по линейному закону с из- Т Т менением )т). Очевидным недостатком Рис. 4.18.
Графики зависимости сто- рассмотренной схемы следует пени когерентноспи от времени запаз- считать предположение о равендывания для пучков, состояших из стве длительностей всех пугов. волповьгх цугов; 1 цуги равной дли- Этот недостаток легко устрательности т, 2 длительность пу- нить. Пусть атом испускает волгов подчинена распределению Пуассо- новые цуги разной длины и па, (22.8) время наблюдения достаточно велико, чтобы реализовались практически все возможные значения Т. Результирующая степень когерентности будет зависеть от того, как часто испускалотся цуги с той или иной длительностью. Предположим, что относительное число цугов с длительностью Т дается выражением (распределение Пуассона) (22.8) = ехр где Т вЂ” некоторая средняя длительность.
Тогда для ~(т) получим (см. упражнение 21) у(т) = ехр ~ — =) . l ~т~ '1 (22.9) т)' В данном случае степень когерентности не равна нулю при любых значениях ~т~ (см. рис. 4.18), чему отвечает возможность испускания цугов, длительность которых по случайным обстоятельствам превышает среднюю длительность Т. Однако относительное число таких длинных цугов мало, и "~(т) быстро убывает при ~т~ > Т, В обсужденной выше схеме процесса испускания случайным воздействиям подвергалась лишь фаза колебаний.
Такие колебания называют колебаниями со слдчийной д1азовой модуляцией. При фазовой модуляции интенсивность, пропорциональная квадрату амплитуды колебаний. не изменяется во времени. Можно предполагать, что взаимодействие излучающего атома с окружающими частицами приводит не только к фазовой модуляции испускаемых им волн, но и к изменению амплитуды. В последнем случае говорят о случайной амплитудной модуляции колебаний. 91 ГЛ. 1Ъ'.
КОГЕРЕ1ГГИОСТЬ Пусть испускаемое атомом излучение представляет собой последовательность волновых цугов, амплитуды которых изменяются по случайным причинам, но фаза не модулируется. Расчет показывает, что в этом случае степень когерентности имеет вид (см. упражнение 21) = — — ~ ~<т, 1(т) = (а) (т! > Т, я2 где Т вЂ” длительность, одинаковая для всех цугов, а — средняя амплитуда, а2 — средний квадрат амплитуды. Как и в случае фазовой модуляции, график функции у(т) имеет треугольную форму при ~т) < Т, однако при )т~ > Т степень когерентности не обращается в нуль, а остается постоянной величиной, равной (а)~/а~. Опыт показывает, однако, что "~(т) — > 0 при достаточно больших ~т~. Поэтому следует считать а = О, тто эквивалентно изменению знака амплитуды при смене одного цуга другим или, иными словами, скачкам фазы на ~г.
Следовательно, на основе опыта мы приходим к выводу, что фазовая модуляция в той или иной форме обязательно существует при взаимодействии излучающих атомов с окружающей средой. Измерение ) (т) при разных т и сопоставление с теоретически вычисленной функцией позволяет, таким образом, сделать определенные заключения об особенностях процесса испускания волн атомами. Уменьшение видимости полос при интерференции немонохроматических пучков объяснялось в 9 21 иным способом, а именно, предполагалось, что они являются суперпозицией монохроматических пучков с различными частотами (или длинами волн).
Естественно возникает вопрос о взаимоотношении спектрального подхода, изложенного в 9 21, и временнбго подхода, использующегося в данном параграфе. Для выяснения этого вопроса напомним, что строго гармоническое (монохроматическое) колебание, по самому своему определению, должно происходить бесконечно долго. Если колебание следует гармоническому закону в течение ограниченного промежутка времени, по истечении которого изменяются его амплитуда, частота или фаза (волновой цуг), то это модулироваююе колебание можно представить в виде суммы монохроматических колебаний с различными частотами, амплитудами и фазами.
Но такое разложение волновых цугов на монохроматические составляющие и дает основу для представления об интерференции немонохроматических пучков. Итак, спектральный и временной подходы к анализу интерференции оказываются разными способами рассуждений об одном и том же явлении, — нарушении когерептности колебаний ' ).
Приведем количественные соотношения, отвечающие представлению об интерференции немонохроматических пучков. Будем считать, что частоты монохроматических компонент, входящих в состав интер- 1~ ) Более подробно о соотношении между спектральным и временным способами рассуждений см.: Г.С, Г о р е л и к. Колебания и волны.— М.: Физматгиз, 1959, гл Х1. игггеРФевгзнция свк"ГА ферируюгцих пучков, сосредоточены вблизи некоторой средней частоты ьг. Обозначим через Хг(ьг — ьг) дог, Х2(ьг — ~~)(Х(г интенсивности колебаний в интерферирующих пучках, происходящих с частотой ((.
