Калитеевский Н.И. - Волновая оптика (1070655), страница 78
Текст из файла (страница 78)
ь' ! — Ф/сэ (7.19) у ! — оз/сч 3/! — Ф/с~ Очевидно, что х, у, г, ! можно выразить через штрихованные переменные. Это достигается простой заменой о на — и в формулах (7.20) и перестановкой штрихов: х — + у=у', г=г', /= . (7.21) )/1 — о~/с~ ')/! — '/с' ' Такой же результат легко получается при решении системы уравнений (7.20) относительно переменных х, у, г, !. Подчеркнем, что преобразования Лоренца (7.20), (7.21) получены здесь как прямое следствие постулатов специальной теории относительности без априорных требований о сокращении линейного размера тел в направлении движения. Из анализа преобразований Лоренца можно сделать следующие существенные выводы: 1. Уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований Лоренца, базирующихся на постулатах, обобщающих результаты оптических и электрических экспериментов.
Непосредственная проверка подтверждает это заключение. 2. При о (( с (т. е. когда р — ~- О) преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея. Следовательно, механика Ньютона, уравнения которой инвариантны относительно преобразований Галилея, справедлива лишь для о (( с. Для больших скоростей нужно сформулировать уравнения новой релятивистской механики, инвариантные 3!4 Подставляя (7.19) в (7.16), получим окончательную форму преобразований Лоренца, связывающих координаты в двух инерциальных системах, движущихся одна относительно другой равномерно и прямолинейно с относительной скоростью о, направленной вдоль оси ОХ (О'Х'), а именно: относительно преобразований Лоренца и переходящие в уравнения Ньютона при ~-~ О.
3. Вместе с тем скорость рассматриваемой системы отсчета всегда должна быть меньше скорчсти света в вакууме, так как при о ) с прербразования Лоренца теряют смысл. Следовательно, скорость света в вакууме с=3 ° 10" см/с является предельной скоростью. Очевидно, что это ограничение распространяется на все возможные случаи переноса энергии. Скорость сигнала, или групповая скорость, должна быть меньше скорости света в вакууме, но фазовая скорость волны может принимать любые значения, в том числе и превышающие скорость света в вакууме.
При описании распространения радиоволн в ионосфере, оценке показателя преломления для рентгеновских лучей (и ( 1), а также в ряде других случаев уже указывалось, что и = с/а может быть больше с. Упоминавшееся выше сокращение тел в направлении движения является прямым следствием полученных преобразований. Действительно, пусть стержень длины 1 = х, — х, покоится в системе Х, )', Е. Определим, какую длину этого стержня 1' = хз — х~ измерит наблюдатель, движушийся вместе с системой Х', г", Г со скоростью и, направленной вдоль Ох (О'Х'). По определению, измерение хз н х(1 нужно произвести в один и и тот же момент времени /'.
Воспользуемся для решения этой задачи уравнением х=(х' + о/')ф'1 — (Р. Имеем хз )/1 — ~'=ха+о/', х, )/1 — ~'=х(+о/'. (7.22) Тогда 1'=хз — х(=(хз — х,) )/1 — ~'=1)'1 — ~)'. (7.23) Следовательно, 1' ( 1, т. е. длина стержня, движущегося со скоростью о относительно наблюдателя, уменьшилась в ) '1 — рз раз. Естественно, что к такому же результату мы пришли бы, рассматривая, какую длину стержня, покоящегося в системе Х', )", Л', измерит наблюдатель, связанный с системой Х, )', 2. После аналогичных преобразований уравнения х' = (х — о/)/)/1 — р' получим 1') 1, т. е. снова найдем, что стержень длиннее в той системе, относительно которой он покоится.
Напомним, что Лоренц был вынужден постулировать такое сокращение тел в направлении движения, чтобы объяснить отрицательный результат опыта Майкельсона — Морли. В специальной теории относительности, как уже указывалось, фигурирует единое пространство — время, поэтому следует ожидать изменения промежутков времени (длительности) между событиями при переходе от одной инерциальной системы к другой. Пусть в точке А (х, у, г) измеряется промежуток времени между двумя событиями т = Г, — Г, и требуется определить величину промежутка времени между этими же событиями в системе Х', )", 2', движущейся равномерно и прямолинейно вдоль оси Х со скоростью о относительно системы Х, )', 2.
Ясно, что нужно найти т' = /э — /(, проведя это измерение времени при одном и том же значении кборди- наты х. Необходимо подчеркнуть, что при решении этой задачи нельзя сразу перейти к штрихованным координатам (х', у', а'), так как иссле- дуемые события, промежуток времени между которыми измеряется, происходят в точке А с координатами х, у, г. Поэтому нужно восполь- 1 — (о/са) х, зоваться уравнением 1' = Уг — й' 1а Ъ~1 — 'ра=1а — хо/ос, 11 И вЂ” ~)а=1, — хо/с', (1з — 1() Уг — ра=1а — 1з т' У( — ра=т, (7.24) т.