Величины Хг(ьг — ьг), Хз(аг — ьг) носят название спекпгральпых плотностей интенсивности ьолебаппб. Полные интенсивности пучков равны, очевидно, Хг = ~ Хг (ьг — ьг) айаг, Хя — — ~ Х2(аг — ьг) дьг (22.10) и совпадают с интенсивностями Хг, Хг, встречавшимися ранее (например, в (22.4)). Поскольку источниками интерферирующих пучков служат два изображения одного и того же точечного источника света, спектральные плотности Хг (аг — ьг), Х2(аг — ьг) одинаковым образом зависят от частоты и отличаются только постоянными множителями, пропорциональными Х~ и Х2.
С помощью введенных обозначений интенсивность в какой-либо точке интерференционной картины можно записать в виде соотношения, полностью совпадающего с (22.4), причем степень когерентности .ф.), фаза ф(т) и величины с(т), аЯ связаны с Х~ (ьг — й)/Х» = Х~(( г — ьг)/Х2следующим образом (см. упражнение 22): (22.12) ') Доказательство формулы (22 12)., представляющей собой частный случай преобразования Фурье, см., например, в книге: В.А.
И л ь я н, Э. Г. П о з н я к. Основы математического анализа,. Ч, 11.— М: Физматлит, 2002. с(т) = — ) Х~(й) совйтдй, 1 Хг а(т) = — ( Хг(й) а1п Йт(ХЙ., Й = аг — аг, (22.11) Хг ~(~) =;/с~Я + о'"(~г, ада(~г = Таким образом, представления об интерференции немонохроматических пучков и об интерференции пучков в виде волновых цугов приводят к идентичным выводам о распределении интенсивности в интерференционной картине. Приведенные вьппе соображения о разложении волновых цугов на монохроматические колебания нашли свое количественное выражение в том, что функции с(т), я(т) оказываются суперпозицией гармонических составляюгпих с амплитудами, пропорциональными спектральной плотности интенсивности колебаний.
Соотношения (22.11), (22.5) и (22.6) позволяют вычислить степень когерентности "~(т), фазу г/ (т), видимость Г и положение интерференционных полос, если известна относительная спектральная плотность Хг (ьг — ьг)/Хг. Справедливо и обратное утверждение ) — если известны "~(т) и г/(т), то можно вычислить Х~(й)/Х~ по формуле Х((й)/Хг — — — ~ "у(т) сов ~йт — гг( (т)~ Йт. 1 0 Следовательно, исследование интерференционной картины позволяет ГЛ. 1Ъ'. КОГЕРЕ11'Г11ОСТЬ определить спектральный состав излучения. Этот метод получил название фурье-спектроскопии и нашел по ряду причин особо широкое применение при работе в инфракрасной области спектра. Разберем несколько примеров. Непосредственным расчетом легко убедиться в том, что спектральной плотности 2 2 Г/~г (22.13) соответствует степень когерентпости "у(т) = ехр ( — Г!т/).
(22.14) Итак, степени когерентности волновых цугов с различными длительностями (ср. (22.9)) отвечает спектральная плотность, определяемая формулой (22.13) с Г = ЦТ, Величина Г равна тому интервалу частот, на протяжении которого Х1(ы — й) уменьшается в два раза по сравнению со своим максимальным значением, достигаемым при о1 = = Г (рис. 4.19 а).
Следует обратить внимание на обратную пропорциональность Г и Т, что представляет собой частный случай общего Х1(ш — 9) Ш1 Е1 го 2 Рис. 4.19. Спектральные плотности и степени когерентности для случаев, описываемых соотношениями (22.13), (22 14) (а) и (22.15), (22.16) (б) соотношения между длительностью волнового цуга и величиной спектрального интервала, на которую приходится существенная часть интенсивности немонохроматического пучка света (см. конец ~ 21). Если спектральная плотность состоит из двух компонент, обладающих одинаковой формой вида (22.13), достигаюгцих максимальных значений при частотах 111 и о.2 и имеющих одинаковые интенсивности и полуширины Г: гХ Г/гг Х1(а1 — а1) — — Х1 ~~, ~~ ~ ~, +,, ~, (22.1о) 1 (а11 + ~" 2) ~ 2 интеРФеРенция светА то степень когерентности оказывается равной у(т) = ехр( — Г~т~) сов ( ), Ьы = ы2 — ой (22.16) /Ьшт ~ 6 а~ — Г = — Г, с где и — проекция скорости атома на направление наблюдения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