е. т' ) т. Мы установили, что длительность процесса, измеренного в системе, относительно которой исследуемый объект движется, больше, чем в той, относительно которой он покоится. В настоящее время представляется уже бессмысленным говорить о проверке этих соотношений. В технике современного физического эксперимента часто используют скорости частиц, близкие к скорости света с, и пренебрежение выражением (7.24) привело бы, например, к тому, что нельзя было бы построить ускоритель частиц типа синхрофазотрона. Поэтому формулы специальной теории относительности обязательно применяют при инженерных расчетах ускорителей.
Совершенно необходим учет изменения промежутков времени между событиями, происходящими в движущихся системах, и в физике космических частиц. Так, например, измерение времени жизни )а-мезона (частица с массой, примерно в 200 раз большей массы электрона, зарождающаяся в верхних слоях атмосферы Земли) приводит к значению та = 2 10-а с*. Даже если считать, что скорость мезонов близка к скорости света, то для них получается весьма малая длина пробега 1жстаж600 м, исключающая возможность регистрации их в наземных лабораториях. Однако эта оценка неверна, так как в опытах фактически измеряется время жизни покоящегося мезона, который затормозился при прохождении толщи атмосферы. Для того чтобы определить среднее время жизни мезона, движущегося с большой скоростью, нужно оценить т, = та/)'! — ра, которое при о ж с может быть очень большим (тка )) ка) Однако вернемся к рассмотрению оптических экспериментов.
Наша задача заключается в объяснении с позиций специальнойтеорииотносительности эффекта, наблюдавшегося в опытах Физо. Сначала решим более общую задачу, т. е. получим релятивистскую формулу сложения скоростей. Очевидно, что для этого нужно записать соотношение, связывающее и„= дхЛ(1 — скорость тела в системе Х,г, 2 и и„' = Ы/Л'— его скорость в системе Х', У', 2'. По-прежнему исходим из того, что одна инерциальная система движется относительно другой со скоростью и, направленной вдаль ОХ (О'Х').
Смл Ш и о л ь с к и й Э. В. Атомная физика. Т. 2.М.,«Наука»,$ 316. 316 Из преобразований Лоренца имеем: Л!'+(о/сх) ах' ( с(х'+ аи' 1! ! — (о/с)х '$' 1 — (о/с)~ Тогда . (7. с(х с!х +ос!' с(х И! +' "+ 25) с! ди+ (о/с') ох' 1+ (о/с') (с!х'/о!') 1+ сии/с~ Заметим, что скорость и„и и, связаны со скоростью и„' и и,' не столь просто, как у с у' и г с г'. В самом деле, и — — (7.26 ( ) си Ш'+ (о/со) ох' 1+ ои„'/сс Аналогичное выражение получается и для и,. Из последнего соотношения следует, что и„зависит не только от значения и„', но н от значения и,„'. Конечно, все эти формулы не должны противоречить постулату Эйнштейна, согласно которому скорость света в вакууме должна оставаться одинаковой в обеих инерциальных системах(Хуари Х'Г'Г).
В этом легко убедиться, подставив в (7.25), например, и,' с. Тогда и, = (с + о) / [1 + (о/с')с) = с. Для истолкования опыта Физо (см. 9 7.1) не нужны преобразования их -+. и,' и ио -!- и,'„поэтому не будем заниматься более подробным рассмотрением релятивистской кинематики. Введем обозначения: и„— измеряемая на опыте скорость света относительно установки, т. е. в так называемой лабораторной системе координат: и„' = с/а — скорость света относительно воды; о — скорость переносного движения воды.
Оценку произведем, пренебрегая (о/с)', т. е. учитывая только эффект первого порядка относительно р = о/с, что соответствует точности проводившихся измерений Тогда и'+о (с/а)+о м (с/а+о) [1 — о/(са)[ ж с/а+о (1 — 1/а'). 1+ и„' (о/сх) 1+ о!(са) (7.27) Это соотношение полностью согласуется с рассмотренными ранее экспериментальными результатами. Отметим, что при его выводе не делалось никаких предположений об увлечении эфира и оценки целиком следовали из формул специальной теории относительности. Соотношение (7.27) можно уточнить, если учесть изменение показателя преломления с длиной волны. Проверка уточненной формулы была проведена Зееманом в 19!4 г. и показала полное согласие теории и эксперимента.
Не будем последовательно излагать релятивистскую динамику и ограничимся лишь упоминанием о чрезвычайно важном вопросе— связи между массой и энергией. 317 Как показал Эйнштейн, основное уравнение динамиии запишется в прежнем виде: 1= др/с(г, если масса, измеренная в системе координат, относительно которой исследуемое тело движется со скоростью у, определяется выражением щь У1:ра (7.28) а импульс (7.31) ЛФ' = Лтсз. Последнее соотношение чрезвычайно важно для всех разделов современной физики. В частности, оно показывает, какая громадная энергия сосредоточена в атомном ядре.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
